Псевдодополнение
В математике , особенно в теории порядка , псевдодополнение является одним из обобщений понятия дополнения . В решетке L с нижним элементом элемент x ∈ L 0 говорят, что имеет псевдодополнение , если существует наибольший элемент x * ∈ L со свойством x ∧ x * = 0. Более формально, x * = max{ y € L | х ∧ у = 0 }. Сама решетка L называется решеткой с псевдодополнениями, если каждый элемент L псевдодополнен. Любая решетка с псевдодополнениями обязательно ограничена , т. е. она также имеет единицу. Поскольку псевдодополнение уникально по определению (если оно существует), решетку с псевдодополнениями можно снабдить унарной операцией *, отображающей каждый элемент в его псевдодополнение; эту структуру иногда называют p -алгеброй . [1] [2] Однако этот последний термин может иметь и другие значения в других областях математики.
Свойства [ править ]
В p -алгебре L для всех [1] [2]
- Отображение x ↦ x * является антитоном . В частности, 0* = 1 и 1* = 0.
- Отображение x ↦ x ** является замыканием .
- х * = х ***.
- ( Икс ∨ у )* знак равно Икс * ∧ у *.
- ( Икс ∧ у )** = Икс ** ∧ у **.
Множество S ( L ) ≝ { x ** | x ∈ L называется скелетом L. } S ( L ) является ∧- подполурешеткой L x и вместе с x ∪ y = ( x ∨ y )** = ( * ∧ y *)* образует булеву алгебру (дополнением в этой алгебре является *). [1] [2] В общем случае ( L ) не подрешеткой L. является S [2] В дистрибутивной p -алгебре S ( L это набор дополняемых элементов L. ) — [1]
Каждый элемент x со свойством x * = 0 (или, что то же самое, x ** = 1) называется плотным . Каждый элемент вида x ∨ x * плотен. D ( L ), множество всех плотных элементов L является фильтром L в . [1] [2] Дистрибутивная p -алгебра является булевой тогда и только тогда, когда D ( L ) = {1}. [1]
Решетки с псевдодополнениями образуют разновидность ; действительно, то же самое делают и полурешетки с псевдодополнениями. [3]
Примеры [ править ]
- Любая конечная дистрибутивная решетка псевдодополняема. [1]
- Любая алгебра Стоуна псевдодополняема. Фактически, алгебру Стоуна можно определить как дистрибутивную решетку с псевдодополнениями L, в которой любое из следующих эквивалентных утверждений справедливо для всех [1]
- S ( L ) — подрешетка L ;
- ( Икс ∧ y )* = Икс * ∨ y *;
- ( Икс ∨ у )** знак равно Икс ** ∨ у **;
- х * ∨ х ** = 1.
- Любая гейтинговская алгебра псевдодополняема. [1]
- Если X — топологическое пространство (открытого множества) , топология на X представляет собой решётку с псевдодополнениями (и дистрибутивную), в которой сход и соединение представляют собой обычное объединение и пересечение открытых множеств. Псевдодополнение открытого множества A является внутренней частью дополнения к множеству A . Более того, плотные элементы этой решетки являются в точности плотными открытыми подмножествами в топологическом смысле. [2]
Относительное псевдодополнение [ править ]
Относительное псевдодополнение относительно a b ∧ это максимальный элемент c такой, что a — c ≤ b . Эта бинарная операция обозначается a → b . Решетка с псевдодополнением для каждых двух элементов называется импликативной решеткой , или решеткой Брауэра . В общем, импликативная решетка может не иметь минимального элемента. Если такой минимальный элемент существует, то каждое псевдодополнение a * можно определить с использованием относительного псевдодополнения при a → 0. [4]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г час я Т.С. Блит (2006). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Springer Science & Business Media. Глава 7. Псевдокомплементация; Алгебры Стоуна и Гейтинга. стр. 103–119. ISBN 978-1-84628-127-3 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж Клиффорд Бергман (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы . ЦРК Пресс. стр. 63–70. ISBN 978-1-4398-5129-6 .
- ^ Балбес, Раймонд; Хорн, Альфред (сентябрь 1970 г.). «Каменные решетки». Герцог Мат. Дж. 37 (3): 537–545. дои : 10.1215/S0012-7094-70-03768-3 .
- ^ Биркгоф, Гаррет (1973). Теория решеток (3-е изд.). АМС. п. 44.