Квантовое дифференциальное исчисление

В квантовой геометрии или некоммутативной геометрии - квантовое дифференциальное исчисление или некоммутативная дифференциальная структура на алгебре. $A$ над полем $k$ означает спецификацию пространства дифференциальных форм над алгеброй. Алгебра $A$ здесь рассматривается как координатное кольцо , но важно, что оно может быть некоммутативным и, следовательно, не являться реальной алгеброй координатных функций в любом реальном пространстве, поэтому это представляет собой точку зрения, заменяющую спецификацию дифференцируемой структуры для реального пространства. В обычной дифференциальной геометрии дифференциальные 1-формы можно умножать на функции слева и справа, и существует внешняя производная. Соответственно, квантовое дифференциальное исчисление первого порядка означает, по крайней мере, следующее:

1. Ан $A$- $A$-бимодуль $\Omega ^{1}$ над $A$, т.е. можно умножать элементы $\Omega ^{1}$ элементами $A$ ассоциативным образом:
   $$a(\omega b)=(a\omega )b,\ \forall a,b\in A,\ \omega \in \Omega ^{1}.$$
2. Линейная карта ${\rm {d}}:A\to \Omega ^{1}$ подчиняясь правилу Лейбница
   $${\rm {d}}(ab)=a({\rm {d}}b)+({\rm {d}}a)b,\ \forall a,b\in A$$
3. $\Omega ^{1}=\{a({\rm {d}}b)\ |\ a,b\in A\}$
4. (необязательное условие связности) $\ker \ {\rm {d}}=k1$

Последнее условие не всегда налагается, но выполняется в обычной геометрии, когда многообразие связно. Там написано, что единственные функции, убитые ${\rm {d}}$ являются постоянными функциями.

или Структура внешней алгебры дифференциально - градуированной алгебры над $A$ означает совместимое расширение $\Omega ^{1}$ включить аналоги дифференциальных форм более высокого порядка

$$\Omega =\oplus _{n}\Omega ^{n},\ {\rm {d}}:\Omega ^{n}\to \Omega ^{n+1}$$

подчиняясь правилу градуированного Лейбница относительно ассоциативного произведения на $\Omega$ и подчиняясь ${\rm {d}}^{2}=0$. Здесь $\Omega ^{0}=A$ и обычно требуется, чтобы $\Omega$ генерируется $A,\Omega ^{1}$. Произведение дифференциальных форм называется внешним или клиновым произведением и часто обозначается $\wedge$. Некоммутативные или квантовые когомологии де Рама определяются как когомологии этого комплекса.

Дифференциальное исчисление более высокого порядка может означать внешнюю алгебру или может означать частичную спецификацию одной из них до некоторой высшей степени и с продуктами, которые привели бы к тому, что степень, превышающая высшую, не была указана.

Приведенное выше определение лежит на пересечении двух подходов к некоммутативной геометрии. В подходе Конна более фундаментальным объектом является замена оператора Дирака в виде спектральной тройки , и на основе этих данных можно построить внешнюю алгебру. В подходе квантовых групп к некоммутативной геометрии мы начинаем с алгебры и выбора исчисления первого порядка, но ограничиваемся ковариацией при симметрии квантовой группы.

Примечание

Приведенное выше определение является минимальным и дает нечто более общее, чем классическое дифференциальное исчисление, даже если алгебра $A$ коммутативен или функционирует в реальном пространстве. Потому что мы этого не требуем.

$$a({\rm {d}}b)=({\rm {d}}b)a,\ \forall a,b\in A$$

поскольку это будет означать, что ${\rm {d}}(ab-ba)=0,\ \forall a,b\in A$, что нарушало бы аксиому 4, если алгебра была некоммутативной. В качестве побочного продукта это расширенное определение включает конечно-разностные исчисления и квантовые дифференциальные исчисления на конечных множествах и конечных группах (теория конечно-групповой алгебры Ли ).

Примеры

1. Для $A={\mathbb {C} }[x]$ алгебра полиномов от одной переменной, трансляционно-ковариантные квантовые дифференциальные исчисления параметризуются формулой $\lambda \in \mathbb {C}$ и принять форму
   $$\Omega ^{1}={\mathbb {C} }.{\rm {d}}x,\quad ({\rm {d}}x)f(x)=f(x+\lambda )({\rm {d}}x),\quad {\rm {d}}f={f(x+\lambda )-f(x) \over \lambda }{\rm {d}}x$$
   Это показывает, как конечные разности естественным образом возникают в квантовой геометрии. Только предел $\lambda \to 0$ имеет функции, коммутирующие с 1-формами, что является частным случаем дифференциального исчисления в средней школе.
2. Для $A={\mathbb {C} }[t,t^{-1}]$ алгебра функций на алгебраической окружности, ковариантные по сдвигу (т.е. вращению окружности) дифференциальные исчисления параметризуются формулой $q\neq 0\in \mathbb {C}$ и принять форму
   $$\Omega ^{1}={\mathbb {C} }.{\rm {d}}t,\quad ({\rm {d}}t)f(t)=f(qt)({\rm {d}}t),\quad {\rm {d}}f={f(qt)-f(t) \over q(t-1)}\,{\rm {dt}}$$
   Это показывает, как $q$-дифференциалы естественным образом возникают в квантовой геометрии.
3. Для любой алгебры $A$ имеется универсальное дифференциальное исчисление, определяемое формулой
   $$\Omega ^{1}=\ker(m:A\otimes A\to A),\quad {\rm {d}}a=1\otimes a-a\otimes 1,\quad \forall a\in A$$
   где $m$ является произведением алгебры. По аксиоме 3 любое исчисление первого порядка является его частным.

См. также

• Квантовая геометрия
• Некоммутативная геометрия
• Количество угля
• Квантовая группа
• Квантовое пространство-время

Дальнейшее чтение

• Конн, А. (1994), Некоммутативная геометрия , Academic Press , ISBN  0-12-185860-Х
• Маджид, С. (2002), Учебник по квантовым группам , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 292, Издательство Кембриджского университета , номер домена : 10.1017/CBO9780511549892 , ISBN.  978-0-521-01041-2 , МР   : 1904789