Тепловое ядро

В математическом исследовании теплопроводности и диффузии тепловое ядро ​​является фундаментальным решением уравнения теплопроводности в заданной области с соответствующими граничными условиями . Это также один из основных инструментов при изучении спектра оператора Лапласа и , таким образом, имеет некоторое вспомогательное значение во всей математической физике . Тепловое ядро ​​представляет собой эволюцию температуры в области, граница которой зафиксирована при определенной температуре (обычно равной нулю), так что начальная единица тепловой энергии помещается в точку в момент времени t = 0 .

Фундаментальное решение одномерного уравнения теплопроводности. Красный: ход времени $\Phi (x,t)$. Синий: ход времени $\Phi (x_{0},t)$ для двух выбранных точек. Интерактивная версия.

Наиболее известным тепловым ядром является тепловое ядро ​​d -мерного евклидова пространства R. ^д , которая имеет вид изменяющейся во времени функции Гаусса ,

$$K(t,x,y)=\exp \left(t\Delta \right)(x,y)={\frac {1}{\left(4\pi t\right)^{d/2}}}e^{-\|x-y\|^{2}/4t}$$

который определен для всех $x,y\in \mathbb {R} ^{d}$ и $t>0$. Это решает уравнение теплопроводности

$$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)\\&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta (x-y)=\delta _{x}(y)\end{aligned}}\right.$$

где δ — дельта-распределение Дирака и предел взят в смысле распределений , то есть для каждой гладкой функции φ с компактным носителем имеем

$$\lim _{t\to 0}\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(t,x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x).$$

В более общей области Ω в R ^д , такая явная формула вообще невозможна. Следующие простейшие случаи диска или квадрата включают соответственно функции Бесселя и тэта-функции Якоби . Тем не менее, тепловое ядро ​​все еще существует и является гладким при t > 0 в произвольных областях и даже на любом римановом многообразии с краем при условии, что граница достаточно регулярна. Точнее, в этих более общих областях тепловое ядро ​​является решением начально-краевой задачи

$$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)&\quad {\text{ for all }}t>0{\text{ and }}x,y\in \Omega \\[6pt]&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta _{x}(y)&{\text{ for all }}x,y\in \Omega \qquad \qquad \,\\[6pt]&K(t,x,y)=0,&x\in \partial \Omega {\text{ or }}y\in \partial \Omega \qquad \,\,\,\,.\end{aligned}}\right.$$

Нетрудно получить формальное выражение для теплового ядра в произвольной области. Рассмотрим задачу Дирихле в связной области (или многообразии с краем) U . Пусть λ _n — собственные значения задачи Дирихле лапласиана

$$\left\{{\begin{array}{ll}\Delta \phi +\lambda \phi =0&{\text{in }}U\\\phi =0&{\text{on }}\ \partial U.\end{array}}\right.$$

Обозначим через ассоциированные _φn собственные функции , нормированные так, чтобы быть ортонормированными в L ² ( У ) . Обратный лапласиан Дирихле ∆ ⁻¹ — компактный и самосопряженный оператор , поэтому из спектральной теоремы следует, что собственные значения оператора ∆ удовлетворяют

$$0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \lambda _{3}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty .$$

Тепловое ядро ​​имеет следующее выражение:

$$K(t,x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\lambda _{n}t}\phi _{n}(x)\phi _{n}(y).$$

( 1 )

Формальное дифференцирование ряда по знаку суммы показывает, что это должно удовлетворять уравнению теплопроводности. Однако сходимость и регулярность рядов весьма деликатны.

Тепловое ядро ​​также иногда отождествляется с соответствующим интегральным преобразованием , определяемым для гладкого φ с компактным носителем формулой

$$T\phi =\int _{\Omega }K(t,x,y)\phi (y)\,dy.$$

Теорема о спектральном отображении дает представление T в виде

$$T=e^{t\Delta }.$$

Есть несколько геометрических результатов о тепловых ядрах на многообразиях; скажем, кратковременная асимптотика, долговременная асимптотика и верхние/нижние границы гауссовского типа.

См. также

• Нагревание подписи ядра
• Дзета-функция Минакшисундарама – Плейеля
• Ядро Мелера
• Преобразование Вейерштрасса § Обобщения

Ссылки

• Берлина, Николь; Гетцлер, Э.; Вернь, Мишель (2004), Тепловые ядра и операторы Дирака , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Чавел, Исаак (1984), Собственные значения в римановой геометрии , Чистая и прикладная математика, том. 115, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN  978-0-12-170640-1 , МР   0768584 .
• Эванс, Лоуренс К. (1998), Уравнения в частных производных , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-0772-9
• Гилки, Питер Б. (1994), Теория инвариантности, уравнение теплопроводности и теорема Атьи-Зингера , ISBN  978-0-8493-7874-4
• Григорьян, Александр (2009), Тепловое ядро ​​и анализ многообразий , Исследования AMS/IP в области высшей математики, том. 47, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-4935-4 , МР   2569498