Полупервичное кольцо

В теории колец , разделе математики, полупервичные идеалы и полупервичные кольца являются обобщениями простых идеалов и первичных колец . В коммутативной алгебре полупервичные идеалы также называются радикальными идеалами , а полупервичные кольца — то же самое, что приведенные кольца.

Например, в кольце целых чисел полупервичные идеалы являются нулевым идеалом вместе с идеалами вида $n\mathbb {Z}$ где n — целое число без квадратов . Так, $30\mathbb {Z}$ является полупростым идеалом целых чисел (поскольку 30 = 2 × 3 × 5, без повторяющихся простых множителей), но $12\mathbb {Z} \,$ нет (потому что 12 = 2 ² × 3, с повторяющимся простым множителем).

К классу полупервичных колец относятся полупримитивные кольца , первичные кольца и приведенные кольца .

Большинство определений и утверждений в этой статье содержатся в ( Lam 1999 ) и ( Lam 2001 ).

Определения

Для коммутативного кольца R собственный идеал A является полупервичным идеалом, если A удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

Если х ^к находится в A для некоторого положительного целого числа k и элемента x из R тогда x находится в A. ,
Если y находится в R но не в A , все положительные целые степени y не находятся в A. ,

Последнее условие «замкнутости дополнения относительно степеней» аналогично тому, что дополнения простых идеалов замкнуты относительно умножения.

Как и в случае с простыми идеалами, это распространяется на некоммутативные кольца «идеально». Следующие условия являются эквивалентными определениями полупервичного идеала A в кольце R :

Для любого идеала J кольца R , если J ^к⊆ A для положительного натурального числа k то J ⊆ A. ,
Для любого правого идеала J кольца R , если J ^к⊆ A для положительного натурального числа k то J ⊆ A. ,
Для любого левого идеала J кольца R , если J ^к⊆ A для положительного натурального числа k то J ⊆ A. ,
любого x в R , если xRx ⊆ A , то x находится в A. Для

И здесь снова имеется некоммутативный аналог простых идеалов как дополнений к m-системам . Непустое подмножество S кольца R называется n-системой , если для любого s из S существует r из R такой, что srs находится в S . С учетом этого понятия к приведенному выше списку можно добавить еще один эквивалентный пункт:

R \ A — n-система.

Кольцо R называется полупервичным, если нулевой идеал является полупервичным. В коммутативном случае это эквивалентно тому, что R является приведенным кольцом , поскольку R не имеет ненулевых нильпотентных элементов. В некоммутативном случае кольцо просто не имеет ненулевых нильпотентных правых идеалов. Таким образом, хотя приведенное кольцо всегда полупервично, обратное неверно. ^[1]

Общие свойства полупервичных идеалов

Начнем с того, что ясно, что первичные идеалы полупервичны, а для коммутативных колец полупервичный примарный идеал является первичным.

Хотя пересечение простых идеалов обычно не является простым, это полупервичный идеал. Вскоре будет показано, что верно и обратное: каждый полупервичный идеал является пересечением семейства простых идеалов.

Для любого идеала B в кольце R можно образовать следующие множества:

{\sqrt {B}}:=\bigcap \{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P{\mbox{ a prime ideal}}\}\subseteq \{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ for some }}n\in \mathbb {N} ^{+}\}\,

Набор ${\sqrt {B}}$ является определением радикала B и , очевидно, является полупервичным идеалом, содержащим B , и фактически является наименьшим полупервичным идеалом, B. содержащим Приведенное выше включение иногда бывает правильным в общем случае, но для коммутативных колец оно превращается в равенство.

Согласно этому определению, идеал A является полупервичным тогда и только тогда, когда ${\sqrt {A}}=A$ . На этом этапе также очевидно, что каждый полупервичный идеал на самом деле является пересечением семейства простых идеалов. Более того, это показывает, что пересечение любых двух полупервичных идеалов снова полупервично.

По определению R полупростое тогда и только тогда, когда ${\sqrt {\{0\}}}=\{0\}$ , то есть пересечение всех простых идеалов равно нулю. Этот идеал ${\sqrt {\{0\}}}$ также обозначается $Nil_{*}(R)\,$ а также называемый Бэра нижним нильрадикалом , -Маккоя или первичным радикалом R радикалом Бэра .

Полупростые кольца Голди

Правое кольцо Голди — это кольцо, которое имеет конечную равномерную размерность (также называемую конечным рангом ) как правый модуль над собой и удовлетворяет условию возрастающей цепи на правых аннуляторах своих подмножеств. Теорема Голди утверждает, что полупервичные правые кольца Голди — это в точности те кольца, которые имеют полупростое артиново правое классическое кольцо частных . Тогда теорема Артина –Веддерберна полностью определяет структуру этого кольца частных.

Ссылки

^ Полное кольцо матриц размера два на два над полем полупростое с ненулевыми нильпотентными элементами.

Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , МР 1653294
Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, ISBN. 978-0-387-95183-6 , МР 1838439

Внешние ссылки

Статья PlanetMath о полупростых идеалах

[1] Полное кольцо матриц размера два на два над полем полупростое с ненулевыми нильпотентными элементами.

[1]