Денежное кольцо

В теории колец (подполе абстрактной алгебры ) правое кольцо Каша — это кольцо R, которого каждый простой правый R модуль изоморфен правому идеалу кольца R. для ^[1] Аналогично определяется понятие левого кольца Каша , и эти два свойства независимы друг от друга.

Кольца Каша названы в честь математика Фридриха Каша . Первоначально Каш назвал артиновы кольца , собственные идеалы которых имеют ненулевые аннуляторы, S-кольцами . ^[2]^[3] Приведенные ниже характеристики показывают, что кольца Каша обобщают S-кольца.

Определение [ править ]

Эквивалентные определения будут введены только для правого варианта, при том понимании, что верны и левые аналоги. Условия Каша имеют несколько эквивалентных утверждений, использующих концепцию аннигиляторов , и в этой статье используются те же обозначения, что и в статье об аннигиляторах.

В дополнение к определению, данному во введении, следующие свойства являются эквивалентными определениями кольца R. правого Каша Они появляются у Лама (1999 , стр. 281):

Для каждого простого правого модуля M существует ненулевой модулей из M в R. гомоморфизм
Максимальные правые идеалы R являются правыми аннуляторами кольцевых элементов, т. е. каждый из них имеет вид $\mathrm {r.ann} (x)\,$ где x находится в R .
Для любого максимального правого идеала T кольца R , $\mathrm {\ell .ann} (T)\neq \{0\}$ .
Для любого собственного правого идеала T кольца R , $\mathrm {\ell .ann} (T)\neq \{0\}$ .
Для любого максимального правого идеала T кольца R , $\mathrm {r.ann} (\mathrm {\ell .ann} (T))=T$ .
R не имеет плотных правых идеалов, кроме R. самого

Примеры [ править ]

Содержимое ниже можно найти в таких источниках, как Faith (1999 , стр. 109), Lam (1999 , §§8C,19B), Nicholson & Yousif (2003 , стр.51).

Пусть R — полупримарное кольцо с Джекобсона J. радикалом Если R коммутативно, или если R / J — простое кольцо , то R — правый (и левый) Каш. В частности, коммутативными артиновыми кольцами являются правый и левый Каш.
Для тела k рассмотрим некоторое подкольцо R кольца матриц размером четыре на четыре с элементами из k . Подкольцо R состоит из матриц следующего вида:

{\begin{bmatrix}a&0&b&c\\0&a&0&d\\0&0&a&0\\0&0&0&e\end{bmatrix}}

Это правое и левое артиново кольцо, которое является правым Кашем, но не левым Кашем.

Пусть S — кольцо степенных рядов от двух некоммутирующих переменных X и Y с коэффициентами из поля F . Пусть идеал A — это идеал, порожденный двумя элементами YX и Y. ². Факторкольцо , S / A является локальным кольцом которое является правым Кашем, но не левым Кашем.
Предположим, что R — кольцевое прямое произведение бесконечного числа ненулевых колец, помеченных A _k . Прямая сумма Ak образует _идеал собственный R . Легко проверить, что левый и правый аннуляторы этого идеала равны нулю, и поэтому R не является ни правым, ни левым Кашем.
размером два на два Верхнее (или нижнее) треугольное матричное кольцо не является правым или левым Кашем.
Кольцо с правым цокольным нулем (т.е. $\mathrm {soc} (R_{R})=\{0\}$ ) не может быть правым Кашем, так как кольцо не содержит минимальных правых идеалов . Так, например, домены, не являющиеся телами, не являются правыми или левыми Кашем.

Ссылки [ править ]

^ Этот идеал обязательно является минимальным правым идеалом .
^ ( Каш 1954 )
^ ( Морита 1966 )

Фейт, Карл (1999), Кольца и вещи и прекрасный набор ассоциативной алгебры двадцатого века , Математические обзоры и монографии, том. 65, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xxxiv+422, ISBN. 978-0-8218-0993-8 , МР 1657671
Каш, Фридрих (1954), «Основы теории расширений Фробениуса» , Math. (на немецком языке), 127 : 453–474, doi : 10.1007/bf01361137 , ISSN 0025-5831 , MR 0062724
Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , МР 1653294
Морита, Киити (1966), «О S -кольцах в смысле Ф. Каша», Nagoya Math. J. , 27 (2): 687–695, doi : 10.1017/S0027763000026477 , ISSN 0027-7630 , MR 0199230
Николсон, ВК; Юсиф, М.Ф. (2003), Кольца КвазиФробениуса , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 158, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. xviii+307, doi : 10.1017/CBO9780511546525 , ISBN 978-0-521-81593-2 , МР 2003785

[1] Этот идеал обязательно является минимальным правым идеалом .

[2] ( Каш 1954 )

[3] ( Морита 1966 )

[1]

[2]

[3]