Идеальное кольцо
Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( Март 2016 г. ) |
В области абстрактной алгебры , известной как теория колец , совершенное слева кольцо — это тип кольца , над которым все левые модули имеют проективные покрытия . Правый случай определяется по аналогии, и условие не является лево-правосимметричным; то есть существуют кольца, идеальные с одной стороны, но не идеальные с другой. Совершенные кольца были представлены в . книге Басса [1]
— Полусовершенное кольцо это кольцо, над которым каждый конечно порожденный левый модуль имеет проективное накрытие. Это свойство симметрично слева направо.
Идеальное кольцо [ править ]
Определения [ править ]
Следующие эквивалентные определения совершенного слева кольца R можно найти у Адерсона и Фуллера: [2]
- Каждый левый R -модуль имеет проективное накрытие.
- R /J( R ) является полупростым , а J( R ) T-нильпотентным слева (т. е. для каждой бесконечной последовательности элементов J( R ) существует n такое, что произведение первых n членов равно нулю), где ( R ) — радикал Джекобсона R J .
- ( Теорема Басса P ) R удовлетворяет условию нисходящей цепи на главных правых идеалах . (Ошибки нет; это условие для главных правых идеалов эквивалентно тому, что кольцо совершенно слева .)
- Каждый плоский левый R -модуль проективен .
- R /J( R ) полупрост и каждый ненулевой левый R -модуль содержит максимальный подмодуль .
- R не содержит бесконечного ортогонального множества идемпотентов , и каждый ненулевой правый R -модуль содержит минимальный подмодуль .
Примеры [ править ]
- Правые или левые артиновы кольца , а также полупервичные кольца , как известно, совершенны справа и слева.
- Ниже приводится пример (придуманный Бассом) локального кольца , которое совершенно справа, но не слева. Пусть F — , поле и рассмотрим некоторое кольцо матриц над F. бесконечных
- Возьмем набор бесконечных матриц с элементами, индексированными , и которые имеют лишь конечное число ненулевых элементов, все они расположены выше диагонали, и обозначают это множество через . Также возьмите матрицу со всеми единицами на диагонали, и образуем набор
- Можно показать, что R — кольцо с единицей, радикалом Джекобсона которого является J . Более того, R / J — поле, так что R локально, а R правостороннее, но не левостороннее. [3]
Свойства [ править ]
Для совершенного слева кольца R :
- Из приведенных выше эквивалентностей следует, что каждый левый R -модуль имеет максимальный подмодуль и проективное накрытие, а плоские левые R -модули совпадают с проективными левыми модулями.
- Аналог критерия Бэра справедлив для проективных модулей. [ нужна ссылка ]
Полуидеальное кольцо [ править ]
Определение [ править ]
Пусть R — кольцо. Тогда R полусовершенен, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
- R /J( R ) полупрост и идемпотенты поднимаются модулю J( R ), где J( R ) — радикал Джекобсона R по .
- R имеет полный ортогональный набор e 1 , ..., en e идемпотентов, причем каждый i Re i является кольцом локальным .
- Каждый простой левый (правый) R -модуль имеет проективное накрытие .
- Каждый конечно порожденный левый (правый) R -модуль имеет проективное накрытие.
- Категория порожденных конечно проективных -модули — это Крулль-Шмидт .
Примеры [ править ]
Примеры полуидеальных колец включают:
- Слева (справа) идеальные кольца.
- Местные кольца.
- Теорема Капланского о проективных модулях
- Слева (справа) артиновы кольца .
- Конечномерные k - алгебры .
Свойства [ править ]
Так как кольцо R полусовершенно тогда и только тогда, когда каждый простой левый R -модуль имеет проективное накрытие, то каждое кольцо Морита, эквивалентное полусовершенному кольцу, также является полусовершенным.
Цитаты [ править ]
Ссылки [ править ]
- Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1
- Басс, Хайман (1960), «Финитистская размерность и гомологическое обобщение полупервичных колец», Transactions of the American Mathematical Society , 95 (3): 466–488, doi : 10.2307/1993568 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993568 , МР 0157984
- Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN. 0-387-95183-0 , МР 1838439