Минимальный идеал

разделе абстрактной алгебры , известном как теория колец , минимальный правый идеал кольца В R — это ненулевой правый идеал , который не содержит других ненулевых правых идеалов. Аналогично, минимальный левый идеал — это ненулевой левый идеал R , не содержащий других ненулевых левых идеалов R , а минимальный идеал R — это ненулевой идеал, не содержащий других ненулевых двусторонних идеалов R. ( Айзекс 2009 , стр. 190).

Другими словами, минимальные правые идеалы — это минимальные элементы ( частично упорядоченного множества ЧУМ) ненулевых правых идеалов R, упорядоченных включением . Читателя предупреждают, что вне этого контекста некоторые ЧУ идеалов могут допускать нулевой идеал, и поэтому нулевой идеал потенциально может быть минимальным элементом в этом ЧУ. Это относится к частичному множеству простых идеалов кольца, которое может включать нулевой идеал в качестве минимального простого идеала .

Определение

Определение минимального правого идеала N кольца R эквивалентно следующим условиям:

• N не равно нулю, и если K правый идеал кольца R такой, что {0} ⊆ K ⊆ N , то либо K = {0} , либо K = N. —
• N — простой правый R - модуль .

Минимальные идеалы — это двойственное понятие максимальным идеалам .

Характеристики

Многие стандартные факты о минимальных идеалах можно найти в стандартных текстах, таких как ( Anderson & Fuller 1992 ), ( Isaacs 2009 ), ( Lam 2001 ) и ( Lam 1999 ).

• В кольце с единицей всегда существуют максимальные правые идеалы. Напротив, минимальные правые, левые или двусторонние идеалы в кольце с единицей не обязательно должны существовать.
• Правый цоколь кольца $\mathrm {soc} (R_{R})$ является важной структурой, определяемой в терминах минимальных правых идеалов R .
• Кольца, у которых каждый правый идеал содержит минимальный правый идеал, — это в точности кольца с существенным правым цоколем.
• Любое правое артиново кольцо или правое кольцо Каша имеет минимальный правый идеал.
• Области , не являющиеся телами, не имеют минимальных правых идеалов.
• В кольцах с единицей минимальные правые идеалы обязательно являются главными правыми идеалами поскольку для любого ненулевого x в минимальном правом идеале N множество xR является ненулевым правым идеалом R внутри N , и поэтому xR = N. ,
• Лемма Брауэра: любой минимальный правый идеал N в кольце R удовлетворяет N ² = {0} или N = eR для некоторого идемпотентного элемента e из R ( Lam 2001 , стр. 162).
• Если N ₁ и N ₂ — неизоморфные минимальные правые идеалы кольца R , то произведение N ₁ N ₂ равно {0}.
• Если N ₁ и N ₂ — различные минимальные идеалы кольца R , то N ₁ N ₂ = {0}.
• Простое кольцо с минимальным правым идеалом — полупростое кольцо .
• В полупервичном кольце существует минимальный правый идеал тогда и только тогда, когда существует минимальный левый идеал ( Лам 2001 , стр. 174).

Обобщение

Ненулевой подмодуль N правого модуля M называется минимальным подмодулем, если он не содержит других ненулевых подмодулей модуля M . Эквивалентно, N — ненулевой подмодуль M , который является простым модулем . Это также можно распространить на бимодули , назвав ненулевой подбимодуль N минимальным подбимодулем M , если N не содержит других ненулевых подбимодулей.

Если в качестве модуля M взять правый R -модуль R _R , то минимальные подмодули являются в точности минимальными правыми идеалами R . Аналогично, минимальные левые идеалы R являются в точности минимальными подмодулями левого модуля _R   R . В случае двусторонних идеалов мы видим, что минимальные идеалы R являются в точности минимальными подбимодулями бимодуля _R   R _R .

Как и в случае с кольцами, нет никакой гарантии, что в модуле существуют минимальные подмодули. Минимальные подмодули могут использоваться для определения цоколя модуля .

Ссылки

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , том. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, ISBN  0-387-97845-3 , МР   1245487
• Айзекс, И. Мартин (2009) [1994], Алгебра: аспирантура , Аспирантура по математике , вып. 100, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xii+516, ISBN.  978-0-8218-4799-2 , МР   2472787
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98428-5 , МР   1653294
• Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, ISBN.  0-387-95183-0 , МР   1838439

Внешние ссылки

• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minimal_ideal