Прямая сумма

Прямая сумма — это операция между структурами в абстрактной алгебре , разделе математики . Оно определяется по-разному, но аналогично для разных видов структур. Например, прямая сумма двух абелевых групп $A$ и $B$ это еще одна абелева группа $A\oplus B$ состоящая из упорядоченных пар $(a,b)$ где $a\in A$ и $b\in B$ . Чтобы добавить упорядоченные пары, определим сумму $(a,b)+(c,d)$ быть $(a+c,b+d)$ ; другими словами, сложение определяется по координатам. Например, прямая сумма $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ , где $\mathbb {R}$ — действительное координатное пространство , — декартова плоскость , $\mathbb {R} ^{2}$ . Аналогичный процесс можно использовать для формирования прямой суммы двух векторных пространств или двух модулей .

Мы также можем образовывать прямые суммы с любым конечным числом слагаемых, например $A\oplus B\oplus C$ , предоставил $A,B,$ и $C$ являются одними и теми же видами алгебраических структур (например, все абелевы группы или все векторные пространства). Это основано на том факте, что прямая сумма ассоциативна с точностью до изоморфизма . То есть, $(A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)$ для любых алгебраических структур $A$ , $B$ , и $C$ такого же рода. Прямая сумма также коммутативна с точностью до изоморфизма, т.е. $A\oplus B\cong B\oplus A$ для любых алгебраических структур $A$ и $B$ такого же рода.

Прямая сумма конечного числа абелевых групп, векторных пространств или модулей канонически изоморфна соответствующему прямому произведению . Однако это неверно для некоторых алгебраических объектов, таких как неабелевы группы.

В случае объединения бесконечного числа объектов прямая сумма и прямое произведение не изоморфны даже для абелевых групп, векторных пространств или модулей. В качестве примера рассмотрим прямую сумму и прямое произведение (счетного) бесконечного числа копий целых чисел. Элемент в прямом произведении представляет собой бесконечную последовательность, например (1,2,3,...), но в прямой сумме существует требование, чтобы все координаты, кроме конечного числа, были равны нулю, поэтому последовательность (1,2 ,3,...) будет элементом прямого произведения, но не прямой суммы, а (1,2,0,0,0,...) будет элементом обоих. Часто, если используется знак +, все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны нулю, а если используется какая-либо форма умножения, все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны 1. Говоря более техническим языком, если слагаемые равны $(A_{i})_{i\in I}$ , прямая сумма

\bigoplus _{i\in I}A_{i}

определяется как набор кортежей

(a_{i})_{i\in I}

с

a_{i}\in A_{i}

такой, что

a_{i}=0

для всех, кроме конечного числа i . Прямая сумма

{\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}

содержится в прямом произведении

{\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}

, но строго меньше, если индекс установлен

I

бесконечно, поскольку элемент прямого произведения может иметь бесконечное количество ненулевых координат. ^[1]

Примеры [ править ]

Плоскость xy , двумерное векторное пространство , можно рассматривать как прямую сумму двух одномерных векторных пространств, а именно осей x и y . В этой прямой сумме оси x и y пересекаются только в начале координат (нулевом векторе). Сложение определяется по координатам, т.е. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ , что аналогично сложению векторов.

Учитывая две структуры $A$ и $B$ , их прямая сумма записывается как $A\oplus B$ . Учитывая индексированное семейство структур $A_{i}$ , индексированный с помощью $i\in I$ , прямую сумму можно записать ${\textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ . Каждое A _i называется прямым слагаемым A . Если набор индексов конечен, прямая сумма равна прямому произведению. В случае групп, если групповая операция записана как $+$ используется словосочетание «прямая сумма», а если записана групповая операция $*$ используется фраза «прямой продукт». Когда набор индексов бесконечен, прямая сумма — это не то же самое, что прямое произведение, поскольку к прямой сумме предъявляется дополнительное требование: все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны нулю.

внешние прямые суммы Внутренние и

Различают внутренние и внешние прямые суммы, хотя они изоморфны. Если сначала определяются слагаемые, а затем через слагаемые определяется прямая сумма, мы имеем внешнюю прямую сумму. Например, если мы определим действительные числа $\mathbb {R}$ а затем определить $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ прямая сумма называется внешней.

С другой стороны, если мы сначала определим некоторую алгебраическую структуру $S$ а потом напиши $S$ как прямая сумма двух подструктур $V$ и $W$ , то прямая сумма называется внутренней. В этом случае каждый элемент $S$ однозначно выражается как алгебраическая комбинация элемента $V$ и элемент $W$ . В качестве примера внутренней прямой суммы рассмотрим $\mathbb {Z} _{6}$ (целые числа по модулю шесть), элементами которого являются $\{0,1,2,3,4,5\}$ . Это выражается как внутренняя прямая сумма $\mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}$ .

Виды прямой суммы [ править ]

сумма групп Прямая абелевых

Прямая сумма абелевых групп является типичным примером прямой суммы. Даны две такие группы $(A,\circ )$ и $(B,\bullet ),$ их прямая сумма $A\oplus B$ то же самое, что и их прямое произведение . То есть базовым набором является декартово произведение $A\times B$ и групповая операция $\,\cdot \,$ определяется покомпонентно:

\left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).

Это определение обобщается на прямые суммы конечного числа абелевых групп.

Для произвольного семейства групп $A_{i}$ индексируется $i\in I,$ их прямая сумма ^[2]

\bigoplus _{i\in I}A_{i}

— подгруппа прямого произведения, состоящая из элементов

{\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}

которые имеют конечную поддержку , где по определению

\left(a_{i}\right)_{i\in I}

говорят, что он имеет конечный носитель , если

a_{i}

является элементом идентичности

A_{i}

для всех, кроме конечного числа

i.

^[3] Прямая сумма бесконечного семейства

\left(A_{i}\right)_{i\in I}

нетривиальных групп является собственной подгруппой группы произведений

{\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}.}

Прямая сумма модулей [ править ]

Прямая сумма модулей – это конструкция, объединяющая несколько модулей в новый модуль.

Наиболее знакомые примеры этой конструкции встречаются при рассмотрении векторных пространств , которые являются модулями над полем . Конструкция может быть распространена также на банаховы и гильбертовы пространства .

Прямая сумма по категориям [ править ]

Аддитивная категория — это абстракция свойств категории модулей. ^[4]^[5]В такой категории конечные произведения и копроизведения совпадают, и прямая сумма равна любому из них, ср. бипродукт .

Общий случай: ^[2] В теории категорий Прямая сумма часто, но не всегда, является сопроизведением в категории рассматриваемых математических объектов. Например, в категории абелевых групп прямая сумма является копроизведением. Это также справедливо и в отношении модулей.

Прямые суммы и копродукции в категориях групп [ править ]

Однако прямая сумма $S_{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ (определяется тождественно прямой сумме абелевых групп) не является копроизведением групп $S_{3}$ и $\mathbb {Z} _{2}$ в категории групп . Поэтому для этой категории категориальную прямую сумму часто называют просто копроизведением, чтобы избежать возможной путаницы.

сумма представлений Прямая группы

Прямая сумма представлений группы обобщает прямую сумму базовых модулей , добавляя к ней групповое действие . В частности, учитывая группу $G$ и два представления $V$ и $W$ из $G$ (или, в более общем смысле, два $G$ -модули ), прямая сумма представлений равна $V\oplus W$ с действием $g\in G$ задано покомпонентно, т.е.

g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).

Другой эквивалентный способ определения прямой суммы заключается в следующем:

Учитывая два представления $(V,\rho _{V})$ и $(W,\rho _{W})$ векторное пространство прямой суммы есть $V\oplus W$ и гомоморфизм $\rho _{V\oplus W}$ дан кем-то $\alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),$ где $\alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)$ — естественная карта, полученная координатным действием, как указано выше.

Кроме того, если $V,\,W$ конечномерны, то, учитывая базис $V,\,W$ , $\rho _{V}$ и $\rho _{W}$ являются матричными. В этом случае, $\rho _{V\oplus W}$ дается как

g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.

Более того, если мы будем относиться $V$ и $W$ как модули над групповым кольцом $kG$ , где $k$ — поле, то прямая сумма представлений $V$ и $W$ равна их прямой сумме как $kG$ модули.

Прямая сумма колец [ править ]

Некоторые авторы будут говорить о прямой сумме $R\oplus S$ двух колец, когда они означают прямое произведение $R\times S$ , но этого следует избегать ^[6] с $R\times S$ не получает естественных гомоморфизмов колец из $R$ и $S$ : в частности, карта $R\to R\times S$ отправка $r$ к $(r,0)$ не является кольцевым гомоморфизмом, поскольку он не может перевести 1 в $(1,1)$ (при условии, что $0\neq 1$ в $S$ ). Таким образом $R\times S$ не является копроизведением в категории колец и не должно быть записано в виде прямой суммы. (Копроизведение в категории коммутативных колец — это тензорное произведение колец . ^[7] В категории колец копроизведение задается конструкцией, аналогичной свободному произведению групп.)

Использование терминологии и обозначений прямой суммы особенно проблематично при работе с бесконечными семействами колец: если $(R_{i})_{i\in I}$ является бесконечным набором нетривиальных колец, то прямая сумма основных аддитивных групп может быть снабжена почленным умножением, но это дает rng , то есть кольцо без мультипликативного тождества.

Прямая сумма матриц [ править ]

Для любых произвольных матриц $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ , прямая сумма $\mathbf {A} \oplus \mathbf {B}$ определяется как блочная диагональная матрица $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ если обе являются квадратными матрицами (и аналогичной блочной матрицей , если нет).

\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.

сумма топологических пространств Прямая векторных

Топологическое векторное пространство (ТВП) $X,$ такое как банахово пространство , называется топологической прямой суммой двух векторных подпространств. $M$ и $N$ если дополнительная карта

{\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}

является изоморфизмом топологических векторных пространств (это означает, что это линейное отображение является биективным гомеоморфизмом ), и в этом случае

M

и

N

называются топологическими дополнениями в

X.

Это верно тогда и только тогда, когда при рассмотрении аддитивных топологических групп (поэтому скалярное умножение игнорируется)

X

является топологической прямой суммой топологических подгрупп

M

и

N.

Если это так и если

X

Хаусдорф тогда

M

и

N

обязательно являются замкнутыми подпространствами

X.

Если $M$ является векторным подпространством вещественного или комплексного векторного пространства $X$ тогда всегда существует другое векторное подпространство $N$ из $X,$ называется алгебраическим дополнением $M$ в $X,$ такой, что $X$ является алгебраической прямой суммой $M$ и $N$ (что происходит тогда и только тогда, когда карта сложения $M\times N\to X$ является изоморфизмом векторного пространства ). В отличие от алгебраических прямых сумм, для топологических прямых сумм существование такого дополнения уже не гарантируется.

Векторное подпространство $M$ из $X$ называется ( топологически ) дополняемым подпространством пространства $X$ если существует некоторое векторное подпространство $N$ из $X$ такой, что $X$ является топологической прямой суммой $M$ и $N.$ Векторное подпространство называется недополненным, если оно не является дополняемым подпространством. Например, каждое векторное подпространство хаусдорфовой ТВС, не являющееся замкнутым подмножеством, обязательно является недополняемым. Каждое замкнутое векторное подпространство гильбертова пространства дополняемо. Но каждое банахово пространство , не являющееся гильбертовым, обязательно содержит некоторое недополняемое замкнутое векторное подпространство.

Гомоморфизмы [ править ]

^{[ нужны разъяснения ]}

Прямая сумма ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ поставляется с проекционным гомоморфизмом ${\textstyle \pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}}$ для каждого j в I и копроекции ${\textstyle \alpha _{j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ для j в I. каждого ^[8] Учитывая другую алгебраическую структуру $B$ (с той же дополнительной структурой) и гомоморфизмы $g_{j}\colon A_{j}\to B$ для каждого j в I существует единственный гомоморфизм ${\textstyle g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B}$ , называемая суммой g j _, такая, что $g\alpha _{j}=g_{j}$ для всех j . Таким образом, прямая сумма является копродукцией соответствующей категории .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Томас В. Хангерфорд , Алгебра , стр.60, Springer, 1974, ISBN 0387905189
^ Перейти обратно: ^а ^б Прямая сумма в n Lab
^ Джозеф Дж. Ротман, Теория групп: введение , с. 177, Аллин и Бэкон, 1965 г.
^ " "стр.45" " (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 22 мая 2013 г. Проверено 14 января 2014 г.
^ «Приложение» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 сентября 2006 г. Проверено 14 января 2014 г.
^ Math StackExchange о прямой сумме колец и прямом произведении колец.
^ Ланг 2002 , раздел I.11.
^ Хойнен, Крис (2009). Категориальные квантовые модели и логика . Палласовые диссертации. Издательство Амстердамского университета. п. 26. ISBN 978-9085550242 .

Ссылки [ править ]

Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556 , Збл 0984.00001

[1] Томас В. Хангерфорд , Алгебра , стр.60, Springer, 1974, ISBN 0387905189

[nLabDirectSum-2] Перейти обратно: ^а ^б Прямая сумма в n Lab

[3] Джозеф Дж. Ротман, Теория групп: введение , с. 177, Аллин и Бэкон, 1965 г.

[4] " "стр.45" " (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 22 мая 2013 г. Проверено 14 января 2014 г.

[5] «Приложение» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 сентября 2006 г. Проверено 14 января 2014 г.

[6] Math StackExchange о прямой сумме колец и прямом произведении колец.

[7] Ланг 2002 , раздел I.11.

[Heu26-8] Хойнен, Крис (2009). Категориальные квантовые модели и логика . Палласовые диссертации. Издательство Амстердамского университета. п. 26. ISBN 978-9085550242 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]