Спектральная тройка

В некоммутативной геометрии и связанных с ней разделах математики и математической физики спектральная тройка — это набор данных, который аналитически кодирует геометрическое явление. Определение обычно включает в себя гильбертово пространство , алгебру операторов на нем и неограниченный самосопряженный оператор, наделенный дополнительными структурами. Он был задуман Аленом Конном , который руководствовался теоремой Атьи-Зингера об индексе и стремился распространить ее на «некоммутативные» пространства. Некоторые авторы называют это понятие неограниченными K-циклами или неограниченными модулями Фредгольма .

Мотивация

Мотивирующим примером спектральной тройки является алгебра гладких функций на компактном спиновом многообразии , действующая в гильбертовом пространстве L ² - спиноры , сопровождаемые оператором Дирака, связанным со спиновой структурой. Зная эти объекты, можно восстановить исходное многообразие как метрическое пространство: многообразие как топологическое пространство восстанавливается как спектр алгебры, в то время как (абсолютное значение) оператора Дирака сохраняет метрику. С другой стороны, фазовая часть оператора Дирака в сочетании с алгеброй функций дает K-цикл, который кодирует теоретико-индексную информацию. Формула локального индекса выражает спаривание K-группы многообразия с этим K-циклом двумя способами: «аналитическая/глобальная» сторона включает в себя обычный след на гильбертовом пространстве и коммутаторы функций с фазовым оператором (что соответствует «индексу ' часть теоремы об индексе), тогда как «геометрическая/локальная» сторона включает в себя след Диксмье и коммутаторы с оператором Дирака (что соответствует части «интеграции характеристических классов» теоремы об индексе).

, в тех случаях, когда на многообразии действует группа или когда многообразие наделено структурой слоения Расширения теоремы об индексе можно рассматривать, среди прочего . В этих случаях алгебраическая система «функций», выражающая основной геометрический объект, больше не является коммутативной, но можно найти пространство интегрируемых с квадратом спиноров (или сечений модуля Клиффорда), на котором действует алгебра, и соответствующий оператор «Дирака» на нем, удовлетворяющий некоторой ограниченности коммутаторов, вытекающей из псевдодифференциального исчисления.

Определение

Нечетная спектральная тройка — это тройка (A, H, D), состоящая из гильбертова пространства H, алгебры A операторов в H (обычно замкнутой относительно сопряженных) и плотно определенного самосопряженного оператора D, удовлетворяющего ‖[a, D] ‖ < ∞ для любого a ∈ A. Четная спектральная тройка — это нечетная спектральная тройка с Z /2 Z -градуировкой на H, такая, что элементы в A четны, а D нечетен относительно этой градуировки. Можно также сказать, что четная спектральная тройка задается квартетом (A, H, D, γ) таким, что γ является самосопряженным унитарным элементом на H, удовлетворяющем a γ = γ a для любого a из A и D γ = - γ. Д.

Конечно суммируемая спектральная тройка — это спектральная тройка (A, H, D) такая, что aD для любого a из A имеет компактную резольвенту, принадлежащую классу L ^р+ -операторы для фиксированного p (когда A содержит тождественный оператор на H, достаточно потребовать D ⁻¹ в Л ^р+ (ЧАС)). Когда это условие выполнено, тройка (A, H, D) называется p-суммируемой . Спектральная тройка называется θ-суммируемой, если e ^{−tD 2} имеет следовой класс для любого t > 0.

Пусть δ(T) обозначает коммутатор |D| с оператором T в H. Спектральная тройка называется регулярной , если элементы из A и операторы вида [a, D] для a из A находятся в области итераций δ ^н δ.

Если спектральная тройка (A, H, D) p-суммируема, можно определить ее дзета-функцию ζ _D (s) = Tr(|D| ^-с ); в более общем смысле существуют дзета-функции ζ _b (s) = Tr(b|D| ^-с ) для каждого элемента b в алгебре B, порожденного δ ^н (А) и δ ^н ([a, D]) для натуральных чисел n. Они связаны с тепловым ядром exp(-t|D|) преобразованием Меллина . Совокупность полюсов аналитического продолжения ζ _b для b в B называется спектром размерностей (A, H, D).

Действительная спектральная тройка — это спектральная тройка (A, H , D), сопровождаемая антилинейной инволюцией J на ​​H, удовлетворяющая условию [a, JbJ] = 0 для a, b в A. В четном случае обычно предполагается, что J даже относительно оценки H.

Важные понятия

Учитывая спектральную тройку (A, H, D), к ней можно применить несколько важных операций. Наиболее фундаментальным из них является полярное разложение D = F|D| оператора D на самосопряженный унитарный оператор F («фазу» оператора D) и плотно определенный положительный оператор |D| («метрическая» часть).

Конна в

Если $(A,H,D)$ является спектральной тройкой, и ${\mathfrak {A}}$ это закрытие ​ $A$ для нормы Конн операторной вводит расширенную псевдометрику в пространстве состояний $S({\mathfrak {A}})$ из ${\mathfrak {A}}$, установив для любых двух состояний $\varphi ,\psi \in S(A)$:

$d(\varphi ,\psi )=\sup\{|\varphi (a)-\psi (a)|:a\in A,\|[D,a]\|\leq 1\}.$

В общем случае метрика Конна действительно может принимать значение $\infty$, и между разными состояниями оно может быть нулевым. Первоначально Конн заметил, что $X$ связное компактное спиновое риманово многообразие , что ограничение этой псевдометрики на чистые состояния, т. е. характеры С*-алгебры $C(X)$, пространство которого естественным образом гомеоморфно (если наделено слабой* топологией ) $X$, восстанавливает метрику пути для римановой метрики над $X$ индуцирован римановой метрикой, когда спектральная тройка $(C^{\infty }(X),\Gamma ,D)$, где $C^{\infty }(X)$ — алгебра гладких функций над многообразием $X$, а D — замыкание обычного оператора Дирака , действующего на плотном подпространстве гильбертова пространства $\Gamma$ квадратных интегрируемых сечений спинорного расслоения по $X$.

Более того, Конн заметил, что его расстояние ограничено тогда и только тогда, когда существует состояние $\mu \in S({\mathfrak {A}})$ такой, что набор: $\{a\in A:\|[D,a]\|\leq 1,\mu (a)=0\}$ограничен.

Эта конструкция напоминает конструкцию Канторовича расстояния на пространстве вероятностных мер Радона над компактным метрическим пространством, введенную Канторовичем при исследовании транспортной задачи Монжа . Действительно, в том случае, если $(X,d)$ является компактным метрическим пространством, и если $\mu ,\nu$ являются двумя такими вероятностными мерами, то расстояние Канторовича между $\mu ,\nu$, как заметили Канторович и Рубинштейн, можно определить как

$k(\mu ,\nu )=\sup\{|\int _{X}fd\mu -\int _{X}fd\nu |:f\in C(X),\mathrm {Lip} (f)\leq 1\},$где $C(X)$ есть C*-алгебра комплекснозначных непрерывных функций над $X$, и для любой функции $f\in C(X)$, мы обозначим через $\mathrm {Lip} (f)$ Липшица полунорма : $\mathrm {Lip} (f)=\sup\{{\frac {|f(x)-f(y)|}{d(x,y)}}:x,y\in X,x\not =y\}.$

Эта аналогия более чем формальная: в описанном выше случае, когда $X$ является связным компактным спиновым римановым многообразием и $d$ — связанная метрика пути на $X$, затем $\|[D,f]\|\leq 1$ тогда и только тогда, когда $\mathrm {Lip} (f)\leq 1$.

Руководствуясь этим наблюдением, естественно задаться вопросом, какие свойства метрики Конна разделяют с расстоянием Канторовича. В общем, топология, индуцированная расстоянием Конна, может не быть Хаусдорфовой или давать конечный диаметр пространству состояний. ${\mathfrak {A}}$, тогда как метрика Канторовича всегда индуцирует слабую* топологию в пространстве вероятностных мер Радона над $X$ --- что слабо* компактно.

Риффель разработал необходимое и достаточное условие для спектральных троек (и, в более общем плане, для полунорм, которые играют роль аналога полунорм Липшица), чтобы расстояние Конна действительно индуцировало слабую* топологию в пространстве состояний ${\mathfrak {A}}$, а именно: метрика Конна, индуцированная спектральной тройкой $(A,H,D)$ топологизирует слабую* топологию в пространстве состояний $S({\mathfrak {A}})$ тогда и только тогда, когда существует состояние $\mu \in S({\mathfrak {A}})$ такой, что набор $\left\{a\in A:\|[D,a]\|\leq 1,\mu (a)=0\right\}$ ограничен полностью .

Эти наблюдения являются основой изучения некоммутативной метрической геометрии, которая занимается геометрией пространства квантовых метрических пространств, многие из которых строятся с использованием спектральных троек, чья метрика Конна индуцирует слабую топологию в основном пространстве состояний. В этом контексте на пространстве метрических спектральных троек построен аналог расстояния Громова-Хаусдорфа, позволяющий обсуждать геометрию этого пространства и строить аппроксимации спектральных троек «более простыми» (более регулярными, или конечномерные) спектральные тройки.

Сопряжение с К-теорией

Самосопряженный унитарный F дает отображение K-теории A в целые числа, взяв индекс Фредгольма следующим образом. В четном случае каждая проекция e в A распадается как e ₀ ⊕ e ₁ при градуировке и e ₁ Fe ₀ становится оператором Фредгольма от e ₀ H до e ₁ H . Таким образом, e → Ind e ₁ Fe ₀ определяет аддитивное отображение K ₀ ( A ) в Z . В нечетном случае разложение F по собственным пространствам дает градуировку на H , а каждый обратимый элемент в A дает оператор Фредгольма ( F + 1) u ( F - 1)/4 из ( F - 1) H в ( F + 1) ) Х. ​Таким образом, u → Ind ( F + 1) u ( F − 1)/4 дает аддитивное отображение K ₁ ( A ) в Z .

Когда спектральная тройка конечно суммируема, можно записать вышеуказанные индексы, используя (супер) след и произведение F , e (соответственно u ) и коммутатора F с e (соответственно u ). Это можно закодировать как ( p + 1)-функционал на A, удовлетворяющий некоторым алгебраическим условиям, и дать коциклы Хохшильда/циклических когомологий, которые описывают вышеуказанные отображения из K-теории в целые числа.

См. также

• Коцикл JLO

Ссылки

• Конн, Ален ; Марколли, Матильда . Некоммутативная геометрия, квантовые поля и мотивы .
• Варилли, Джозеф К. Введение в некоммутативную геометрию .
• Халхали, Масуд; Марколли, Матильда (2005). Приглашение к некоммутативной геометрии. Лекции международного семинара по некоммутативной геометрии, Тегеран, Иран, 2005 г. Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific. ISBN  978-981-270-616-4 . Збл   1135.14002 .
• Кунц, Иоахим . «Циклическая теория, бивариантная K-теория и бивариантный характер Черна-Конна». Циклические гомологии в некоммутативной геометрии .
• Марколли, Матильда (2005). Арифметическая некоммутативная геометрия . Серия университетских лекций. Том. 36. С предисловием Юрия Манина. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3833-4 . Збл   1081.58005 .