Аксиомы замыкания Куратовского

В топологии и смежных областях математики аксиомы замыкания Куратовского представляют собой набор аксиом , которые можно использовать для определения топологической структуры на множестве . Они эквивалентны более часто используемому определению открытого множества . Впервые они были формализованы Казимежем Куратовским . и эта идея была дополнительно изучена такими математиками, как Вацлав Серпинский и Антониу Монтейро . среди других.

Подобный набор аксиом можно использовать для определения топологической структуры, используя только двойственное понятие внутреннего оператора .

Определение

Операторы замыкания Куратовского

Позволять $X$ быть произвольным множеством и $\wp (X)$ его силовой набор . Оператор замыкания Куратовского — унарная операция. $\mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)$ со следующими свойствами:

[K1] Он сохраняет пустое множество : $\mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing$;

[K2] Он обширен : для всех $A\subseteq X$, $A\subseteq \mathbf {c} (A)$;

[K3] Оно идемпотентно : для всех $A\subseteq X$, $\mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (\mathbf {c} (A))$;

[K4] Он сохраняет / распределяет по двоичным объединениям : для всех $A,B\subseteq X$, $\mathbf {c} (A\cup B)=\mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)$.

Следствие $\mathbf {c}$ сохранением бинарных союзов является следующее условие:

[К4'] Оно монотонно : $A\subseteq B\Rightarrow \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (B)$.

Фактически, если мы перепишем равенство в [К4] как включение, дав более слабую аксиому [К4''] ( субаддитивность ):

[K4''] Это субаддитивно : для всех $A,B\subseteq X$, $\mathbf {c} (A\cup B)\subseteq \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)$,

тогда легко видеть, что аксиомы [K4'] и [K4''] вместе эквивалентны [K4] (см. предпоследний абзац доказательства 2 ниже).

Куратовский (1966) включает пятую (необязательную) аксиому, требующую, чтобы одноэлементные множества были стабильны при замыкании: для всех $x\in X$, $\mathbf {c} (\{x\})=\{x\}$. Он называет топологические пространства, удовлетворяющие всем пяти аксиомам, T ₁ -пространствами в отличие от более общих пространств, которые удовлетворяют только четырем перечисленным аксиомам. Действительно, эти пространства в точности соответствуют топологическим T ₁ -пространствам посредством обычного соответствия (см. ниже).

Если требование [K3] опущено, то аксиомы определяют оператор замыкания Чеха . Если вместо этого [K1] опущено, то оператор, удовлетворяющий [K2] , [K3] и [K4'], называется оператором замыкания Мура . Пара $(X,\mathbf {c} )$ называется Куратовского , Чеха или пространством замыкания Мура в зависимости от аксиом, которым удовлетворяет $\mathbf {c}$.

Альтернативные аксиоматизации

Четыре аксиомы замыкания Куратовского можно заменить одним условием, данным Первином:

[П] Для всех $A,B\subseteq X$, $A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)\setminus \mathbf {c} (\varnothing )$.

Аксиомы [К1] – [К4] могут быть выведены как следствие этого требования:

1. Выбирать $A=B=\varnothing$. Затем $\varnothing \cup \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\mathbf {c} (\varnothing )\setminus \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing$, или $\mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\varnothing$. Отсюда немедленно следует [K1] .
2. Выберите произвольный $A\subseteq X$ и $B=\varnothing$. Тогда, применяя аксиому [K1] , $A\cup \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (A)$, подразумевая [K2] .
3. Выбирать $A=\varnothing$ и произвольный $B\subseteq X$. Тогда, применяя аксиому [K1] , $\mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (B)$, то есть [К3] .
4. Выбирайте произвольный $A,B\subseteq X$. Применяя аксиомы [K1] – [K3] , получаем [K4] .

В качестве альтернативы Монтейро (1945) предложил более слабую аксиому, которая влечет за собой только [K2] – [K4] :

[М] Для всех $A,B\subseteq X$, ${\textstyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))\subseteq \mathbf {c} (A\cup B)}$.

Требование [К1] не зависит от [М] : действительно, если $X\neq \varnothing$, оператор $\mathbf {c} ^{\star }:\wp (X)\to \wp (X)$ определяется постоянным присваиванием $A\mapsto \mathbf {c} ^{\star }(A):=X$ удовлетворяет [M], но не сохраняет пустое множество, поскольку $\mathbf {c} ^{\star }(\varnothing )=X$. Обратите внимание, что по определению любой оператор, удовлетворяющий [M], является оператором замыкания Мура.

Более симметричная альтернатива [M] также была доказана М.О. Ботельо и М.Х. Тейшейрой, подразумевая аксиомы [K2] – [K4] :

[БТ] Для всех $A,B\subseteq X$, ${\textstyle A\cup B\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (A))\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)}$.

Аналогичные структуры

Внутренние, внешние

Двойственное понятие операторам замыкания Куратовского — это понятие внутреннего оператора Куратовского , который является отображением $\mathbf {i} :\wp (X)\to \wp (X)$ удовлетворяющие следующим аналогичным требованиям:

[I1] Он сохраняет общее пространство : $\mathbf {i} (X)=X$;

[I2] Это интенсивно : для всех $A\subseteq X$, $\mathbf {i} (A)\subseteq A$;

[I3] Оно идемпотентно : для всех $A\subseteq X$, $\mathbf {i} (\mathbf {i} (A))=\mathbf {i} (A)$;

[I4] Он сохраняет бинарные пересечения : для всех $A,B\subseteq X$, $\mathbf {i} (A\cap B)=\mathbf {i} (A)\cap \mathbf {i} (B)$.

Для этих операторов можно прийти к выводам, полностью аналогичным тем, которые были сделаны для замыканий Куратовского. Например, все внутренние операторы Куратовского изотонны , т. е. они удовлетворяют [К4'] , а благодаря интенсивности [I2] можно ослабить равенство в [I3] до простого включения.

Двойственность между замыканиями Куратовского и внутренностями обеспечивается оператором естественного дополнения на $\wp (X)$, карта $\mathbf {n} :\wp (X)\to \wp (X)$ отправка $A\mapsto \mathbf {n} (A):=X\setminus A$. Это отображение является ортодополнением решетки набора степеней, то есть оно удовлетворяет законам Де Моргана : если ${\mathcal {I}}$ — произвольный набор индексов и $\{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq \wp (X)$,

$$\mathbf {n} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}),\qquad \mathbf {n} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}).$$

Используя эти законы вместе с определяющими свойствами $\mathbf {n}$, можно показать, что любая внутренняя область Куратовского индуцирует замыкание Куратовского (и наоборот), с помощью определяющего соотношения $\mathbf {c} :=\mathbf {nin}$ (и $\mathbf {i} :=\mathbf {ncn}$). Каждый результат, полученный относительно $\mathbf {c}$ может быть преобразовано в результат, касающийся $\mathbf {i}$ используя эти соотношения в сочетании со свойствами ортодополнения $\mathbf {n}$.

Первин (1964) далее предлагает аналогичные аксиомы для внешних операторов Куратовского. и граничные операторы Куратовского , которые также вызывают замыкания Куратовского через отношения $\mathbf {c} :=\mathbf {ne}$ и $\mathbf {c} (A):=A\cup \mathbf {b} (A)$.

Абстрактные операторы

Основная статья: Внутренняя алгебра

Обратите внимание, что аксиомы [K1] – [K4] могут быть адаптированы для определения абстрактной унарной операции. $\mathbf {c} :L\to L$ на общей ограниченной решетке $(L,\land ,\lor ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )$, формально заменяя теоретико-множественное включение частичным порядком, связанным с решеткой, теоретико-множественным объединением операцией соединения и теоретико-множественными пересечениями операцией встречи; аналогично для аксиом [I1] – [I4] . Если решетка ортодополнена, эти две абстрактные операции индуцируют друг друга обычным образом. Абстрактные операторы замыкания или внутренние операторы могут использоваться для определения обобщенной топологии на решетке.

Поскольку ни объединения, ни пустое множество не фигурируют в требовании к оператору замыкания Мура, определение можно адаптировать для определения абстрактного унарного оператора. $\mathbf {c} :S\to S$ на произвольном частичном множестве $S$.

топологии

Индукция топологии из замыкания

Оператор замыкания естественным образом индуцирует топологию следующим образом. Позволять $X$ быть произвольным множеством. Будем говорить, что подмножество $C\subseteq X$ замкнуто Куратовского относительно оператора замыкания $\mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)$ тогда и только тогда, когда это фиксированная точка указанного оператора или, другими словами, она устойчива при $\mathbf {c}$, то есть $\mathbf {c} (C)=C$. Утверждается, что семейство всех подмножеств общего пространства, которые являются дополнениями к замкнутым множествам, удовлетворяет трем обычным требованиям топологии или, что то же самое, семейству ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$ всех закрытых множеств удовлетворяет следующему:

] Это ограниченная подрешетка [ T1 $\wp (X)$, то есть $X,\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$;

[T2] ​​Оно полно при произвольных пересечениях , т. е. если ${\mathcal {I}}$ — произвольный набор индексов и $\{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$, затем ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$;

[T3] Оно полно при конечных объединениях , т. е. если ${\mathcal {I}}$ является конечным набором индексов и $\{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$, затем ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$.

Обратите внимание, что в силу идемпотентности [K3] можно кратко записать ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]=\operatorname {im} (\mathbf {c} )$.

скрывать Доказательство 1.

[T1] По экстенсивности [K2] , $X\subseteq \mathbf {c} (X)$ и поскольку замыкание отображает набор мощности $X$ в себя (то есть образ любого подмножества является подмножеством $X$), $\mathbf {c} (X)\subseteq X$ у нас есть $X=\mathbf {c} (X)$. Таким образом $X\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$. Из сохранения пустого множества [K1] легко следует $\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$. [T2] ​​Далее, пусть ${\mathcal {I}}$ — произвольный набор индексов и пусть $C_{i}$ быть закрытым для каждого $i\in {\mathcal {I}}$. По экстенсивности [К2] , ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)}$. Также по изотонности [К4'] , если ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\subseteq C_{i}}$для всех индексов $i\in {\mathcal {I}}$, затем ${\textstyle \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)\subseteq \mathbf {c} (C_{i})=C_{i}}$ для всех $i\in {\mathcal {I}}$, что подразумевает ${\textstyle \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}}$. Поэтому, ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}=\mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)}$, значение ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$. [T3] Наконец, пусть ${\mathcal {I}}$ — конечное множество индексов и пусть $C_{i}$ быть закрытым для каждого $i\in {\mathcal {I}}$. Из сохранения бинарных объединений [K4] и использования индукции по количеству подмножеств, из которых мы объединяем, мы имеем ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}=\mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)}$. Таким образом, ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$.

замыкания

И наоборот, если есть семья $\kappa$ удовлетворяя аксиомам [T1] – [T3] , можно построить оператор замыкания Куратовского следующим образом: если $A\in \wp (X)$ и $A^{\uparrow }=\{B\in \wp (X)\ |\ A\subseteq B\}$ включения расстройство это $A$, затем

$$\mathbf {c} _{\kappa }(A):=\bigcap _{B\in (\kappa \cap A^{\uparrow })}B$$

определяет оператор замыкания Куратовского $\mathbf {c} _{\kappa }$ на $\wp (X)$.

скрывать Доказательство 2.

[К1] Поскольку $\varnothing ^{\uparrow }=\wp (X)$, $\mathbf {c} _{\kappa }(\varnothing )$ сводится к пересечению всех множеств семейства $\kappa$; но $\varnothing \in \kappa$ по аксиоме [T1] , поэтому пересечение схлопывается до нулевого множества, а за ним следует [K1] . [К2] По определению $A^{\uparrow }$, у нас это есть $A\subseteq B$ для всех $B\in \left(\kappa \cap A^{\uparrow }\right)$, и таким образом $A$ должно содержаться в пересечении всех таких множеств. Отсюда следует экстенсивность [К2] . [K3] Обратите внимание, что для всех $A\in \wp (X)$, семья $\mathbf {c} _{\kappa }(A)^{\uparrow }\cap \kappa$ содержит $\mathbf {c} _{\kappa }(A)$ себя как минимальный элемент относительно включения. Следовательно ${\textstyle \mathbf {c} _{\kappa }^{2}(A)=\bigcap _{B\in \mathbf {c} _{\kappa }(A)^{\uparrow }\cap \kappa }B=\mathbf {c} _{\kappa }(A)}$, что является идемпотентностью [К3] . [К4'] Пусть $A\subseteq B\subseteq X$: затем $B^{\uparrow }\subseteq A^{\uparrow }$, и таким образом $\kappa \cap B^{\uparrow }\subseteq \kappa \cap A^{\uparrow }$. Поскольку последнее семейство может содержать больше элементов, чем первое, находим $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(B)$, что является изотоничностью [К4'] . Обратите внимание, что изотоничность подразумевает $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$ и $\mathbf {c} _{\kappa }(B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$, которые вместе подразумевают $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$. [K4] Наконец, исправьте $A,B\in \wp (X)$. Аксиома [T2] подразумевает $\mathbf {c} _{\kappa }(A),\mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \kappa$; кроме того, из аксиомы [T2] следует, что $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \kappa$. По экстенсивности [К2] имеем $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\in A^{\uparrow }$ и $\mathbf {c} _{\kappa }(B)\in B^{\uparrow }$, так что $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \left(A^{\uparrow }\right)\cap \left(B^{\uparrow }\right)$. Но $\left(A^{\uparrow }\right)\cap \left(B^{\uparrow }\right)=(A\cup B)^{\uparrow }$, так что в целом $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \kappa \cap (A\cup B)^{\uparrow }$. С того времени $\mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$ является минимальным элементом $\kappa \cap (A\cup B)^{\uparrow }$ относительно включения мы находим $\mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)$. Пункт 4. обеспечивает аддитивность [К4] .

Точное соответствие между двумя структурами

Фактически эти две дополнительные конструкции обратны друг другу: если $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$ представляет собой совокупность всех операторов замыкания Куратовского на $X$, и $\mathrm {Atp} (X)$ — это совокупность всех семейств, состоящих из дополнений ко всем множествам в топологии, т. е. совокупность всех семейств, удовлетворяющих [T1] – [T3] , тогда ${\mathfrak {S}}:\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)\to \mathrm {Atp} (X)$ такой, что $\mathbf {c} \mapsto {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$ является биекцией, обратная которой задается присваиванием ${\mathfrak {C}}:\kappa \mapsto \mathbf {c} _{\kappa }$.

скрывать Доказательство 3.

Сначала мы докажем, что ${\mathfrak {C}}\circ {\mathfrak {S}}={\mathfrak {1}}_{\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$, идентификационный оператор на $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$. Для данного замыкания Куратовского $\mathbf {c} \in \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$, определять $\mathbf {c} ':={\mathfrak {C}}[{\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]]$; тогда если $A\in \wp (X)$ его герметичное закрытие $\mathbf {c} '(A)$ это пересечение всех $\mathbf {c}$-стабильные множества, содержащие $A$. Его незагрунтованное закрытие $\mathbf {c} (A)$ удовлетворяет этому описанию: по экстенсивности [K2] имеем $A\subseteq \mathbf {c} (A)$, и по идемпотентности [К3] имеем $\mathbf {c} (\mathbf {c} (A))=\mathbf {c} (A)$, и таким образом $\mathbf {c} (A)\in \left(A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]\right)$. Теперь позвольте $C\in \left(A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]\right)$ такой, что $A\subseteq C\subseteq \mathbf {c} (A)$: по изотоничности [К4'] имеем $\mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (C)$, и поскольку $\mathbf {c} (C)=C$ мы заключаем, что $C=\mathbf {c} (A)$. Следовательно $\mathbf {c} (A)$ является минимальным элементом $A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$ относительно включения, подразумевающего $\mathbf {c} '(A)=\mathbf {c} (A)$. Теперь мы докажем, что ${\mathfrak {S}}\circ {\mathfrak {C}}={\mathfrak {1}}_{\mathrm {Atp} (X)}$. Если $\kappa \in \mathrm {Atp} (X)$ и $\kappa ':={\mathfrak {S}}[{\mathfrak {C}}[\kappa ]]$ — семейство всех множеств, устойчивых при $\mathbf {c} _{\kappa }$, результат получается, если оба $\kappa '\subseteq \kappa$ и $\kappa \subseteq \kappa '$. Позволять $A\in \kappa '$: следовательно $\mathbf {c} _{\kappa }(A)=A$. С $\mathbf {c} _{\kappa }(A)$ является пересечением произвольного подсемейства $\kappa$, а последняя полна при произвольных пересечениях с помощью [T2] , то $A=\mathbf {c} _{\kappa }(A)\in \kappa$. И наоборот, если $A\in \kappa$, затем $\mathbf {c} _{\kappa }(A)$ является минимальным надмножеством $A$ который содержится в $\kappa$. Но это банально $A$ сам по себе, подразумевая $A\in \kappa '$.

Заметим, что можно также расширить биекцию ${\mathfrak {S}}$ в коллекцию $\mathrm {Cls} _{\check {C}}(X)$ всех операторов замыкания Чеха, который строго содержит $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$; это расширение ${\overline {\mathfrak {S}}}$ также сюръективен, что означает, что все операторы замыкания Чеха на $X$ также вызвать топологию на $X$. Однако это означает, что ${\overline {\mathfrak {S}}}$ уже не является биекцией.

Примеры

• Как обсуждалось выше, учитывая топологическое пространство $X$ мы можем определить замыкание любого подмножества $A\subseteq X$ быть набором $\mathbf {c} (A)=\bigcap \{C{\text{ a closed subset of }}X|A\subseteq C\}$, т.е. пересечение всех замкнутых множеств $X$ которые содержат $A$. Набор $\mathbf {c} (A)$ это наименьшее замкнутое множество $X$ содержащий $A$и оператор $\mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)$ является оператором замыкания Куратовского.
• Если $X$ любое множество, операторы $\mathbf {c} _{\top },\mathbf {c} _{\bot }:\wp (X)\to \wp (X)$ такой, что
  $$\mathbf {c} _{\top }(A)={\begin{cases}\varnothing &A=\varnothing ,\\X&A\neq \varnothing ,\end{cases}}\qquad \mathbf {c} _{\bot }(A)=A\quad \forall A\in \wp (X),$$
  являются замыканиями Куратовского. Первый индуцирует недискретную топологию $\{\varnothing ,X\}$, а второй индуцирует дискретную топологию $\wp (X)$.

• Исправить произвольный $S\subsetneq X$, и пусть $\mathbf {c} _{S}:\wp (X)\to \wp (X)$ быть таким, что $\mathbf {c} _{S}(A):=A\cup S$ для всех $A\in \wp (X)$. Затем $\mathbf {c} _{S}$ определяет замыкание Куратовского; соответствующее семейство замкнутых множеств ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{S}]$ совпадает с $S^{\uparrow }$, семейство всех подмножеств, содержащих $S$. Когда $S=\varnothing$, мы еще раз получаем дискретную топологию $\wp (X)$ (т.е. $\mathbf {c} _{\varnothing }=\mathbf {c} _{\bot }$, как видно из определений).
• Если $\lambda$ — бесконечное кардинальное число такое, что $\lambda \leq \operatorname {crd} (X)$, то оператор $\mathbf {c} _{\lambda }:\wp (X)\to \wp (X)$ такой, что
  $$\mathbf {c} _{\lambda }(A)={\begin{cases}A&\operatorname {crd} (A)<\lambda ,\\X&\operatorname {crd} (A)\geq \lambda \end{cases}}$$
  удовлетворяет всем четырем аксиомам Куратовского. Если $\lambda =\aleph _{0}$, этот оператор индуцирует коконечную топологию на $X$; если $\lambda =\aleph _{1}$, оно индуцирует сосчетную топологию .

Свойства

• Поскольку любое замыкание Куратовского изотонно, как и, очевидно, любое отображение включения, существует (изотоническая) связность Галуа. $\langle \mathbf {c} :\wp (X)\to \mathrm {im} (\mathbf {c} );\iota :\mathrm {im} (\mathbf {c} )\hookrightarrow \wp (X)\rangle$, при условии одного просмотра $\wp (X)$как частично упорядоченное множество по отношению к включению, и $\mathrm {im} (\mathbf {c} )$ как часть $\wp (X)$. Действительно, легко проверить, что для всех $A\in \wp (X)$ и $C\in \mathrm {im} (\mathbf {c} )$, $\mathbf {c} (A)\subseteq C$ тогда и только тогда, когда $A\subseteq \iota (C)$.
• Если $\{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ является подсемейством $\wp (X)$, затем
  $$\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i})\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right),\qquad \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i}).$$
• Если $A,B\in \wp (X)$, затем $\mathbf {c} (A)\setminus \mathbf {c} (B)\subseteq \mathbf {c} (A\setminus B)$.

концепции с точки

Уточнения и подпространства

Пара замыканий Куратовского. $\mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2}:\wp (X)\to \wp (X)$ такой, что $\mathbf {c} _{2}(A)\subseteq \mathbf {c} _{1}(A)$ для всех $A\in \wp (X)$ создавать топологии $\tau _{1},\tau _{2}$ такой, что $\tau _{1}\subseteq \tau _{2}$, и наоборот. Другими словами, $\mathbf {c} _{1}$ доминирует $\mathbf {c} _{2}$ тогда и только тогда, когда топология, индуцированная последней, является уточнением топологии, индуцированной первой, или, что то же самое, ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{1}]\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{2}]$. Например, $\mathbf {c} _{\top }$ явно доминирует $\mathbf {c} _{\bot }$(последнее просто является идентификатором на $\wp (X)$). Поскольку к такому же выводу можно прийти, заменив $\tau _{i}$ с семьей $\kappa _{i}$ содержащий дополнения всех своих членов, если $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$ наделен частичным порядком $\mathbf {c} \leq \mathbf {c} '\iff \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} '(A)$ для всех $A\in \wp (X)$ и $\mathrm {Atp} (X)$ наделен порядком уточнения, то можно заключить, что ${\mathfrak {S}}$ является антитоническим отображением между частично упорядоченными множествами.

В любой индуцированной топологии (относительно подмножества A ) замкнутые множества вызывают новый оператор замыкания, который является исходным оператором замыкания, ограниченным A : $\mathbf {c} _{A}(B)=A\cap \mathbf {c} _{X}(B)$, для всех $B\subseteq A$.

отображения, замкнутые отображения

Функция $f:(X,\mathbf {c} )\to (Y,\mathbf {c} ')$ непрерывен в точке $p$ если только $p\in \mathbf {c} (A)\Rightarrow f(p)\in \mathbf {c} '(f(A))$, и оно непрерывно всюду тогда и только тогда, когда

$$f(\mathbf {c} (A))\subseteq \mathbf {c} '(f(A))$$

для всех подмножеств $A\in \wp (X)$. Отображение $f$ является замкнутым отображением тогда и только тогда, когда справедливо обратное включение: и это гомеоморфизм тогда и только тогда, когда он одновременно непрерывен и замкнут, т. е. тогда и только тогда, когда имеет место равенство.

Аксиомы разделения

Позволять $(X,\mathbf {c} )$ быть пространством замыкания Куратовского. Затем

• $X$ является T ₀ -пространством тогда и только тогда, когда $x\neq y$ подразумевает $\mathbf {c} (\{x\})\neq \mathbf {c} (\{y\})$;
• $X$ является T ₁ -пространством тогда и только тогда, когда $\mathbf {c} (\{x\})=\{x\}$ для всех $x\in X$;
• $X$ является T ₂ -пространством тогда и только тогда, когда $x\neq y$ подразумевает, что существует множество $A\in \wp (X)$ такой, что оба $x\notin \mathbf {c} (A)$ и $y\notin \mathbf {c} (\mathbf {n} (A))$, где $\mathbf {n}$ — оператор дополнения множества.

Близость и разлука

точка $p$ близко к подмножеству $A$ если $p\in \mathbf {c} (A).$Это можно использовать для определения отношения близости к точкам и подмножествам множества.

Два комплекта $A,B\in \wp (X)$ разделены, если и только если $(A\cap \mathbf {c} (B))\cup (B\cap \mathbf {c} (A))=\varnothing$. Пространство $X$ связно тогда и только тогда, когда его нельзя записать как объединение двух разделенных подмножеств.

См. также

• Характеристики категории топологических пространств.
• Оператор закрытия Čech – Оператор закрытия. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Оператор замыкания – математический оператор. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Алгебра замыкания – Алгебраическая структура
• Оператор предварительного закрытия – Оператор закрытия
• Претопологическое пространство - Обобщенное топологическое пространство.
• Топологическое пространство - Математическое пространство с понятием близости.

Ссылки

• Куратовский, Казимеж (1922) [1920], «Sur l'opération A de l'Analysis Situs» [Об операции A в Site Analysis] (PDF) , Fundamentals of Mathematics (на французском языке), vol. 3, с. 182–199 .
• Куратовский, Казимеж (1966) [1958], Топология , том I, перевод Яворовского Дж., Academic Press, ISBN.  0-12-429201-1 , LCCN   66029221 .
  • —— (2010). «Об операции «Анализ ситуации» . Исследовательские ворота . Перевод Марка Боурона.
• Первин, Уильям Дж. (1964), Боас, Ральф П. младший (редактор), Основы общей топологии , Academic Press, ISBN  9781483225159 , LCCN   64-17796 .
• Arkhangel'skij, A.V.; Fedorchuk, V.V. (1990) [1988], Gamkrelidze, R.V.; Arkhangel'skij, A.V.; Pontryagin, L.S. (eds.), General Topology I , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 17, translated by O'Shea, D.B., Berlin: Springer-Verlag, ISBN  978-3-642-64767-3 , LCCN   89-26209 .
• Монтейро, Антониу (1945), «Характеристика операции замыкания одной аксиомой» , Portugaliae mathematica (на французском языке), vol. 4, нет. 4, с. 158–160, МР   0012310 , Збл   0060.39406 .

Внешние ссылки

• Альтернативные характеристики топологических пространств.