Дополненная решетка
В математической дисциплине теории порядка решетка с дополнениями — это ограниченная решетка (с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1), в которой каждый элемент a имеет дополнение , то есть элемент b , удовлетворяющий условиям a ∨ b = 1 и a ∧ b = 0.Дополнения не обязательно должны быть уникальными.
— Относительно дополненная решетка это решетка, в которой каждый интервал [ c , d ], рассматриваемый как ограниченная решетка сам по себе, является дополненной решеткой.
Ортодополнение инволюция на решетке с дополнениями — это , меняющая порядок и отображающая каждый элемент в дополнение. Решетка с ортодополнениями, удовлетворяющая слабой форме модулярного закона, называется ортомодулярной решеткой .
В ограниченных дистрибутивных решетках дополнения единственны. Каждая дополняемая дистрибутивная решетка имеет единственное ортодополнение и фактически является булевой алгеброй .
Определение и основные свойства
[ редактировать ]Решетка с дополнениями — это ограниченная решетка (с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1), в которой каждый элемент a имеет дополнение , т. е. элемент b такой, что
- а ∨ b = 1 и а ∧ b = 0.
Обычно элемент может иметь более одного дополнения. Однако в (ограниченной) дистрибутивной решетке каждый элемент будет иметь не более одного дополнения. [1] Решетка, в которой каждый элемент имеет ровно одно дополнение, называется решеткой с единственным дополнением. [2]
Решетка, свойство которой состоит в том, что каждый интервал (рассматриваемый как подрешетка) дополняется, называется относительно дополняемой решеткой . Другими словами, относительно дополняемая решетка характеризуется тем свойством, что для каждого элемента a в интервале [ c , d ] существует элемент b такой, что
- а ∨ б знак равно d и а ∧ б знак равно c .
Такой элемент b называется дополнением a относительно интервала.
Дистрибутивная решетка дополняема тогда и только тогда, когда она ограничена и относительно дополняема. [3] [4] Решетка подпространств векторного пространства представляет собой пример решетки с дополнениями, которая, вообще говоря, не является дистрибутивной.
Ортокомплементация
[ редактировать ] | Этот раздел нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( август 2014 г. ) |
 | Эту статью может потребовать очистки Википедии , чтобы она соответствовала стандартам качества . Конкретная проблема заключается в том, что в литературе существуют различные конкурирующие определения «ортокомплементации». ( Август 2014 г. ) |
Ортодополнение a на ограниченной решетке — это функция, которая отображает каждый элемент a в «ортодополнение» . ⊥ таким образом, чтобы выполнялись следующие аксиомы: [5]
- Дополняющий закон
- а ⊥ ∨ а = 1 и а ⊥ ∧ а = 0.
- Закон инволюции
- а ⊥⊥ = а .
- Реверсивный порядок
- если a ≤ b, то b ⊥ ≤ а ⊥ .
или Ортодополненная решетка орторешетка — это ограниченная решетка, снабженная ортодополнениями. Решетка подпространств пространства внутреннего продукта и операция ортогонального дополнения представляют собой пример решетки с ортодополнениями, которая, вообще говоря, не является дистрибутивной. [6]
- Некоторые дополненные решетки
В пятиугольной решетке N 5 узел в правой части имеет два дополнения.
Алмазная решетка M 3 не допускает ортодополнений.
Решетка M 4 допускает три ортодополнения.
Шестиугольная решетка допускает единственное ортодополнение, но не является однозначно дополняемой.
Булевы алгебры — это частный случай решеток с ортодополнениями, которые, в свою очередь, являются частным случаем решеток с дополнениями (с дополнительной структурой). Орторешетки чаще всего используются в квантовой логике , где замкнутые подпространства сепарабельного представляют гильбертова пространства квантовые предложения и ведут себя как решетка с ортодополнениями.
Решетки с ортодополнениями, как и булевы алгебры, удовлетворяют законам де Моргана :
- ( а ∨ б ) ⊥ = а ⊥ ∧ б ⊥
- ( а ∧ б ) ⊥ = а ⊥ ∨ б ⊥ .
Ортомодулярные решетки
[ редактировать ]Решетка называется модульной, если для всех элементов a , b и c выполняется импликация
- если а ≤ c , то а ∨ ( б ∧ c ) знак равно ( а ∨ б ) ∧ c
держит. Это слабее, чем дистрибутивность ; например, показанная выше решетка M 3 является модулярной, но не дистрибутивной.
Естественным дальнейшим ослаблением этого условия для ортодополняемых решеток, необходимым для приложений в квантовой логике, является требование его только в частном случае b = a ⊥ . Таким образом, ортомодулярная решетка определяется как решетка с ортодополнениями, такая что для любых двух элементов выполняется импликация
- если a ≤ c , то a ∨ ( a ⊥ ∧ с ) знак равно с
держит.
Решетки этой формы имеют решающее значение для изучения квантовой логики , поскольку они являются частью аксиомизации формулировки гильбертовом пространстве квантовой в механики . Гаррет Биркгоф и Джон фон Нейман заметили, что высказываний исчисление в квантовой логике «формально неотличимо от исчисления линейных подпространств [гильбертова пространства] относительно произведений множеств , линейных сумм и ортогональных дополнений», соответствующих ролям и , или а не в булевых решетках. Это замечание вызвало интерес к замкнутым подпространствам гильбертова пространства, образующим ортомодулярную решетку. [7]
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Гретцер (1971), Лемма I.6.1, с. 47. Резерфорд (1965), Теорема 9.3 с. 25.
- ^ Стерн, Манфред (1999), Полумодульные решетки: теория и приложения , Энциклопедия математики и ее приложений, Cambridge University Press, стр. 29, ISBN 9780521461054 .
- ^ Гретцер (1971), Лемма I.6.2, с. 48. В более общем плане этот результат справедлив для модульных решеток, см. упражнение 4, с. 50.
- ^ Биркгоф (1961), следствие IX.1, с. 134
- ^ Стерн (1999) , с. 11.
- ^ Непримиримый математик: ортогональные дополнения и решетка подпространств .
- ^ Ранганатан Падманабхан; Серджиу Рудяну (2008). Аксиомы решеток и булевых алгебр . Всемирная научная. п. 128. ИСБН 978-981-283-454-6 .
Ссылки
[ редактировать ]- Биркгоф, Гаррет (1961). Теория решетки . Американское математическое общество.
- Гретцер, Джордж (1971). Теория решеток: первые концепции и распределительные решетки . WH Фриман и компания. ISBN 978-0-7167-0442-3 .
- Гретцер, Джордж (1978). Общая теория решеток . Базель, Швейцария: Биркхойзер. ISBN 978-0-12-295750-5 .
- Резерфорд, Дэниел Эдвин (1965). Введение в теорию решеток . Оливер и Бойд.
Внешние ссылки
[ редактировать ]
|