Дзета-функция Минакшисундарама – Плейеля

Дзета-функция Минакшисундарама –Плейеля это дзета-функция, кодирующая собственные значения лапласиана компактного риманова — многообразия . Его представили Субарамия Минакшисундарам и Оке Плейел ( 1949 ). Случай компактной области плоскости ранее рассматривался Торстеном Карлеманом ( 1935 ).

Определение

Для компактного риманова многообразия M размерности N с собственными значениями $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots$ оператора Лапласа –Бельтрами $\Delta$ дзета-функция приведена для $\operatorname {Re} (s)$ достаточно большой по

Z(s)={\mbox{Tr}}(\Delta ^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }\vert \lambda _{n}\vert ^{-s}.

(где, если собственное значение равно нулю, оно опускается в сумме). Многообразие может иметь границу, и в этом случае необходимо задать подходящие граничные условия, такие как Дирихле или граничные условия Неймана .

В более общем смысле можно определить

Z(P,Q,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{n}(P)f_{n}(Q)}{\lambda _{n}^{s}}}

для P и Q на многообразии, где $f_{n}$ являются нормированными собственными функциями. Это можно аналитически продолжить до мероморфной функции s для всех комплексных s и голоморфно для $P\neq Q$ .

Единственными возможными полюсами являются простые полюсы в точках $s=N/2,N/2-1,N/2-2,\dots ,1/2,-1/2,-3/2,\dots$ для N нечетно, а в точках $s=N/2,N/2-1,N/2-2,\dots ,2,1$ для Н. даже Если N нечетно, то $Z(P,P,s)$ исчезает в $s=0,-1,-2,\dots$ . Если N четно, вычеты в полюсах можно найти явно в терминах метрики, и по теореме Винера–Икехары мы находим как следствие соотношение

\sum _{\lambda _{n}<T}f_{n}(P)^{2}\sim {\frac {T^{N/2}}{(2{\sqrt {\pi }})^{N}\Gamma (N/2+1)}}

,

где символ $\sim$ указывает на то, что частное обеих сторон стремится к 1, когда T стремится к $+\infty$ . ^{[ 1 ]}

Функция $Z(s)$ можно восстановить из $Z(P,P,s)$ интегрированием по всему многообразию M :

\displaystyle Z(s)=\int _{M}Z(P,P,s)dP

.

Тепловое ядро

Аналитическое продолжение дзета-функции можно найти, выразив ее через тепловое ядро

K(P,Q,t)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(P)f_{n}(Q)e^{-\lambda _{n}t}

как преобразование Меллина

Z(P,Q,s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }K(P,Q,t)t^{s-1}dt

В частности, у нас есть

Z(s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }K(t)t^{s-1}dt

где

K(t)=\int _{M}K(P,P,t)dP=\sum _{i=1}^{\infty }e^{-\lambda _{i}t}

является следом теплового ядра.

Полюсы дзета-функции можно найти из асимптотического поведения теплового ядра при t → 0.

Пример

Если многообразие представляет собой окружность размерности N = 1, то собственные значения лапласиана равны n ² для целых чисел n . Дзета-функция

Z(s)=\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{(n^{2})^{s}}}=2\zeta (2s)

где ζ – дзета-функция Римана .

Приложения

Применяя метод теплового ядра к асимптотическому разложению риманова многообразия (M,g), мы получаем две следующие теоремы. Оба являются решением обратной задачи, в которой мы получаем геометрические свойства или величины из спектров операторов.

1) Асимптотическое разложение Минакшисундарама–Плейеля

Пусть (M,g) — n -мерное риманово многообразие. Тогда при t →0+ след теплового ядра имеет асимптотическое разложение вида:

K(t)\sim (4\pi t)^{-n/2}\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}t^{m}.

При dim=2 это означает, что интеграл скалярной кривизны сообщает нам эйлерову характеристику M по теореме Гаусса–Бонне .

В частности,

a_{0}=\operatorname {Vol} (M,g),\ \ \ \ a_{1}={\frac {1}{6}}\int _{M}S(x)dV

где S(x) — скалярная кривизна, след кривизны Риччи , на M.

2) Асимптотическая формула Вейля Пусть M — компактное риманово многообразие с собственными значениями $0=\lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\cdots ,$ причем каждое отдельное собственное значение повторяется со своей кратностью. Определим N(λ) как количество собственных значений, меньших или равных $\lambda$ , и пусть $\omega _{n}$ обозначаем объём единичного диска в $\mathbb {R} ^{n}$ . Затем