Дополненная решетка

Диаграмма Хассе дополненной решетки. Точка p и прямая l плоскости Фано являются дополнительными тогда и только тогда, когда p не лежит на l .

В математической дисциплине теории порядка решетка с дополнениями — это ограниченная решетка (с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1), в которой каждый элемент a имеет дополнение , то есть элемент b , удовлетворяющий условиям a ∨ b = 1 и a ∧ b = 0. Дополнения не обязательно должны быть уникальными.

— Относительно дополненная решетка это решетка, в которой каждый интервал [ c , d ], рассматриваемый как ограниченная решетка сам по себе, является дополненной решеткой.

Ортодополнение , на решетке с дополнениями — это инволюция меняющая порядок и отображающая каждый элемент в дополнение. Решетка с ортодополнениями, удовлетворяющая слабой форме модулярного закона, называется ортомодулярной решеткой .

В ограниченных дистрибутивных решетках дополнения единственны. Каждая дополняемая дистрибутивная решетка имеет единственное ортодополнение и фактически является булевой алгеброй .

Определение и основные свойства

Решетка с дополнениями — это ограниченная решетка (с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1), в которой каждый элемент a имеет дополнение , то есть элемент b такой, что

а ∨ b = 1 и а ∧ b = 0.

Обычно элемент может иметь более одного дополнения. Однако в (ограниченной) дистрибутивной решетке каждый элемент будет иметь не более одного дополнения. Решетка, в которой каждый элемент имеет ровно одно дополнение, называется решеткой с единственным дополнением.

Решетка, свойство которой состоит в том, что каждый интервал (рассматриваемый как подрешетка) дополняется, называется относительно дополняемой решеткой . Другими словами, относительно дополняемая решетка характеризуется тем свойством, что для каждого элемента a в интервале [ c , d ] существует элемент b такой, что

а ∨ б знак равно d и а ∧ б знак равно c .

Такой элемент b называется дополнением a относительно интервала.

Дистрибутивная решетка дополняема тогда и только тогда, когда она ограничена и относительно дополняема. Решетка подпространств векторного пространства представляет собой пример решетки с дополнениями, которая, вообще говоря, не является дистрибутивной.

Ортокомплементация

Смотрите также: алгебра Моргана

Ортодополнение . на ограниченной решетке — это функция, которая отображает каждый элемент a в «ортодополнение» a ^⊥ таким образом, чтобы выполнялись следующие аксиомы:

Дополняющий закон

а ^⊥ ∨ а = 1 и а ^⊥ ∧ а = 0.

Закон инволюции

а ^⊥⊥ = а .

Реверсивный порядок

если a ≤ b , то b ^⊥ ≤ а ^⊥ .

Ортодополненная решетка или орторешетка — это ограниченная решетка, снабженная ортодополнениями. Решетка подпространств пространства внутреннего продукта и операция ортогонального дополнения представляют собой пример решетки с ортодополнениями, которая, вообще говоря, не является дистрибутивной.

• Некоторые дополненные решетки
• 
  В пятиугольной решетке N ₅ узел в правой части имеет два дополнения.
• 
  Алмазная решетка M ₃ не допускает ортодополнений.
• 
  Решетка M ₄ допускает три ортодополнения.
• 
  Шестиугольная решетка допускает единственное ортодополнение, но не является однозначно дополняемой.

Булевы алгебры — это частный случай решеток с ортодополнениями, которые, в свою очередь, являются частным случаем решеток с дополнениями (с дополнительной структурой). Орторешетки чаще всего используются в квантовой логике , где замкнутые подпространства сепарабельного . гильбертова пространства представляют квантовые предложения и ведут себя как решетка с ортодополнениями

Решетки с ортодополнениями, как и булевы алгебры, удовлетворяют законам де Моргана :

• ( а ∨ б ) ^⊥ = а ^⊥ ∧ б ^⊥
• ( а ∧ б ) ^⊥ = а ^⊥ ∨ б ^⊥ .

Ортомодулярные решетки

Решетка называется модульной, если для всех элементов a , b и c выполняется импликация

если а ≤ c , то а ∨ ( б ∧ c ) знак равно ( а ∨ б ) ∧ c

держит. Это слабее, чем дистрибутивность ; например, показанная выше решетка M ₃ является модулярной, но не дистрибутивной.

Естественным дальнейшим ослаблением этого условия для ортодополняемых решеток, необходимым для приложений в квантовой логике, является требование его только в частном случае b = a ^⊥ . Таким образом, ортомодулярная решетка определяется как решетка с ортодополнениями, такая что для любых двух элементов выполняется импликация

если a ≤ c , то a ∨ ( a ^⊥ ∧ с ) знак равно с

держит.

Решетки этой формы имеют решающее значение для изучения квантовой логики , поскольку они являются частью аксиомизации в гильбертовом пространстве формулировки квантовой механики . Гаррет Биркгоф и Джон фон Нейман заметили, что высказываний исчисление в квантовой логике «формально неотличимо от исчисления линейных подпространств [гильбертова пространства] относительно произведений множеств , линейных сумм и ортогональных дополнений», соответствующих ролям и , или а не в булевых решетках. Это замечание вызвало интерес к замкнутым подпространствам гильбертова пространства, образующим ортомодулярную решетку.

См. также

• Псевдодополненная решетка

Ссылки

• Биркгоф, Гаррет (1961). Решетчатая теория . Американское математическое общество.
• Гретцер, Джордж (1971). Теория решеток: первые концепции и распределительные решетки . WH Фриман и компания. ISBN  978-0-7167-0442-3 .
• Гретцер, Джордж (1978). Общая теория решеток . Базель, Швейцария: Биркхойзер. ISBN  978-0-12-295750-5 .
• Резерфорд, Дэниел Эдвин (1965). Введение в теорию решеток . Оливер и Бойд.

Внешние ссылки

• «Дополненная решетка» . ПланетаМатематика .
• «Относительное дополнение» . ПланетаМатематика .
• «Уникально дополненная решетка» . ПланетаМатематика .
• «Ортодополненная решетка» . ПланетаМатематика .