Дополненное подпространство

В разделе математики, называемом функциональным анализом , дополняемое подпространство топологического векторного пространства. $X,$ является векторным подпространством $M$ для которого существует какое-то другое векторное подпространство $N$ из $X,$ назвал его ( топологическим ) дополнением в $X$ , такой, что $X$ это прямая сумма $M\oplus N$ в категории топологических векторных пространств . Формально топологические прямые суммы усиливают алгебраическую прямую сумму , требуя, чтобы определенные отображения были непрерывными; результат сохраняет многие приятные свойства операции прямой суммы в конечномерных векторных пространствах.

Каждое конечномерное подпространство банахова пространства дополняется, но другие подпространства — нет. Вообще классификация всех дополняемых подпространств — сложная задача, решенная лишь для некоторых известных банаховых пространств .

Концепция дополняемого подпространства аналогична концепции множества дополнений , но отличается от нее . Теоретико-множественное дополнение векторного подпространства никогда не является дополнительным подпространством.

Предварительные сведения: определения и обозначения

Если $X$ является векторным пространством и $M$ и $N$ являются векторными подпространствами $X$ тогда существует четко определенное отображение сложения ${\begin{alignedat}{4}S:\;&&M\times N&&\;\to \;&X\\&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}$ Карта $S$ является морфизмом в категории векторных пространств , то есть линейным .

Алгебраическая прямая сумма

Векторное пространство $X$ называется алгебраической прямой суммой (или прямой суммой в категории векторных пространств) $M\oplus N$ когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

Карта сложения $S:M\times N\to X$ является изоморфизмом векторного пространства . ^[1]^[2]
Карта сложения является биективной.
$M\cap N=\{0\}$ и $M+N=X$ ; в этом случае $N$ называется алгебраическим дополнением или дополнением к $M$ в $X$ и эти два подпространства называются дополнительными или дополнительными . ^[2]^[3]

При выполнении этих условий происходит обратное $S^{-1}:X\to M\times N$ четко определена и может быть записана в координатах как $S^{-1}=\left(P_{M},P_{N}\right){\text{.}}$ Первая координата $P_{M}:X\to M$ называется канонической проекцией $X$ на $M$ ; аналогично вторая координата является канонической проекцией на $N.$ ^[4]

Эквивалентно, $P_{M}(x)$ и $P_{N}(x)$ являются уникальными векторами в $M$ и $N,$ соответственно, которые удовлетворяют $x=P_{M}(x)+P_{N}(x){\text{.}}$ В качестве карт, $P_{M}+P_{N}=\operatorname {Id} _{X},\qquad \ker P_{M}=N,\qquad {\text{ and }}\qquad \ker P_{N}=M$ где $\operatorname {Id} _{X}$ обозначает тождественную карту на $X$ . ^[2]

Мотивация

Предположим, что векторное пространство $X$ является алгебраической прямой суммой $M\oplus N$ . В категории векторных пространств конечные произведения и копроизведения совпадают: алгебраически, $M\oplus N$ и $M\times N$ неразличимы. Учитывая задачу, включающую элементы $X$ , можно разбить элементы на их компоненты в $M$ и $N$ , поскольку определенные выше отображения проекций действуют как обратные к естественному включению $M$ и $N$ в $X$ . Тогда можно решить задачу в векторных подпространствах и рекомбинировать их, образуя элемент $X$ .

В категории топологических векторных пространств это алгебраическое разложение становится менее полезным. Определение топологического векторного пространства требует добавления карты $S$ быть непрерывным; его инверсия $S^{-1}:X\to M\times N$ может быть и нет. ^[1] категорическое определение прямой суммы требует Однако $P_{M}$ и $P_{N}$ быть морфизмами, то есть непрерывными линейными отображениями.

Пространство $X$ является топологической прямой суммой $M$ и $N$ если (и только если) выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

Карта сложения $S:M\times N\to X$ является TVS-изоморфизмом (т. е. сюръективным линейным гомеоморфизмом ). ^[1]
$X$ $X$ является алгебраической прямой суммой $M$ $M$ и $N$ $N$ а также любое из следующих эквивалентных условий:
1. Обратная карта сложения $S^{-1}:X\to M\times N$ является непрерывным.
2. Обе канонические проекции $P_{M}:X\to M$ и $P_{N}:X\to N$ являются непрерывными.
3. Хотя бы одна из канонических проекций $P_{M}$ и $P_{N}$ является непрерывным.
4. Каноническая факторкарта $p:N\to X/M;p(n)=n+M$ является изоморфизмом топологических векторных пространств (т. е. линейным гомеоморфизмом). ^[2]
$X$ является прямой суммой $M$ и $N$ в категории топологических векторных пространств.
Карта $S$ является биективным и открытым .
Если рассматривать их как аддитивные топологические группы , $X$ является топологической прямой суммой подгрупп $M$ и $N.$

Топологическая прямая сумма также записывается $X=M\oplus N$ ; является ли сумма топологической или алгебраической, обычно выясняется через контекст .

Определение

Каждая топологическая прямая сумма является алгебраической прямой суммой. $X=M\oplus N$ ; обратное не гарантировано. Даже если оба $M$ и $N$ закрыты в $X$ , $S^{-1}$ может все еще не быть непрерывным. $N$ является (топологическим) дополнением или дополнением к $M$ если он избегает этой патологии, то есть если топологически $X=M\oplus N$ . (Затем $M$ также дополняет $N$ .) ^[1] Из условия 2(d) выше следует, что любое топологическое дополнение $M$ как топологическое векторное пространство изоморфно фактор-векторному пространству $X/M$ .

$M$ называется дополненным, если он имеет топологическое дополнение. $N$ (и без дополнений, если нет). Выбор $N$ может иметь весьма большое значение: каждое дополняемое векторное подпространство $M$ имеет алгебраические дополнения, которые не дополняют $M$ топологически.

Поскольку линейное отображение между двумя нормированными (или банаховыми ) пространствами ограничено тогда и только тогда, когда оно непрерывно , определение в категориях нормированных (соответственно банаховых ) пространств такое же, как и в топологических векторных пространствах.

Эквивалентные характеристики

Векторное подпространство $M$ дополняется в $X$ тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий: ^[1]

Существует непрерывное линейное отображение $P_{M}:X\to X$ с изображением $P_{M}(X)=M$ такой, что $P\circ P=P$ . То есть, $P_{M}$ является непрерывной линейной проекцией на $M$ . (В этом случае алгебраически $X=M\oplus \ker {P}$ , и это непрерывность $P_{M}$ это означает, что это дополнение.)
Для каждого ТВС $Y,$ карта ограничений $R:L(X;Y)\to L(M;Y);R(u)=u|_{M}$ является сюръективным. ^[5]

Если вдобавок $X$ является банаховым , то эквивалентным условием является

$M$ закрыт в $X$ , существует еще одно замкнутое подпространство $N\subseteq X$ , и $S$ является изоморфизмом абстрактной прямой суммы $M\oplus N$ к $X$ .

Примеры

Если $Y$ является пространством меры и $X\subseteq Y$ имеет положительную меру, то $L^{p}(X)$ дополняется в $L^{p}(Y)$ .
$c_{0}$ , пространство последовательностей, сходящихся к $0$ , дополняется в $c$ , пространство сходящихся последовательностей.
По разложению Лебега , $L^{1}([0,1])$ дополняется в $\mathrm {rca} ([0,1])\cong C([0,1])^{*}$ .

Достаточные условия

Для любых двух топологических векторных пространств $X$ и $Y$ , подпространства $X\times \{0\}$ и $\{0\}\times Y$ являются топологическими дополнениями в $X\times Y$ .

Каждое алгебраическое дополнение ${\overline {\{0\}}}$ , закрытие $0$ , также является топологическим дополнением. Это потому, что ${\overline {\{0\}}}$ имеет недискретную топологию , поэтому алгебраическая проекция непрерывна. ^[6]

Если $X=M\oplus N$ и $A:X\to Y$ сюръективно, то $Y=AM\oplus AN$ . ^[2]

Конечная размерность

Предполагать $X$ является Хаусдорфовым, локально выпуклым и $Y$ свободное топологическое векторное подпространство : для некоторого множества $I$ , у нас есть $Y\cong \mathbb {K} ^{I}$ (как телевизоры). Затем $Y$ является замкнутым и дополняемым векторным подпространством $X$ . ^{[доказательство 1]} В частности, любое конечномерное подпространство $X$ дополняется. ^[7]

В произвольных топологических векторных пространствах конечномерное векторное подпространство $Y$ топологически дополняемо тогда и только тогда, когда для любого ненулевого $y\in Y$ , существует непрерывный линейный функционал на $X$ что разделяет $y$ от $0$ . ^[1] Пример, в котором это не удается, см. в § Пространства Фреше .

Конечная коразмерность

Не все конечно- комерные векторные подпространства ТВС замкнуты, но те, которые есть, имеют дополнения. ^[7]^[8]

гильбертовы пространства

В гильбертовом пространстве ортогональное дополнение $M^{\bot }$ любого замкнутого векторного подпространства $M$ всегда является топологическим дополнением $M$ . Это свойство характеризует гильбертово пространство в классе банаховых пространств : каждое бесконечномерное негильбертово банахово пространство содержит замкнутое недополняемое подпространство, глубокая теорема Йорама Линденштрауса и Лиора Цафрири . ^[9]^[3]

Пространства Фреше

Позволять $X$ быть пространством Фреше над полем $\mathbb {K}$ . Тогда следующие условия эквивалентны: ^[10]

$X$ не нормируема (т. е. любая непрерывная норма не порождает топологию)
$X$ содержит векторное подпространство, TVS-изоморфное $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.$
$X$ содержит дополняемое векторное подпространство, TVS-изоморфное $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ .

Характеристики; примеры недополняемых подпространств

Дополненное (векторное) подпространство хаусдорфова пространства. $X$ обязательно является замкнутым подмножеством $X$ , как и его дополнение. ^[1]^{[доказательство 2]}

Из существования баз Гамеля каждое бесконечномерное банахово пространство содержит незамкнутые линейные подпространства. ^{[доказательство 3]} Поскольку любое дополняемое подпространство замкнуто, ни одно из этих подпространств не является дополняемым.

Аналогично, если $X$ представляет собой полноценный TVS и $X/M$ не является полным, то $M$ не имеет топологического дополнения в $X.$ ^[11]

Приложения

Если $A:X\to Y$ является непрерывной линейной сюръекцией , то следующие условия эквивалентны:

Ядро $A$ имеет топологическое дополнение.
Существует «правое обратное»: непрерывное линейное отображение. $B:Y\to X$ такой, что $AB=\mathrm {Id} _{Y}$ , где $\operatorname {Id} _{Y}:Y\to Y$ это карта идентичности. ^[5]

(Примечание: это утверждение является ошибочным упражнением Трева. Пусть $X$ и $Y$ оба будут $\mathbb {R}$ где $X$ наделен обычной топологией, но $Y$ наделен тривиальной топологией. Карта идентичности $X\to Y$ тогда является непрерывной линейной биекцией, но ее обратная не является непрерывной, поскольку $X$ имеет более тонкую топологию, чем $Y$ . Ядро $\{0\}$ имеет $X$ как топологическое дополнение, но мы только что показали, что непрерывного правого обратного не может существовать. Если $A:X\to Y$ также открыт (и, следовательно, является TVS-гомоморфизмом), то заявленный результат верен.)

Метод разложения

Топологические векторные пространства допускают следующую теорему типа Кантора-Шредера-Бернштейна :

Позволять

X

и

Y

быть TVS такими, что

X=X\oplus X

и

Y=Y\oplus Y.

Предположим, что

Y

содержит дополненную копию

X

и

X

содержит дополненную копию

Y.

Затем

X

TVS-изоморфен

Y.

Предположения о «саморасщеплении», согласно которым $X=X\oplus X$ и $Y=Y\oplus Y$ нельзя удалить: Тим Гауэрс показал в 1996 году, что существуют неизоморфные банаховы пространства. $X$ и $Y$ , каждый из которых дополняется другим. ^[12]

В классических банаховых пространствах

Понимание дополняемых подпространств произвольного банахова пространства $X$ с точностью до изоморфизма — классическая проблема, которая послужила стимулом для многих работ в теории базиса, в частности, для разработки операторов абсолютного суммирования . Проблема остается открытой для множества важных банаховых пространств, в первую очередь для пространства $L_{1}[0,1]$ . ^[13]

Для некоторых банаховых пространств вопрос закрыт. Наиболее известно, если $1\leq p\leq \infty$ то единственные дополняемые бесконечномерные подпространства $\ell _{p}$ изоморфны $\ell _{p},$ и то же самое касается $c_{0}.$ Такие пространства называются простыми (когда их единственные бесконечномерные дополняемые подпространства изоморфны исходному). Однако это не единственные простые пространства. ^[13]

Пространства $L_{p}[0,1]$ не являются простыми, когда бы то ни было $p\in (1,2)\cup (2,\infty );$ на самом деле они допускают бесчисленное множество неизоморфных дополняемых подпространств. ^[13]

Пространства $L_{2}[0,1]$ и $L_{\infty }[0,1]$ изоморфны $\ell _{2}$ и $\ell _{\infty },$ соответственно, поэтому они действительно простые. ^[13]

Пространство $L_{1}[0,1]$ не является простым, поскольку содержит дополненную копию $\ell _{1}$ . Никакие другие дополняемые подпространства $L_{1}[0,1]$ в настоящее время известны. ^[13]

Неразложимые банаховы пространства.

Бесконечномерное банахово пространство называется неразложимым , если его единственные дополняемые подпространства либо конечномерны, либо -коразмерны. Поскольку конечно- комерное подпространство банахова пространства $X$ всегда изоморфен $X,$ неразложимые банаховы пространства просты.

Самый известный пример неразложимых пространств на самом деле является наследственно неразложимым, а это означает, что каждое бесконечномерное подпространство также неразложимо. ^[14]

См. также

Прямая сумма - операция в абстрактной алгебре, объединяющая объекты в «более сложные» объекты.
Прямая сумма модулей – Операции в абстрактной алгебре
Прямая сумма топологических групп

Доказательства

^ $Y$ закрыто, потому что $\mathbb {K} ^{I}$ является полным и $X$ является Хаусдорф.
Позволять $f=\left(f_{i}\right)_{i\in I}:Y\to \mathbb {K} ^{I}$ — TVS-изоморфизм; каждый $f_{i}:Y\to \mathbb {K}$ является непрерывным линейным функционалом. По теореме Хана–Банаха мы можем расширить каждый $f_{i}$ к непрерывному линейному функционалу $F_{i}:X\to \mathbb {K}$ на $X.$ Совместная карта $F:X\to \mathbb {K} ^{I}$ представляет собой непрерывную линейную сюръекцию, ограничение которой на $Y$ является $f$ . Состав $P=f^{-1}\circ F:X\to Y$ тогда является непрерывной непрерывной проекцией на $Y$ .
КЭД
^ В хаусдорфовом пространстве $\{0\}$ закрыт. Дополненное пространство — это ядро (непрерывной) проекции на свое дополнение. Таким образом, это прообраз $\{0\}$ под сплошной картой и так закрыто.
КЭД
^ Любая последовательность $\{e_{j}\}_{j=0}^{\infty }\in X^{\omega }$ определяет карту суммирования $T:l^{1}\to X;T(\{x_{j}\}_{j})=\sum _{j}{x_{j}e_{j}}$ . Но если $\{e_{j}\}_{j}$ (алгебраически) линейно независимы и $\{x_{j}\}_{j}$ имеет полную поддержку, то $T(x)\in {\overline {\operatorname {span} {\{e_{j}\}_{j}}}}\setminus \operatorname {span} {\{e_{j}\}_{j}}$ .
КЭД

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Гротендик 1973 , стр. 34–36.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Фабиан, Мэриан Дж.; Хабала, Питер; Гаек, Петр; Монтесинос Санталучия, Висенте; Зизлер, Вацлав (2011). Теория банахового пространства: основа линейного и нелинейного анализа (PDF) . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 179–181. дои : 10.1007/978-1-4419-7515-7 . ISBN 978-1-4419-7515-7 .
^ Jump up to: ^а ^б Брезис, Хаим (2011). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных . Университеттекст. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 38–39. ISBN 978-0-387-70913-0 .
^ Шефер и Вольф 1999 , стр. 19–24.
^ Jump up to: ^а ^б Трир 2006 , с. 36.
^ Вилански 2013 , с. 63.
^ Jump up to: ^а ^б Рудин 1991 , с. 106.
^ Серр, Жан-Пьер (1955). «Теория двойственности». математические комментарии Гельветийские 29 (1): 9–26. дои : 10.1007/BF02564268 . S2CID 123643759 .
^ Линденштраусс, Дж., и Цафрири, Л. (1971). О проблеме дополненных подпространств. Израильский математический журнал, 9, 263–269.
^ Ярчоу 1981 , стр. 129–130.
^ Шефер и Вольф 1999 , стр. 190–202.
^ Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 100–101.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Альбиак, Фернандо; Калтон, Найджел Дж. (2006). Темы теории банахового пространства . GTM 233 (2-е изд.). Швейцария: Springer (опубликовано в 2016 г.). стр. 29–232. дои : 10.1007/978-3-319-31557-7 . ISBN 978-3-319-31557-7 .
^ Аргирос, Спирос; Толиас, Андреас (2004). Методы теории наследственно неразложимых банаховых пространств . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-3521-0 .

Библиография

Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс (2000). Функциональный анализ (Второе изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0486402512 . OCLC 829157984 .
Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7 . OCLC 886098 .
Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4 . OCLC 8210342 .
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .

[7] $Y$ закрыто, потому что $\mathbb {K} ^{I}$ является полным и $X$ является Хаусдорф.
Позволять $f=\left(f_{i}\right)_{i\in I}:Y\to \mathbb {K} ^{I}$ — TVS-изоморфизм; каждый $f_{i}:Y\to \mathbb {K}$ является непрерывным линейным функционалом. По теореме Хана–Банаха мы можем расширить каждый $f_{i}$ к непрерывному линейному функционалу $F_{i}:X\to \mathbb {K}$ на $X.$ Совместная карта $F:X\to \mathbb {K} ^{I}$ представляет собой непрерывную линейную сюръекцию, ограничение которой на $Y$ является $f$ . Состав $P=f^{-1}\circ F:X\to Y$ тогда является непрерывной непрерывной проекцией на $Y$ .
КЭД

[CompSubspaceOfHausdorffSTVSisClosed-12] В хаусдорфовом пространстве $\{0\}$ закрыт. Дополненное пространство — это ядро (непрерывной) проекции на свое дополнение. Таким образом, это прообраз $\{0\}$ под сплошной картой и так закрыто.
КЭД

[13] Любая последовательность $\{e_{j}\}_{j=0}^{\infty }\in X^{\omega }$ определяет карту суммирования $T:l^{1}\to X;T(\{x_{j}\}_{j})=\sum _{j}{x_{j}e_{j}}$ . Но если $\{e_{j}\}_{j}$ (алгебраически) линейно независимы и $\{x_{j}\}_{j}$ имеет полную поддержку, то $T(x)\in {\overline {\operatorname {span} {\{e_{j}\}_{j}}}}\setminus \operatorname {span} {\{e_{j}\}_{j}}$ .
КЭД

[FOOTNOTEGrothendieck197334–36-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Гротендик 1973 , стр. 34–36.

[FabianRevised-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Фабиан, Мэриан Дж.; Хабала, Питер; Гаек, Петр; Монтесинос Санталучия, Висенте; Зизлер, Вацлав (2011). Теория банахового пространства: основа линейного и нелинейного анализа (PDF) . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 179–181. дои : 10.1007/978-1-4419-7515-7 . ISBN 978-1-4419-7515-7 .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б Брезис, Хаим (2011). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных . Университеттекст. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 38–39. ISBN 978-0-387-70913-0 .

[FOOTNOTESchaeferWolff199919–24-4] Шефер и Вольф 1999 , стр. 19–24.

[FOOTNOTETrèves200636-5] Jump up to: ^а ^б Трир 2006 , с. 36.

[FOOTNOTEWilansky201363-6] Вилански 2013 , с. 63.

[FOOTNOTERudin1991106-8] Jump up to: ^а ^б Рудин 1991 , с. 106.

[9] Серр, Жан-Пьер (1955). «Теория двойственности». математические комментарии Гельветийские 29 (1): 9–26. дои : 10.1007/BF02564268 . S2CID 123643759 .

[10] Линденштраусс, Дж., и Цафрири, Л. (1971). О проблеме дополненных подпространств. Израильский математический журнал, 9, 263–269.

[FOOTNOTEJarchow1981129–130-11] Ярчоу 1981 , стр. 129–130.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999190–202-14] Шефер и Вольф 1999 , стр. 190–202.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011100–101-15] Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 100–101.

[:1-16] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Альбиак, Фернандо; Калтон, Найджел Дж. (2006). Темы теории банахового пространства . GTM 233 (2-е изд.). Швейцария: Springer (опубликовано в 2016 г.). стр. 29–232. дои : 10.1007/978-3-319-31557-7 . ISBN 978-3-319-31557-7 .

[17] Аргирос, Спирос; Толиас, Андреас (2004). Методы теории наследственно неразложимых банаховых пространств . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-3521-0 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[доказательство 1]

[7]

[8]

[9]

[10]

[доказательство 2]

[доказательство 3]

[11]

[12]

[13]

[14]

v т и Топологические векторные пространства (ТВП)
Basic concepts	Banach space Completeness Continuous linear operator Linear functional Fréchet space Linear map Locally convex space Metrizability Operator topologies Topological vector space Vector space
Main results	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Closed graph theorem F. Riesz's Hahn–Banach (hyperplane separation Vector-valued Hahn–Banach) Open mapping (Banach–Schauder) Bounded inverse Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
Maps	Bilinear operator form Linear map Almost open Bounded Continuous Closed Compact Densely defined Discontinuous Topological homomorphism Functional Linear Bilinear Sesquilinear Norm Seminorm Sublinear function Transpose
Types of sets	Absolutely convex/disk Absorbing/Radial Affine Balanced/Circled Banach disks Bounding points Bounded Complemented subspace Convex Convex cone (subset) Linear cone (subset) Extreme point Pre-compact/Totally bounded Prevalent/Shy Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric
Set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Convex hull Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Types of TVSs	Asplund B-complete/Ptak Banach (Countably) Barrelled BK-space (Ultra-) Bornological Brauner Complete Convenient (DF)-space Distinguished F-space FK-AK space FK-space Fréchet tame Fréchet Grothendieck Hilbert Infrabarreled Interpolation space K-space LB-space LF-space Locally convex space Mackey (Pseudo)Metrizable Montel Quasibarrelled Quasi-complete Quasinormed (Polynomially Semi-) Reflexive Riesz Schwartz Semi-complete Smith Stereotype (B Strictly Uniformly) convex (Quasi-) Ultrabarrelled Uniformly smooth Webbed With the approximation property
Category