Основное расширение

В математике , особенно модулей , для данного R и R - модуля M с подмодулем N модуль M называется существенным расширением N в теории (или N называется существенным подмодулем или большим подмодулем M кольца ). если для каждого подмодуля H модуля M ,

$H\cap N=\{0\}\,$ подразумевает, что $H=\{0\}\,$

В частном случае существенным левым идеалом R является левый идеал , существенный как подмодуль левого модуля _R R . Левый идеал имеет ненулевое пересечение с любым ненулевым левым идеалом R . Аналогично, существенный правый идеал — это в точности существенный подмодуль правого R модуля R _R .

Обычные обозначения существенных расширений включают следующие два выражения:

$N\subseteq _{e}M\,$ ( Лам 1999 ) и $N\trianglelefteq M$ ( Андерсон и Фуллер, 1992 г. )

Двойственное малого понятие существенного подмодуля — это понятие лишнего подмодуля (или подмодуля ). Подмодуль N если для любого другого подмодуля H является лишним ,

$N+H=M\,$ подразумевает, что $H=M\,$.

Обычные обозначения лишних подмодулей включают:

$N\subseteq _{s}M\,$ ( Лам 1999 ) и $N\ll M$ ( Андерсон и Фуллер, 1992 г. )

Свойства

Вот некоторые элементарные свойства существенных расширений, данные в введенных выше обозначениях. Пусть M — модуль, а K , N и H — подмодули M с K $\subseteq$ Н

• Очевидно, что M — существенный подмодуль модуля M , а нулевой подмодуль ненулевого модуля никогда не является существенным.
• $K\subseteq _{e}M$ тогда и только тогда, когда $K\subseteq _{e}N$ и $N\subseteq _{e}M$
• $K\cap H\subseteq _{e}M$ тогда и только тогда, когда $K\subseteq _{e}M$ и $H\subseteq _{e}M$

Используя лемму Цорна, можно доказать еще один полезный факт:Для любого подмодуля N модуля M существует подмодуль C такой, что

$N\oplus C\subseteq _{e}M$.

Более того, модуль без собственного существенного расширения (то есть, если модуль существенен в другом модуле, то он равен этому модулю) является инъективным модулем . Тогда можно доказать, что каждый модуль максимальное существенное расширение E ( M ), называемое инъективной оболочкой M. M имеет Инъективная оболочка обязательно является инъективным модулем и единственна с точностью до изоморфизма. Инъективная оболочка также минимальна в том смысле, что любой другой инъективный модуль, содержащий M, содержит копию E ( M ).

Многие свойства дублируются в лишние подмодули, но не все. Снова пусть M — модуль, а K , N и H — подмодули M с K $\subseteq$ Н. ​

• Нулевой подмодуль всегда лишний, а ненулевой модуль M никогда не бывает лишним сам по себе.
• $N\subseteq _{s}M$ тогда и только тогда, когда $K\subseteq _{s}M$ и $N/K\subseteq _{s}M/K$
• $K+H\subseteq _{s}M$ тогда и только тогда, когда $K\subseteq _{s}M$ и $H\subseteq _{s}M$.

Поскольку каждый модуль может быть отображен через мономорфизм , образ которого существенен в инъективном модуле (его инъективной оболочке), можно задаться вопросом, верно ли двойственное утверждение, т.е. для каждого модуля M существует проективный модуль P и эпиморфизм из P на M, ​​которого ядро лишнее? (Такое P называется проективным накрытием ). В общем случае ответ — « Нет », а специальный класс колец, все правые модули которых имеют проективные накрытия, — это класс совершенных справа колец .

Одна из форм леммы Накаямы состоит в том, что J( R ) M — лишний подмодуль M, когда M — конечно порожденный модуль над R .

Обобщение

Это определение можно обобщить на произвольную абелеву категорию C . Существенным расширением является мономорфизм u : M → E такой, что для каждого ненулевого подобъекта s : N → E произведение слоев N × _E M ≠ 0.

В общей категории морфизм f : X → Y является существенным, если любой морфизм g : Y → Z является мономорфизмом тогда и только тогда, когда g ° f является мономорфизмом ( Порст 1981 , Введение). Взяв g за тождественный морфизм Y, мы покажем, что существенный морфизм f должен быть мономорфизмом.

Если X имеет инъективную оболочку Y , то Y является наибольшим существенным расширением X ( Порст 1981 , Введение ( v )). Но самое большое существенное расширение может не быть инъективной оболочкой. Действительно, в категории пространств T ₁ и непрерывных отображений каждый объект имеет единственное наибольшее существенное расширение, но ни одно пространство с более чем одним элементом не имеет инъективной оболочки ( Hoffmann 1981 ).

См. также

• Плотные субмодули представляют собой особый тип существенного субмодуля.

Ссылки

• Андерсон, ФРВ; Фуллер, К.Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для аспирантов по математике , вып. 13 (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-97845-3
• Дэвид Эйзенбуд , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии ISBN   0-387-94269-6
• Хоффманн, Рудольф-Э. (1981), «Основные расширения T ₁ -пространств», Canadian Mathematical Bulletin , 24 (2): 237–240, doi : 10.4153/CMB-1981-037-1
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98428-5 , МР   1653294
• Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Чистая и прикладная математика. Том. 17. Академическая пресса. ISBN  978-0-124-99250-4 . МР   0202787 . Раздел III.2
• Портст, Ханс-Э. (1981), «Характеристика инъективных оболочек», Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques , 22 (4): 399–406.