Замыкание (топология)

Чтобы узнать о других значениях, см. Замыкание (значения) .

В топологии замыкание подмножества S со точек топологического пространства состоит из точек S S. вместе предельными точками всех всеми Замыкание S может быть эквивалентно определено как объединение S , и его границы , а также как пересечение всех замкнутых содержащих S. множеств Интуитивно, замыкание можно рассматривать как все точки, находящиеся либо в S либо «очень близко» к S. , находящаяся в замыкании S является точкой замыкания S. , Точка , Понятие закрытия во многом двойственно понятию внутреннего .

Определения

Точка закрытия

Основная статья: Точка присоединения

Для $S$ как подмножество евклидова пространства , $x$ является точкой закрытия $S$ если каждый открытый шар с центром в $x$ содержит точку $S$ (этот момент может быть $x$ сам).

Это определение обобщается на любое подмножество $S$ метрического пространства $X.$ Полностью выражено, т. $X$ как метрическое пространство с метрикой $d,$ $x$ является точкой закрытия $S$ если для каждого $r>0$ существует какой-то $s\in S$ такое, что расстояние $d(x,s)<r$ ( $x=s$позволено). Другой способ выразить это – сказать, что $x$ является точкой закрытия $S$ если расстояние $d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0$ где $\inf$ самый низкий это

Это определение обобщается на топологические пространства , заменяя «открытый шар» или «шар» на « окрестность ». Позволять $S$ быть подмножеством топологического пространства $X.$ Затем $x$ является точкой закрытия или точкой присоединения $S$ если каждая окрестность $x$ содержит точку $S$ (снова, $x=s$ для $s\in S$ позволено). Обратите внимание, что это определение не зависит от того, должны ли окрестности быть открытыми.

Предельная точка

Основная статья: Предельная точка набора

Определение точки замыкания множества тесно связано с определением предельной точки множества . Разница между двумя определениями тонкая, но важная, а именно, в определении предельной точки. $x$ из набора $S$, каждый район $x$ должен содержать точку $S$ Кроме как $x$ себя , т. е. каждая окрестность $x$ очевидно имеет $x$ но оно также должно иметь смысл $S$ это не равно $x$ Для того чтобы $x$ быть предельной точкой $S$. Предельная точка $S$ имеет более строгое условие, чем точка замыкания $S$в определениях. Набор всех предельных точек множества $S$ называется производным множеством $S$. Предельную точку множества также называют точкой кластера или точкой накопления множества.

Таким образом, каждая предельная точка является точкой замыкания, но не каждая точка замыкания является предельной точкой . Точка замыкания, не являющаяся предельной точкой, является изолированной точкой . Другими словами, точка $x$ представляет собой изолированную точку $S$ если это элемент $S$ и есть окрестности $x$ который не содержит других точек $S$ чем $x$ сам.

Для заданного набора $S$ и точка $x,$ $x$ является точкой закрытия $S$ если и только если $x$ является элементом $S$ или $x$ является предельной точкой $S$ (или оба).

Закрытие набора

См. Также: Замыкание (математика)

Закрытие ​ подмножества $S$ топологического пространства $(X,\tau ),$ обозначается $\operatorname {cl} _{(X,\tau )}S$ или, возможно, через $\operatorname {cl} _{X}S$ (если $\tau$ понятно), где, если оба $X$ и $\tau$ понятны из контекста, то это также может быть обозначено $\operatorname {cl} S,$ ${\overline {S}},$ или $S{}^{-}$ (Более того, $\operatorname {cl}$ иногда пишется с заглавной буквы $\operatorname {Cl}$.) можно определить, используя любое из следующих эквивалентных определений:

1. $\operatorname {cl} S$ множество всех точек замыкания $S.$
2. $\operatorname {cl} S$ это набор $S$вместе со всеми его предельными точками . (Каждая точка $S$ является точкой закрытия $S$, и каждая предельная точка $S$ также является точкой закрытия $S$.)
3. $\operatorname {cl} S$ является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих $S.$
4. $\operatorname {cl} S$ — наименьшее замкнутое множество, содержащее $S.$
5. $\operatorname {cl} S$ это союз $S$ и его граница $\partial (S).$
6. $\operatorname {cl} S$ это совокупность всех $x\in X$ для которых существует чистая (оцененная) сумма в $S$ который сходится к $x$ в $(X,\tau ).$

Замыкание множества обладает следующими свойствами.

• $\operatorname {cl} S$ представляет собой закрытое надмножество $S$.
• Набор $S$ закрыто тогда и только тогда, когда $S=\operatorname {cl} S$.
• Если $S\subseteq T$ затем $\operatorname {cl} S$ является подмножеством $\operatorname {cl} T.$
• Если $A$ является замкнутым множеством, то $A$ содержит $S$ если и только если $A$ содержит $\operatorname {cl} S.$

Иногда второе или третье свойство, приведенное выше, принимается за определение топологического замыкания, которое по-прежнему имеет смысл при применении к другим типам замыканий (см. Ниже).

В пространстве с первой счетностью (например, метрическом пространстве ) $\operatorname {cl} S$ - это множество всех пределов всех сходящихся последовательностей точек в $S.$ Для общего топологического пространства это утверждение остается верным, если заменить «последовательность» на « сеть » или « фильтр » (как описано в статье о фильтрах в топологии ).

Обратите внимание, что эти свойства также выполняются, если «замыкание», «надмножество», «пересечение», «содержит/содержащий», «наименьший» и «закрытый» заменяются на «внутренний», «подмножество», «объединение», «содержащийся». в», «крупнейший» и «открытый». Дополнительную информацию по этому вопросу см. в разделе «Оператор замыкания» ниже.

Примеры

Рассмотрим сферу в трехмерном пространстве. Неявно существует две области интересов, созданные этой сферой; сама сфера и ее внутренность (которая называется открытым трехмерным шаром ). Полезно различать внутреннюю часть и поверхность сферы, поэтому мы различаем открытый трехмерный шар (внутреннюю часть сферы) и закрытый трехмерный шар – замыкание открытого трехмерного шара, то есть открытый 3-шар плюс поверхность (поверхность в виде самой сферы).

В топологическом пространстве :

• В любом пространстве, $\varnothing =\operatorname {cl} \varnothing$. Другими словами, замыкание пустого множества $\varnothing$ является $\varnothing$ сам.
• В любом пространстве $X,$ $X=\operatorname {cl} X.$

предоставление $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$ стандартная (метрическая) топология :

• Если $X$ это евклидово пространство $\mathbb {R}$ действительных чисел , то $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1]$. Другими словами, замыкание множества $(0,1)$ как подмножество $X$ является $[0,1]$.
• Если $X$ это евклидово пространство $\mathbb {R}$, то замыкание множества $\mathbb {Q}$ рациональных чисел — это все пространство $\mathbb {R} .$ Мы говорим, что $\mathbb {Q}$ плотный ​ в $\mathbb {R} .$
• Если $X$ это сложная плоскость $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},$ затем $\operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1\}.$
• Если $S$ является конечным подмножеством евклидова пространства $X,$ затем $\operatorname {cl} _{X}S=S.$ (Для общего топологического пространства это свойство эквивалентно аксиоме 1 _. T )

На множестве действительных чисел можно ставить и другие топологии, отличные от стандартной.

• Если $X=\mathbb {R}$ наделен топологией нижнего предела , то $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1).$
• Если рассматривать $X=\mathbb {R}$ дискретная топология , в которой каждое множество замкнуто (открыто), тогда $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=(0,1).$
• Если рассматривать $X=\mathbb {R}$ тривиальная топология, в которой единственными закрытыми (открытыми) множествами являются пустое множество и $\mathbb {R}$ сам, тогда $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R} .$

Эти примеры показывают, что замыкание множества зависит от топологии лежащего в его основе пространства. Последние два примера являются частными случаями следующего.

• В любом дискретном пространстве , поскольку каждое множество замкнуто (а также открыто), каждое множество равно своему замыканию.
• В любом недискретном пространстве $X,$ поскольку закрытыми множествами являются только пустое множество и $X$ само по себе мы имеем, что замыкание пустого множества есть пустое множество, и для каждого непустого подмножества $A$ из $X,$ $\operatorname {cl} _{X}A=X.$ Другими словами, каждое непустое подмножество недискретного пространства плотно .

Замыкание множества также зависит от того, в каком пространстве мы делаем замыкание. Например, если $X$ - это набор рациональных чисел с обычной относительной топологией , индуцированной евклидовым пространством. $\mathbb {R} ,$ и если $S=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}>2,q>0\},$ затем $S$ одновременно закрыт и открыт в $\mathbb {Q}$ потому что ни $S$ ни его дополнение не может содержать ${\sqrt {2}}$, что будет нижней границей $S$, но не может находиться в $S$ потому что ${\sqrt {2}}$иррационально. Так, $S$ не имеет четко определенного замыкания из-за отсутствия граничных элементов $\mathbb {Q}$. Однако, если мы вместо этого определим $X$ быть набором действительных чисел и определять интервал таким же образом, тогда замыкание этого интервала четко определено и будет набором всех действительных чисел, больших или равных ${\sqrt {2}}$.

Оператор закрытия

См. Также: Оператор замыкания и аксиомы замыкания Куратовского.

Оператор замыкания на множестве $X$ является отображением мощности набора ​ $X,$ ${\mathcal {P}}(X)$, в себя, что удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского . Учитывая топологическое пространство $(X,\tau )$топологическое замыкание индуцирует функцию $\operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)$ это определяется отправкой подмножества $S\subseteq X$ к $\operatorname {cl} _{X}S,$ где обозначение ${\overline {S}}$ или $S^{-}$вместо этого можно использовать. И наоборот, если $\mathbb {c}$ является оператором замыкания множества $X,$ тогда топологическое пространство получается путем определения замкнутых множеств как в точности тех подмножеств $S\subseteq X$ которые удовлетворяют $\mathbb {c} (S)=S$ (так дополняется в $X$ из этих подмножеств образуют открытые множества топологии).

Оператор закрытия $\operatorname {cl} _{X}$ двойственен , который внутреннему оператору обозначается $\operatorname {int} _{X},$ в смысле

$\operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),$

а также

$\operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).$

Следовательно, абстрактную теорию операторов замыкания и аксиомы замыкания Куратовского можно легко перевести на язык внутренних операторов, заменяя множества их дополнениями в $X.$

В общем случае оператор замыкания не коммутирует с пересечениями. Однако в полном метрическом пространстве справедлив следующий результат:

Теорема  (Ч. Урсеску) — Пусть $S_{1},S_{2},\ldots$ быть последовательностью подмножеств полного метрического пространства $X.$

• Если каждый $S_{i}$ закрыт в $X$ затем
  $$\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {int} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].$$
• Если каждый $S_{i}$ открыт в $X$ затем
  $$\operatorname {int} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {int} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].$$

Факты о закрытиях

Подмножество $S$ закрыт ​ в $X$ если и только если $\operatorname {cl} _{X}S=S.$ В частности:

• Замыкание пустого множества — это пустое множество;
• Закрытие $X$ сам по себе $X.$
• Замыкание пересечения множеств всегда является подмножеством пересечения замыканий множеств (но не обязательно равно ему).
• В объединении конечного числа множеств замыкание объединения и объединение замыканий равны; объединение нулевых множеств представляет собой пустое множество, и поэтому это утверждение содержит предыдущее утверждение о замыкании пустого множества как особого случая.
• Замыкание объединения бесконечного числа множеств не обязательно должно равняться объединению замыканий, но оно всегда является надмножеством объединения замыканий.
  • Таким образом, как замкнуто объединение двух замкнутых множеств, так и замыкание распространяется на бинарные объединения: т. е. $\operatorname {cl} _{X}(S\cup T)=(\operatorname {cl} _{X}S)\cup (\operatorname {cl} _{X}T).$ Но как объединение бесконечного числа замкнутых множеств не обязательно является замкнутым, так и замыкание не обязательно распространяется на бесконечные объединения: т. е. $\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)\neq \bigcup _{i\in I}\operatorname {cl} _{X}S_{i}$ возможно, когда $I$ бесконечен.

Если $S\subseteq T\subseteq X$ и если $T$ является подпространством ​ $X$ (означающий, что $T$ наделен топологией подпространства , которая $X$ наводит на него), то $\operatorname {cl} _{T}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S$ и закрытие $S$ вычислено в $T$ равно пересечению $T$ и закрытие $S$ вычислено в $X$:

$$\operatorname {cl} _{T}S~=~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.$$

показывать Доказательство

Because $\operatorname {cl} _{X}S$ is a closed subset of $X,$ the intersection $T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ is a closed subset of $T$ (by definition of the subspace topology), which implies that $\operatorname {cl} _{T}S\subseteq T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ (because $\operatorname {cl} _{T}S$ is the smallest closed subset of $T$ containing $S$). Because $\operatorname {cl} _{T}S$ is a closed subset of $T,$ from the definition of the subspace topology, there must exist some set $C\subseteq X$ such that $C$ is closed in $X$ and $\operatorname {cl} _{T}S=T\cap C.$ Because $S\subseteq \operatorname {cl} _{T}S\subseteq C$ and $C$ is closed in $X,$ the minimality of $\operatorname {cl} _{X}S$ implies that $\operatorname {cl} _{X}S\subseteq C.$ Intersecting both sides with $T$ shows that $T\cap \operatorname {cl} _{X}S\subseteq T\cap C=\operatorname {cl} _{T}S.$ $\blacksquare$

Следует, что $S\subseteq T$ представляет собой плотное подмножество $T$ если и только если $T$ является подмножеством $\operatorname {cl} _{X}S.$ Это возможно для $\operatorname {cl} _{T}S=T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ быть правильным подмножеством $\operatorname {cl} _{X}S;$ например, взять $X=\mathbb {R} ,$ $S=(0,1),$ и $T=(0,\infty ).$

Если $S,T\subseteq X$ но $S$ не обязательно является подмножеством $T$ тогда только

$$\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S$$

всегда гарантируется там, где это сдерживание может быть строгим (рассмотрим, например, $X=\mathbb {R}$ с обычной топологией, $T=(-\infty ,0],$ и $S=(0,\infty )$), хотя если $T$ происходит с открытым подмножеством $X$ тогда равенство $\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)=T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ будет сохраняться (независимо от отношений между $S$ и $T$).

показывать Доказательство

Let $S,T\subseteq X$ and assume that $T$ is open in $X.$ Let $C:=\operatorname {cl} _{T}(T\cap S),$ which is equal to $T\cap \operatorname {cl} _{X}(T\cap S)$ (because $T\cap S\subseteq T\subseteq X$). The complement $T\setminus C$ is open in $T,$ where $T$ being open in $X$ now implies that $T\setminus C$ is also open in $X.$ Consequently $X\setminus (T\setminus C)=(X\setminus T)\cup C$ is a closed subset of $X$ where $(X\setminus T)\cup C$ contains $S$ as a subset (because if $s\in S$ is in $T$ then $s\in T\cap S\subseteq \operatorname {cl} _{T}(T\cap S)=C$), which implies that $\operatorname {cl} _{X}S\subseteq (X\setminus T)\cup C.$ Intersecting both sides with $T$ proves that $T\cap \operatorname {cl} _{X}S\subseteq T\cap C=C.$ The reverse inclusion follows from $C\subseteq \operatorname {cl} _{X}(T\cap S)\subseteq \operatorname {cl} _{X}S.$ $\blacksquare$

Следовательно, если ${\mathcal {U}}$ любая открытая крышка $X$ и если $S\subseteq X$ любое подмножество тогда:

$$\operatorname {cl} _{X}S=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)$$

потому что $\operatorname {cl} _{U}(S\cap U)=U\cap \operatorname {cl} _{X}S$ для каждого $U\in {\mathcal {U}}$ (где каждый $U\in {\mathcal {U}}$ наделено топологией подпространства , индуцированной на нем $X$). Это равенство особенно полезно, когда $X$ – многообразие и множества в открытой крышке ${\mathcal {U}}$являются областями координатных карт . На словах этот результат показывает, что замыкание в $X$ любого подмножества $S\subseteq X$ можно вычислить «локально» в множествах любого открытого покрытия $X$а затем соединились вместе. Таким образом, этот результат можно рассматривать как аналог известного факта, что подмножество $S\subseteq X$ закрыт в $X$ тогда и только тогда, когда он « локально закрыт в $X$", что означает, что если ${\mathcal {U}}$ любая открытая крышка $X$ затем $S$ закрыт в $X$ если и только если $S\cap U$ закрыт в $U$ для каждого $U\in {\mathcal {U}}.$

Функции и замыкание

Преемственность

Основная статья: Непрерывная функция

Функция $f:X\to Y$между топологическими пространствами непрерывен тогда и только тогда, когда прообраз каждого замкнутого подмножества кодобласти замкнут в этой области; явно это означает: $f^{-1}(C)$ закрыт в $X$ в любое время $C$ является закрытым подмножеством $Y.$

С точки зрения оператора замыкания, $f:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества $A\subseteq X,$

$$f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).$$

То есть, учитывая любой элемент $x\in X$ принадлежащий замыканию подмножества $A\subseteq X,$ $f(x)$ обязательно принадлежит замыканию $f(A)$ в $Y.$ Если мы объявим, что точка $x$ близко к подмножеству $A\subseteq X$ если $x\in \operatorname {cl} _{X}A,$ тогда эта терминология позволяет дать простое английское описание непрерывности: $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества $A\subseteq X,$ $f$ наносит на карту точки, находящиеся рядом с $A$ в точки, близкие к $f(A).$Таким образом, непрерывные функции — это именно те функции, которые сохраняют (в прямом направлении) отношения «близости» между точками и множествами: функция непрерывна тогда и только тогда, когда всякий раз, когда точка близка к множеству, тогда образ этой точки близок к изображение этого набора. Сходным образом, $f$ непрерывен в фиксированной данной точке $x\in X$ тогда и только тогда, когда когда-либо $x$ близко к подмножеству $A\subseteq X,$ затем $f(x)$ близко к $f(A).$

Закрытые карты

Основная статья: Открытые и закрытые карты

Функция $f:X\to Y$ является (сильно) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда всякий раз, когда $C$ является закрытым подмножеством $X$ затем $f(C)$ является закрытым подмножеством $Y.$ С точки зрения оператора замыкания, $f:X\to Y$ является (сильно) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда $\operatorname {cl} _{Y}f(A)\subseteq f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)$ для каждого подмножества $A\subseteq X.$ Эквивалентно, $f:X\to Y$ является (сильно) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда $\operatorname {cl} _{Y}f(C)\subseteq f(C)$ для каждого закрытого подмножества $C\subseteq X.$

Категорическая интерпретация

Оператор замыкания можно определить в терминах универсальных стрелок следующим образом.

Мощность ​ набора $X$ может быть реализован как частичного порядка категория $P$ в котором объекты являются подмножествами, а морфизмы являются картами включения. $A\to B$ в любое время $A$ является подмножеством $B.$ Более того, топология $T$ на $X$ это подкатегория ​ $P$ с функтором включения $I:T\to P.$ Множество закрытых подмножеств, содержащее фиксированное подмножество $A\subseteq X$ можно определить по категории запятой $(A\downarrow I).$ Эта категория — также частичный порядок — имеет исходный объект $\operatorname {cl} A.$ Таким образом, существует универсальная стрелка от $A$ к $I,$ заданное включением $A\to \operatorname {cl} A.$

Аналогично, поскольку каждое замкнутое множество, содержащее $X\setminus A$ соответствует открытому множеству, содержащемуся в $A$ мы можем интерпретировать категорию $(I\downarrow X\setminus A)$ как множество открытых подмножеств, содержащихся в $A,$ с терминальным объектом $\operatorname {int} (A),$ интерьер ​ ​ $A.$

Все свойства замыкания могут быть выведены из этого определения и некоторых свойств вышеуказанных категорий. Более того, это определение уточняет аналогию между топологическим замыканием и другими типами замыканий (например, алгебраическим замыканием ), поскольку все они являются примерами универсальных стрелок .

См. также

• Точка присоединения - точка, принадлежащая замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
• Алгебра замыкания – алгебраическая структура. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Замкнутое регулярное множество , множество, равное замыканию их внутренности.
• Производный набор (математика) – набор всех предельных точек набора. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Интерьер (топология) - наибольшее открытое подмножество некоторого заданного набора.
• Предельная точка набора — точка кластера в топологическом пространстве. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Библиография

• Бейкер, Крамп В. (1991), Введение в топологию , Wm. Издательство К. Брауна, ISBN  0-697-05972-3
• Крум, Фред Х. (1989), Принципы топологии , издательство Saunders College Publishing, ISBN  0-03-012813-7
• Джеминьяни, Майкл К. (1990) [1967], Элементарная топология (2-е изд.), Дувр, ISBN  0-486-66522-4
• Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, ISBN  0-486-65676-4
• Куратовский, К. (1966), Топология , вып. Я, Академик Пресс
• Первин, Уильям Дж. (1965), Основы общей топологии , Academic Press
• Шуберт, Хорст (1968), Топология , Аллин и Бэкон
• Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN  978-981-4488-15-0 . МР   1921556 . OCLC   285163112 – через Интернет-архив .

Внешние ссылки

• «Замыкание множества» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]