Единый модуль

В абстрактной алгебре модуль называется равномерным, если пересечение любых двух ненулевых подмодулей ненулевое. Это равносильно утверждению, что каждый ненулевой подмодуль M является существенным подмодулем . Кольцо можно назвать равномерным справа (левым) кольцом, если оно однородно как правый (левый) модуль над собой.

Альфред Голди использовал понятие унифицированных модулей, чтобы построить меру размерности модулей , теперь известную как унифицированная размерность (или размерность Голди ) модуля. Равномерная размерность обобщает некоторые, но не все аспекты понятия размерности векторного пространства . Конечная равномерная размерность была ключевым предположением для нескольких теорем Голди, включая теорему Голди , которая характеризует, какие кольца являются правыми порядками в полупростом кольце . Модули конечной равномерной размерности обобщают как артиновы, так и нётеровы модули .

В литературе однородную размерность также называют просто размерностью модуля или рангом модуля . Равномерное измерение не следует путать с соответствующим понятием, также принадлежащим Голди, о пониженном ранге модуля.

Свойства и примеры унифицированных модулей

Единообразие модуля обычно не сохраняется за счет прямых произведений или фактормодулей. Прямая сумма двух ненулевых однородных модулей всегда содержит два подмодуля с нулевым пересечением, а именно два исходных слагаемых модуля. Если N ₁ и N ₂ — собственные подмодули однородного модуля M и ни один из подмодулей не содержит другого, то $M/(N_{1}\cap N_{2})$ не может быть однородным, так как

$N_{1}/(N_{1}\cap N_{2})\cap N_{2}/(N_{1}\cap N_{2})=\{0\}.$

Однорядные модули однородны, а однородные модули обязательно непосредственно неразложимы. Любая коммутативная область является равномерным кольцом, поскольку если a и b — ненулевые элементы двух идеалов, то произведение ab — ненулевой элемент в пересечении идеалов.

Единый размер модуля

Следующая теорема позволяет определить размерность модулей с помощью равномерных подмодулей. Это модульная версия теоремы о векторном пространстве:

Теорема: Если U _i и V _j являются членами конечного набора равномерных подмодулей модуля M такого, что $\oplus _{i=1}^{n}U_{i}$ и $\oplus _{i=1}^{m}V_{i}$ оба являются существенными подмодулями модуля M , то n = m .

Равномерная размерность модуля M , обозначаемая u.dim( M ), определяется как n, если существует конечное множество равномерных подмодулей U _i таких, что $\oplus _{i=1}^{n}U_{i}$является существенным подмодулем M . Предыдущая теорема гарантирует, что это n корректно определено. Если такого конечного набора подмодулей не существует, то u.dim( M ) определяется как ∞. Говоря о равномерном размере кольца, необходимо уточнить, измеряется ли u.dim( или _, скорее, u.dim( _RR RR ) ). На противоположных сторонах кольца можно иметь два разных одинаковых размера.

Если N — подмодуль M , то u.dim( N ) ⩽ u.dim( M ) с равенством в точности тогда, когда — существенный подмодуль M. N В частности, M и его инъективная оболочка E ( M ) всегда имеют одну и ту же однородную размерность. Также верно, что u.dim( M ) = n тогда и только тогда, когда E ( M ) является прямой суммой n неразложимых инъективных модулей .

Можно показать, что u.dim( M ) = ∞ тогда и только тогда, когда M содержит бесконечную прямую сумму ненулевых подмодулей. Таким образом, если M нётерово или артиново, M имеет конечную равномерную размерность. Если M имеет конечную композиционную длину k , то u.dim( M ) ≤ k с равенством в точности тогда, когда M является полупростым модулем . ( Лам 1999 )

Стандартный результат состоит в том, что правая нётерова область является правой областью Оре . Фактически, мы можем восстановить этот результат из другой теоремы, приписываемой Голди, которая утверждает, что следующие три условия эквивалентны для области D :

• D прав, Оре
• u.dim( D _D ) знак равно 1
• u.dim( D _D ) < ∞

Полые модули и одинаковые размеры

Двойственное понятие однородного модуля — это понятие полого модуля : модуль M называется полым, если N ₁ и N ₂ являются подмодулями M такими, что $N_{1}+N_{2}=M$, то либо N ₁ = M , либо N ₂ = M . Эквивалентно, можно также сказать, что каждый собственный подмодуль M является лишним подмодулем .

Эти модули также допускают аналог равномерного измерения, называемый коравномерным измерением , корангом , полым измерением или двойным измерением Голди . Исследования полых модулей и равномерных размеров проводились в ( Fleury 1974 ), ( Reiter 1981 ), ( Takeuchi 1976 ), ( Varadarajan 1979 ) и ( Miyashita 1966 ). Читателя следует предупредить, что Флери исследовал различные способы дуализации измерения Голди. Версии полого измерения Варадараджана, Такеучи и Рейтера, возможно, являются более естественными. Гжещук и Пучиловский в ( Grezeszcuk & Puczylowski 1984 ) дали определение равномерной размерности модулярных решеток, так что полая размерность модуля была однородной размерностью его двойственной решетки подмодулей.

Конечно- копорожденный модуль всегда имеет конечную равномерную размерность. Возникает вопрос: имеет ли конечно порожденный модуль конечную полую размерность? Ответ оказывается отрицательным: в ( Сарат и Варадараджан 1979 ) было показано, что если модуль M имеет конечную полую размерность, то M / J ( M ) является полупростым артиновым модулем . Существует много колец с единицей, для которых R / J ( R ) не является полупростым артиновым, и если такое кольцо R , то R само по себе конечно порождено, но имеет бесконечную полую размерность.

Позже Сарат и Варадараджан показали, что M / J ( M полупростой артиновский ) также достаточен для того, чтобы M имел конечную полую размерность, при условии, что ( M ) является лишним подмодулем M. J Это показывает, что кольца R с конечной полой размерностью как левый, так и правый R -модуль являются в точности полулокальными кольцами .

Дополнительным следствием результата Варадараджана является то, что RR _как имеет конечную полую размерность точно так же, _RR и . Это контрастирует со случаем конечной равномерной размерности, поскольку известно, что кольцо может иметь конечную равномерную размерность с одной стороны и бесконечную равномерную размерность с другой.

Учебники

• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике, том. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN.  978-0-387-98428-5 , МР   1653294

Первоисточники

• Флери, Патрик (1974), «Заметка о дуализации измерения Голди», Canadian Mathematical Bulletin , 17 (4): 511–517, doi : 10.4153/cmb-1974-090-0
• Голди, AW (1958), "Структура простых колец в условиях восходящей цепи", Proc. Лондонская математика. Соц. , Серия 3, 8 (4): 589–608, doi : 10.1112/plms/s3-8.4.589 , ISSN   0024-6115 , MR   0103206
• Голди, AW (1960), «Полупервичные кольца максимального состояния», Proc. Лондонская математика. Соц. , Серия 3, 10 : 201–220, doi : 10.1112/plms/s3-10.1.201 , ISSN   0024-6115 , MR   0111766
• Грежещук П.; Пучиловски, Э. (1984), «О Голди и двойственном измерении Голди», Журнал чистой и прикладной алгебры , 31 (1–3): 47–55, doi : 10.1016/0022-4049(84)90075-6
• Ханна, А.; Шамсуддин, А. (1984), Двойственность в категории модулей: Приложения , Рейнхард Фишер, ISBN  978-3889270177
• Мияшита, Ю. (1966), «Квазипроективные модули, совершенные модули и теорема для модулярных решеток», J. Fac. наук. Хоккайдо сер. И , 19 : 86–110, МР   0213390
• Райтер, Э. (1981), «Двойственное условие возрастающей цепи Голди на прямых суммах подмодулей», Bull. Калькуттская математика. Соц. , 73 : 55–63
• Сарат, Б.; Варадараджан, К. (1979), «Двойное измерение Голди II», Communications in Algebra , 7 (17): 1885–1899, doi : 10.1080/00927877908822434
• Такеучи, Т. (1976), «О коконечномерных модулях», Hokkaido Mathematical Journal , 5 (1): 1–43, doi : 10.14492/hokmj/1381758746 , ISSN   0385-4035 , MR   0213390
• Варадараджан, К. (1979), «Двойное измерение Голди», Comm. Алгебра , 7 (6): 565–610, doi : 10.1080/00927877908822364 , ISSN   0092-7872 , MR   0524269