Радикальный идеал

В колец , разделе математики , радикал идеала теории $I$ коммутативного кольца — это еще один идеал, определяемый тем свойством, что элемент $x$ находится в радикале тогда и только тогда, когда некоторая степень $x$ находится в $I$ . Радикализация идеала называется радикализацией . Радикальный идеал (или полупервичный идеал ) — это идеал, равный своему радикалу. Радикал первичного идеала — это первичный идеал .

Эта концепция обобщена на некоммутативные кольца в статье о полупервичных кольцах .

Определение

Радикал идеала $I$ в коммутативном кольце $R$ , обозначенный $\operatorname {rad} (I)$ или ${\sqrt {I}}$ , определяется как

{\sqrt {I}}=\left\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{for some}}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\right\},

(Обратите внимание, что $I\subseteq {\sqrt {I}}$ ).Интуитивно, ${\sqrt {I}}$ получается взятием всех корней элементов $I$ внутри ринга $R$ . Эквивалентно, ${\sqrt {I}}$ является прообразом идеала нильпотентных элементов ( нильрадикала ) факторкольца $R/I$ (через естественную карту $\pi \colon R\to R/I$ ). Последнее доказывает , что ${\sqrt {I}}$ является идеалом. ^{[Примечание 1]}

Если радикал $I$ , конечно порождена то некоторая степень ${\sqrt {I}}$ содержится в $I$ . ^[1] В частности, если $I$ и $J$ являются идеалами нётерова кольца , то $I$ и $J$ имеют одинаковый радикал тогда и только тогда, когда $I$ содержит некоторую силу $J$ и $J$ содержит некоторую силу $I$ .

Если идеал $I$ совпадает со своим радикалом, то $I$ называется радикальным идеалом или полупервичным идеалом .

Примеры

Рассмотрим кольцо $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ целых чисел .
1. Радикал идеала $4\mathbb {Z}$ целых чисел, кратных $4$ является $2\mathbb {Z}$ ( вечера ).
2. Радикал $5\mathbb {Z}$ является $5\mathbb {Z}$ .
3. Радикал $12\mathbb {Z}$ является $6\mathbb {Z}$ .
4. В целом радикал $m\mathbb {Z}$ является $r\mathbb {Z}$ , где $r$ является произведением всех различных простых делителей $m$ , наибольший безквадратный фактор $m$ (см. Радикал целого числа ). Фактически, это обобщается на произвольный идеал (см. раздел «Свойства» ).
Рассмотрим идеал $I=\left(y^{4}\right)\subseteq \mathbb {C} [x,y]$ . Это тривиально показать ${\sqrt {I}}=(y)$ (используя основное свойство ${\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}$ ), но мы даем несколько альтернативных методов: ^{[ нужны разъяснения ]} Радикальный ${\sqrt {I}}$ соответствует нильрадикалу ${\sqrt {0}}$ факторкольца $R=\mathbb {C} [x,y]/\!\left(y^{4}\right)$ , который является пересечением всех простых идеалов факторкольца. Он содержится в радикале Джекобсона пересечением всех максимальных идеалов , являющихся ядрами гомоморфизмов является полей , который . Любой кольцевой гомоморфизм $R\to \mathbb {C}$ должен иметь $y$ в ядре, чтобы иметь корректно определенный гомоморфизм (если бы мы сказали, например, что ядро должно быть $(x,y-1)$ состав $\mathbb {C} [x,y]\to R\to \mathbb {C}$ было бы $\left(x,y^{4},y-1\right)$ , что то же самое, что пытаться заставить $1=0$ ). С $\mathbb {C}$ , алгебраически замкнут любой гомоморфизм $R\to \mathbb {F}$ должен учитывать $\mathbb {C}$ , поэтому нам нужно только вычислить пересечение $\{\ker(\Phi ):\Phi \in \operatorname {Hom} (R,\mathbb {C} )\}$ вычислить радикал $(0).$ Затем мы находим, что ${\sqrt {0}}=(y)\subseteq R.$

Характеристики

В этом разделе будет продолжено соглашение о том, что I является идеалом коммутативного кольца. $R$ :

Это всегда правда, что ${\textstyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$ , т.е. радикализация является идемпотентной операцией. Более того, ${\sqrt {I}}$ — наименьший радикальный идеал, содержащий $I$ .
${\sqrt {I}}$ является пересечением всех идеалов простых $R$ которые содержат $I$ ${\sqrt {I}}=\bigcap _{\stackrel {{\mathfrak {p}}{\text{ prime}}}{R\supsetneq {\mathfrak {p}}\supseteq I}}{\mathfrak {p}},$ и, таким образом, радикал простого идеала равен самому себе. Доказательство. С одной стороны, каждый простой идеал радикален, поэтому это пересечение содержит ${\sqrt {I}}$ . Предполагать $r$ является элементом $R$ этого нет в ${\sqrt {I}}$ , и пусть $S$ быть набором $\left\{r^{n}\mid n=0,1,2,\ldots \right\}$ . По определению ${\sqrt {I}}$ , $S$ должен быть непересекающимся с $I$ . $S$ также мультипликативно замкнуто . Таким образом, по варианту теоремы Крулля существует простой идеал ${\mathfrak {p}}$ который содержит $I$ и все еще не пересекается с $S$ (см. Первичный идеал ). С ${\mathfrak {p}}$ содержит $I$ , но не $r$ , это показывает, что $r$ не находится в пересечении простых идеалов, содержащих $I$ . Это завершает доказательство. Это утверждение можно немного усилить: радикал $I$ является пересечением всех простых идеалов $R$ минимальны содержащих среди $I$ .
Если специализировать последнюю точку, то нильрадикал (множество всех нильпотентных элементов) равен пересечению всех простых идеалов $R$ ^{[Примечание 2]} ${\sqrt {0}}={\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\subsetneq R{\text{ prime}}}{\mathfrak {p}}.$ Это свойство эквивалентно первому с помощью естественного отображения $\pi \colon R\to R/I$ , что дает биекцию $u$ : $\left\lbrace {\text{ideals }}J\mid R\supseteq J\supseteq I\right\rbrace \quad {\overset {u}{\rightleftharpoons }}\quad \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,$ определяется $u\colon J\mapsto J/I=\lbrace r+I\mid r\in J\rbrace .$ ^[2]^{[Примечание 3]}
Идеал $I$ в ринге $R$ радикально тогда и только тогда, когда факторкольцо $R/I$ снижается .
Радикал однородного идеала однороден.
Радикал пересечения идеалов равен пересечению их радикалов: ${\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}$ .
Радикал первичного идеала является простым. Если радикал идеала $I$ максимально, то $I$ является первичным. ^[3]
Если $I$ это идеал, ${\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}$ . Поскольку простые идеалы являются радикальными идеалами, ${\sqrt {{\mathfrak {p}}^{n}}}={\mathfrak {p}}$ для любого простого идеала ${\mathfrak {p}}$ .
Позволять $I,J$ быть идеалами кольца $R$ . Если ${\sqrt {I}},{\sqrt {J}}$ комаксимальны , то $I,J$ комаксимальны. ^{[Примечание 4]}
Позволять $M$ — конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом $R$ . Затем ^[4] ${\sqrt {\operatorname {ann} _{R}(M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}$ где $\operatorname {supp} M$ это поддержка $M$ и $\operatorname {ass} M$ представляет собой множество связанных простых чисел $M$ .

Приложения

Основной мотивацией изучения радикалов является Nullstellensatz Гильберта в коммутативной алгебре . Одна из версий этой знаменитой теоремы гласит, что для любого идеала $J$ в кольце полиномов $\mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]$ над алгебраически замкнутым полем $\mathbb {k}$ , у одного есть

\operatorname {I} (\operatorname {V} (J))={\sqrt {J}}

где

\operatorname {V} (J)=\left\{x\in \mathbb {k} ^{n}\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in J\right\}

и

\operatorname {I} (V)=\{f\in \mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in V\}.

Геометрически это означает, что если многообразие $V$ вырезается полиномиальными уравнениями $f_{1}=0,\ldots ,f_{r}=0$ , то единственные другие многочлены, обращающиеся в нуль на $V$ находятся в радикале идеала $(f_{1},\ldots ,f_{r})$ .

Еще один способ выразить это: композиция $\operatorname {I} (\operatorname {V} (-))={\sqrt {-}}$ — оператор замыкания на множестве идеалов кольца.

См. также

Примечания

^ Вот прямое доказательство того, что ${\sqrt {I}}$ является идеалом. Начните с $a,b\in {\sqrt {I}}$ с некоторыми полномочиями $a^{n},b^{m}\in I$ . Чтобы показать это $a+b\in {\sqrt {I}}$ , мы используем биномиальную теорему (которая справедлива для любого коммутативного кольца):
$\textstyle (a+b)^{n+m-1}=\sum _{i=0}^{n+m-1}{\binom {n+m-1}{i}}a^{i}b^{n+m-1-i}.$
Для каждого $i$ , у нас есть либо $i\geq n$ или $n+m-1-i\geq m$ . Таким образом, в каждом термине $a^{i}b^{n+m-1-i}$ , один из показателей будет достаточно большим, чтобы этот множитель лежал в $I$ . Поскольку любой элемент $I$ раз элемент $R$ лежит в $I$ (как $I$ является идеалом), этот термин заключается в $I$ . Следовательно $(a+b)^{n+m-1}\in I$ , и так $a+b\in {\sqrt {I}}$ .Чтобы закончить проверку того, что радикал является идеалом, возьмем $a\in {\sqrt {I}}$ с $a^{n}\in I$ и любой $r\in R$ . Затем $(ra)^{n}=r^{n}a^{n}\in I$ , так $ra\in {\sqrt {I}}$ . Таким образом, радикал — это идеал.
^ Доказательство см. в характеристике нильрадикала кольца .
^ Этот факт также известен как четвертая теорема об изоморфизме .
^ Доказательство: ${\textstyle R={\sqrt {{\sqrt {I}}+{\sqrt {J}}}}={\sqrt {I+J}}}$ подразумевает $I+J=R$ .