Квантовая логика

В математическом изучении логики и физическом анализе основ квантовых квантовая логика представляет собой набор правил для манипулирования утверждениями, вдохновленными структурой квантовой теории . Формальная система берет за отправную точку наблюдение Гаррета Биркгофа и Джона фон Неймана о том, что структура экспериментальных тестов в классической механике образует булеву алгебру , но структура экспериментальных тестов в квантовой механике образует гораздо более сложную структуру.

Для анализа квантово-механических явлений также был предложен ряд других логик, к сожалению, также под названием «квантовая логика (логики)». Они не являются предметом данной статьи. Обсуждение сходств и различий между квантовой логикой и некоторыми из этих конкурентов см. в разделе «Отношения с другими логиками» .

Квантовая логика была предложена как правильная логика для пропозиционального вывода в целом, особенно философом Хилари Патнэмом , по крайней мере, в какой-то момент его карьеры. Этот тезис стал важной составляющей статьи Патнэма 1968 года « Является ли логика эмпирической? », в которой он проанализировал эпистемологический статус правил пропозициональной логики. Современные философы отвергают квантовую логику как основу рассуждений, поскольку в ней отсутствует материальное условие ; распространенной альтернативой является система линейной логики , фрагментом которой является квантовая логика.

Математически квантовая логика формулируется путем ослабления закона распределения для булевой алгебры, что приводит к решетке с ортодополнениями . Квантово-механические наблюдаемые и состояния могут быть определены в терминах функций на решетке или на решетке, что дает альтернативный формализм для квантовых вычислений.

Введение

Наиболее заметное различие между квантовой логикой и классической логикой заключается в несостоятельности пропозиционального закона распределения :

p и ( q или r ) = ( p и q ) или ( p и r ),

где символы p , q и r являются пропозициональными переменными.

Чтобы проиллюстрировать, почему не работает закон распределения, рассмотрим частицу, движущуюся по прямой, и (используя некоторую систему единиц, в которой приведенная постоянная Планка равна 1) пусть

p = "частица имеет импульс в интервале [0, + 1 ⁄ 6 ] "

q = "частица находится в интервале [−1, 1] "

r = "частица находится в интервале [1, 3] "

Мы могли бы заметить, что:

p и ( q или r ) = правда

другими словами, состояние частицы представляет собой взвешенную суперпозицию импульсов от 0 до +1/6 и положений от -1 до +3.

С другой стороны, предложения « p и q » и « p и r » каждое устанавливают более жесткие ограничения на одновременные значения положения и импульса, чем это допускается принципом неопределенности (каждое из них имеет неопределенность 1/3, что меньше, чем допускается минимум 1/2). Таким образом, нет государств, которые могли бы поддержать какое-либо предложение, и

( p и q ) или ( p и r ) = ложь

История и современная критика

В своем классическом трактате 1932 года « Математические основы квантовой механики » Джон фон Нейман отметил, что проекции на гильбертово пространство можно рассматривать как утверждения о физических наблюдаемых; то есть в качестве потенциальных вопросов «да» или «нет», которые наблюдатель может задать о состоянии физической системы, вопросов, которые можно решить с помощью некоторых измерений. Принципы манипулирования этими квантовыми утверждениями были затем названы квантовой логикой фон Нейманом и Биркгофом в статье 1936 года.

Джордж Макки в своей книге 1963 года (также называемой « Математические основы квантовой механики ») попытался аксиоматизировать квантовую логику как структуру ортодополняемой решетки и признал, что физическая наблюдаемая может быть определена в терминах квантовых предложений. Хотя в представлении Макки все еще предполагалось, что решетка с ортодополнениями представляет собой линейных подпространств решетку замкнутых сепарабельного гильбертова пространства , Константин Пирон , Гюнтер Людвиг и другие позже разработали аксиоматизации, которые не предполагают лежащего в основе гильбертова пространства.

Вдохновленная Гансом Райхенбахом недавней защитой общей теории относительности , философ Хилари Патнэм популяризировала работу Макки в двух статьях в 1968 и 1975 годах: в котором он приписал своему соавтору, физику Дэвиду Финкельштейну , идею о том, что аномалии, связанные с квантовыми измерениями, возникают из-за ошибок самой логики . Патнэм надеялся разработать возможную альтернативу скрытым переменным или коллапсу волновой функции в задаче квантового измерения , но теорема Глисона представляет серьезные трудности для достижения этой цели. Позже Патнэм отказался от своих взглядов, хотя и с гораздо меньшей помпой. но ущерб уже был нанесен. В то время как в оригинальной работе Биркгофа и фон Неймана была лишь попытка организовать вычисления, связанные с копенгагенской интерпретацией квантовой механики, теперь возникла школа исследователей, которые либо надеялись, что квантовая логика обеспечит жизнеспособную теорию скрытых переменных, либо устранит необходимость в один. Их работа оказалась бесплодной, и теперь у них плохая репутация.

Большинство философов считают квантовую логику непривлекательным конкурентом классической логики . Это далеко не очевидно (хотя и верно). ), что квантовая логика — это логика в смысле описания процесса рассуждения, в отличие от особенно удобного языка для суммирования измерений, выполняемых квантовыми аппаратами. В частности, современные философы науки утверждают, что квантовая логика пытается заменить нерешенные проблемы физики метафизическими трудностями, а не правильно решать физические проблемы. Тим Модлин пишет, что квантовая «логика «решает» проблему [измерения], делая ее невозможной сформулировать».

Лошадь квантовой логики была так избита, избита и избита, и она настолько окончательно умерла, что... вопрос не в том, поднимется ли лошадь снова, а в том, как вообще эта лошадь сюда попала. ? История квантовой логики — это не история о том, как многообещающая идея провалилась, это, скорее, история о неустанной погоне за плохой идеей. ... Многие, многие философы и физики пришли к убеждению, что изменение логики (и, что наиболее драматично, отказ от классической логики) каким-то образом поможет в понимании квантовой теории или каким-то образом предлагается или навязывается нам квантовой теорией. Но квантовая логика, даже в своих многочисленных воплощениях и вариациях, как в технической форме, так и в интерпретации, никогда не приносила пользы.
- Модлин, Хилари Патнэм , стр. 184–185.

Квантовая логика остается в ограниченном использовании среди логиков как крайне патологический контрпример (Далла Кьяра и Джунтини: «Почему квантовая логика? Просто потому, что «квантовая логика существует!»»). Хотя центральным пониманием квантовой логики остается математический фольклор как интуитивный насос для категоризации , в дискуссиях квантовая логика упоминается редко.

Лучший шанс на возрождение квантовой логики — это недавнее развитие квантовых вычислений , которое привело к распространению новых логик для формального анализа квантовых протоколов и алгоритмов (см. также § Связь с другими логиками ). Логика также может найти применение в (компьютерной) лингвистике.

Алгебраическая структура

Квантовую логику можно аксиоматизировать как теорию высказываний по модулю следующих тождеств:

• а = ¬¬ а
• ∨ коммутативен и ассоциативен .
• Существует максимальный элемент ⊤ и ⊤ = b ∨¬ b для любого b .
• а ∨¬(¬ а ∨ б ) знак равно а .

(«¬» — традиционное обозначение « не », «∨» — обозначение « или » и «∧» — обозначение « и ».)

Некоторые авторы ограничиваются ортомодулярными решетками , которые дополнительно удовлетворяют ортомодулярному закону:

• Если ⊤ = ¬(¬ a ∨¬ b )∨¬( a ∨ b ), то a = b .

(«⊤» — традиционное обозначение истины , а «⊥» — традиционное обозначение ложности .)

Альтернативные формулировки включают предложения, выводимые посредством естественной дедукции . секвенциальное исчисление или система таблиц . Несмотря на относительно развитую теорию доказательств , квантовая логика не является разрешимой .

Квантовая логика как логика наблюдаемых

В оставшейся части статьи предполагается, что читатель знаком со спектральной теорией самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Однако основные идеи можно понять и в конечномерном случае.

Логика классической механики

Гамильтоновы наблюдаемых формулировки классической механики трех ингредиентов: состояний , состоят из и динамики . В простейшем случае движения одиночной частицы в R ³ , пространство состояний представляет собой пространство положения-импульса R ⁶ . Наблюдаемая — это некоторая вещественная функция f в пространстве состояний. Примерами наблюдаемых являются положение, импульс или энергия частицы. Для классических систем значение f ( x ), то есть значение f для некоторого конкретного состояния системы x , получается в процессе измерения f .

Предложения , касающиеся классической системы, порождаются базовыми утверждениями вида

«Измерение f дает значение в интервале [ a , b ] для некоторых действительных чисел a , b ».

посредством обычных арифметических операций и поточечных пределов . Из этой характеристики предложений в классических системах легко следует, что соответствующая логика идентична булевой алгебре борелевских подмножеств пространства состояний. Таким образом, они подчиняются законам классической логики высказываний (таким как законы де Моргана ) с множеством операций объединения и пересечения, соответствующих булевым конъюнктивам , и включением подмножества, соответствующим материальной импликации .

На самом деле верно более сильное утверждение: они должны подчиняться бесконечной логике L _{ω 1 ,ω} .

Суммируем эти замечания следующим образом: Система предложений классической системы представляет собой решетку с выделенной операцией ортодополнения : решетчатые операции встречи и соединения представляют собой соответственно пересечение множеств и объединение множеств. Операция ортодополнения — это дополнение. Более того, эта решетка является секвенциально полной в том смысле, что любая последовательность { E _i } _{i ∈ N} элементов решетки имеет наименьшую верхнюю границу , а именно теоретико-множественное объединение:

$$\operatorname {LUB} (\{E_{i}\})=\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}{\text{.}}$$

квантовомеханической

В формулировке квантовой механики в гильбертовом пространстве , представленной фон Нейманом, физическая наблюдаемая представляется некоторым (возможно, ) плотно определенным самосопряженным оператором A в гильбертовом пространстве H. неограниченным A имеет спектральное разложение , которое является проекционнозначной мерой E, определенной на борелевских подмножествах R . В частности, для любой ограниченной борелевской функции f на R следующее расширение f до операторов: можно сделать

$$f(A)=\int _{\mathbb {R} }f(\lambda )\,d\operatorname {E} (\lambda ).$$

В случае, если f является индикаторной функцией интервала [ a , b ], оператор f ( A ) является самосопряженным проектором на подпространство обобщенных собственных векторов с A собственным значением в [ a , b ] . Это подпространство можно интерпретировать как квантовый аналог классического утверждения.

• Измерение A дает значение в интервале [ a , b ].

Это предполагает следующую квантовомеханическую замену ортодополненной решетки предложений в классической механике, по сути, аксиому Макки VII :

• Предложения квантово-механической системы соответствуют решетке замкнутых подпространств H ; отрицание предложения V является ортогональным дополнением V ^⊥ .

Пространство Q квантовых предложений также секвенциально полно: любая попарно непересекающаяся последовательность { V _i } _i элементов Q имеет наименьшую верхнюю границу. Здесь непересекаемость W ₁ и W ₂ означает, что W ₂ является подпространством W ₁ ^⊥ . Наименьшая верхняя граница { V _i } _i представляет собой замкнутую внутреннюю прямую сумму .

Стандартная семантика

Стандартная семантика квантовой логики заключается в том, что квантовая логика — это логика операторов проектирования в сепарабельном гильбертовом или предгильбертовом пространстве , где наблюдаемая p связана с набором квантовых состояний , для которых p (при измерении) имеет собственное значение 1. там,

• ¬p — ортогональное дополнение к p (поскольку для этих состояний вероятность наблюдения p P( p ) = 0),
• p ∧ q — пересечение p и q , и
• p ∨ q = ¬(¬ p ∧¬ q ) относится к состояниям, которые суперпонируют p и q .

Эта семантика обладает тем прекрасным свойством, что предгильбертово пространство является полным (т. е. гильбертовым) тогда и только тогда, когда предложения удовлетворяют ортомодулярному закону, результату, известному как теорема Солера . Хотя большая часть развития квантовой логики была мотивирована стандартной семантикой, последняя не характеризует ее; есть дополнительные свойства, которым удовлетворяет эта решетка, но которые не обязательно должны соблюдаться в квантовой логике.

Отличия от классической логики

Структура Q сразу указывает на отличие от структуры частичного порядка классической системы высказываний. В классическом случае для предложения p уравнения

⊤ = p ∨ q и

⊥ = p ∧ q

имеют ровно одно решение, а именно теоретико-множественное дополнение к p . В случае решетки проекций существует бесконечно много решений приведенных выше уравнений (его решает любое замкнутое алгебраическое дополнение к p ; оно не обязательно должно быть ортодополнением).

В более общем смысле, пропозициональная оценка обладает необычными свойствами в квантовой логике. Решетка с ортодополнениями, допускающая полный гомоморфизм решетки на {⊥,⊤}, должна быть булевой. Стандартным обходным путем является изучение максимальных частичных гомоморфизмов q со свойством фильтрации:

если a ≤ b и q ( a ) = ⊤, то q ( b ) = ⊤.

Нарушение дистрибутивности

Выражения в квантовой логике описывают наблюдаемые, используя синтаксис, напоминающий классическую логику. Однако, в отличие от классической логики, дистрибутивный закон a ∧ ( b ∨ c ) = ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) не работает при работе с некоммутирующими наблюдаемыми , такими как положение и импульс. Это происходит потому, что измерение влияет на систему, а измерение того, имеет ли место дизъюнкция, не позволяет определить, какое из дизъюнктов истинно.

Например, рассмотрим простую одномерную частицу с положением, обозначенным x , и импульсом p , и определим наблюдаемые:

• а — | р | ≤ 1 (в некоторых единицах)
• б — х ≤ 0
• в — х ≥ 0

Теперь положение и импульс являются преобразованиями Фурье друг друга, а преобразование Фурье интегрируемой с квадратом ненулевой функции с компактным носителем является целым и, следовательно, не имеет неизолированных нулей. Таким образом a b a , a ∧ b аналогично, ∧ c ложны , поэтому ( c ∧ ) ∨ ( a ∧ и , ) ложны. Однако a ∧ ( b ∨ c ) равно a , что, конечно, не является ложным (есть состояния, для которых это является приемлемым результатом измерения ). Более того: если соответствующее гильбертово пространство для динамики частицы допускает только импульсы не больше 1, то a истинно.

Чтобы понять больше, пусть p ₁ и p ₂ будут функциями импульса (преобразованиями Фурье) для проекций волновой функции частицы на x ≤ 0 и x ≥ 0 соответственно. Пусть | p _i |↾ _≥1 — ограничение pi _{на импульсы ,} которые (по абсолютной величине) ≥1.

( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) соответствует состояниям с | п ₁ |↾ _≥1 знак равно | p ₂ |↾ _≥1 = 0 (это верно, даже если мы определили p по-другому, чтобы сделать такие состояния возможными; кроме того, a ∧ b соответствует | p ₁ |↾ _≥1 =0 и p ₂ =0). При этом a соответствует состояниям с | p |↾ _≥1 оператор, p = p1 ₌ + p2 _{0. Как} и ненулевое | р ₁ |↾ _≥1 и | p ₂ |↾ _≥1 может вмешаться и привести к нулю | п |↾ _≥1 . Такое вмешательство является ключом к богатству квантовой логики и квантовой механики.

с

Наблюдаемые Макки

Для с ортодополнениями решетки Q наблюдаемая Макки φ является аддитивным гомоморфизмом из решетки с ортодополнениями борелевских подмножеств R в Q. счетно - В символах это означает, что для любой последовательности { S _i } _i попарно непересекающихся борелевских подмножеств R , {φ( S _i )} _i являются попарно ортогональными предложениями (элементами Q ) и

$\varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (S_{i}).$

Эквивалентно, наблюдаемая Макки является мерой с проекционным значением на R .

Теорема ( Спектральная теорема ). Если Q — решетка замкнутых подпространств гильберта H , то существует биективное соответствие между наблюдаемыми Макки и плотно определенными самосопряженными операторами H. на

вероятностные

Основные статьи: теорема Глисона и квантовая статистическая механика

Квантовая вероятностная мера — это функция P, определенная на Q со значениями в [0,1] такая, что P("⊥)=0, P(⊤)=1 и если { E _i } _i — последовательность попарно ортогональных элементов Q ​ тогда

$\operatorname {P} \!\left(\bigvee _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {P} (E_{i}).$

мера на замкнутых подпространствах гильбертова пространства индуцируется матрицей плотности — неотрицательным оператором следа Каждая квантово- вероятностная 1. Формально

Теорема . Предположим, что Q — решетка замкнутых подпространств сепарабельного гильбертова пространства комплексной размерности не менее 3. Тогда для любой квантовой вероятностной меры P на Q существует единственный ядерный оператор S такой, что

$$\operatorname {P} (E)=\operatorname {Tr} (SE)$$

для любого самосопряженного проектора E в Q .

Связь с другими логиками

Квантовая логика встраивается в линейную логику и логика B. модальная Действительно, современная логика анализа квантовых вычислений часто начинается с квантовой логики и пытается привить к ней желательные черты расширения классической логики; тогда результаты обязательно включают в себя квантовую логику.

Решетка ортодополнений любого набора квантовых предложений может быть вложена в булеву алгебру, которая затем поддается классической логике.

Ограничения

Хотя многие подходы к квантовой логике предполагают, что основная решетка должна быть ортомодулярной, такая логика не может обрабатывать несколько взаимодействующих квантовых систем. В примере Фулиса и Рэндалла существуют ортомодулярные предложения с конечномерными моделями Гильберта, спаривание которых не допускает ортомодулярной модели. Аналогично, квантовая логика с ортомодулярным законом опровергает теорему о выводе .

Квантовая логика не допускает разумных материальных условий ; любая связка , монотонная в определенном техническом смысле, сводит класс предложений к булевой алгебре . Следовательно, квантовая логика с трудом может представить ход времени. Одним из возможных обходных путей является теория квантовой фильтрации, разработанная в конце 1970-х и 1980-х годах Белавкиным . Однако известно, что System BV , глубокого вывода фрагмент линейной логики , очень близкий к квантовой логике, может обрабатывать произвольные дискретные пространства-времени .

См. также

• Нечеткая логика
• Формализм HPO (подход к временной квантовой логике)
• Линейная логика
• Математическая формулировка квантовой механики
• Многозначная логика
• Квантовый байесианство
• Квантовое познание
• Квантовая контекстуальность
• Квантовая теория поля
• Квантовая вероятность
• Теория квазимножеств
• Теорема Солара
• Векторная логика

Источники

Исторические труды

Расположено в хронологическом порядке

• Дж. фон Нейман, Математические основы квантовой механики , пер. Роберт Т. Бейер, изд. Николас А. Уилер; Издательство Принстонского университета, 2018 г. (оригинал 1932 г.). стр. 160-164. JSTOR   j.ctt1wq8zhp . Издание 1955 года доступно в Интернет-архиве .
• Г. Биркгоф и Дж. фон Нейман , « Логика квантовой механики », Анналы математики , серия II, том. 37, выпуск 4, стр. 823–843, 1936. JSTOR 1968621 . ДОИ 10.2307/1968621 .
• Дж. Макки , Математические основы квантовой механики , В. А. Бенджамин, 1963. HathiTrust 2027/mdp.39015001329567 .
• Х. Патнэм , Является ли логика эмпирической? , Бостонские исследования в области философии науки V, изд. Роберт С. Коэн и Маркс В. Вартофски, 1969.
• Г. Калмбах Ортомодулярная логика , З. Логика и фундаментализм. Матем., вып. 20, 1974, стр. 395–406.
• Дж. Калмбах Ортомодулярная логика как исчисление гильбертового типа , в «Текущие проблемы квантовой логики», Plenum Press, Нью-Йорк, изд. Э. Бельтраметти и др., 1981, стр. 333-340.
• Г. Калмбаха Ортомодулярные решетки , Academic Press, Лондон, 1983.

Современные философские взгляды

• Гвидо Баччиагалуппи, « Является ли логика эмпирической? », в «Справочнике по квантовой логике и квантовым структурам: квантовая логика» , изд. К. Энгессер, Д.М. Габбай и Д. Леманн; Эльзевир, 2009. стр. 49–78.
• Тим Модлин , «Повесть о квантовой логике» в Хилари Патнэм ; Издательство Кембриджского университета, серия «Современная философия в фокусе», 2005. DOI: 10.1017/CBO9780511614187.006. ISBN   9780521012546 .
• де Ронд, К.; Доменек, Г.; Фрейтес, Х. «Квантовая логика в исторической и философской перспективе» . Интернет-энциклопедия философии .
• Вилце, Александр. «Квантовая логика и теория вероятностей» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .

исследования и

• А. Балтаг и С. Сметс, « LQP: динамическая логика квантовой информации », «Математические структуры в информатике» , том. 16, выпуск 3, стр. 491–525, 2006. DOI 10.1017/S0960129506005299 arXiv 2110.01361.
• А. Балтаг, Дж. Бергфельд, К. Кишида, Дж. Сак, С. Смец и С. Чжун, « PLQP & Company: разрешимая логика для квантовых алгоритмов », Международный журнал теоретической физики , том. 53, выпуск 10, с. 3628-3647, 2014.
• М. Л. Далла Кьяра и Р. Джунтини, « Квантовая логика », в «Справочнике по философской логике» , том. 6, Д. Габбай и Ф. Гентнер (ред.), Kluwer, 2002. arXiv quant-ph/0101028
• М. Л. Далла Кьяра, Р. Джунтини и Р. Лепорини, « Квантовая вычислительная логика: обзор », в журнале «Тенденции в логике» , том. 21, В. Ф. Хендрикс и Дж. Малиновский (ред.), Springer, 2003. arXiv quant-ph/0305029.
• Норман Мегилл, исследователь квантовой логики в Metamath , 2019.
• Н. Папаниколау, « Формальные рассуждения о квантовых системах: обзор », ACM SIGACT News , 36 (3), 2005. стр. 51–66. arXiv cs/0508005 .

Квантовые основы

• Д. Коэн, Введение в гильбертово пространство и квантовую логику , Springer-Verlag, 1989. Элементарно и хорошо иллюстрировано; подходит для студентов продвинутого уровня.
• Гюнтер Людвиг, «Основы квантовой механики» (на немецком языке), Springer, 1954. Окончательная работа. Опубликовано на английском языке как:
  • Гюнтер Людвиг, Основы квантовой механики , том. 1, пер. Карл А. Хейн; Спрингер-Верлаг, 1983.
  • Гюнтер Людвиг, Аксиоматические основы квантовой механики , том. 1: «Вывод структуры гильбертового пространства», пер. Лео Ф. Борон, изд. Карл Джаст; Спрингер, 1985. DOI: 10.1007/978-3-642-70029-3 . ISBN   978-3-642-70029-3 .
• Квантовая логика в n Lab
• К. Пирон , Основы квантовой физики , В. А. Бенджамин, 1976.