Граничное условие Дирихле

В математике Дирихле граничное условие накладывается на обыкновенное уравнение или уравнение в частных производных , так что значения, которые решение принимает вдоль границы области, фиксированы. Вопрос о нахождении решений таких уравнений известен как задача Дирихле . В науке и технике граничное условие Дирихле также может называться фиксированным граничным условием или граничным условием первого типа . Он назван в честь Питера Густава Лежена Дирихле (1805–1859). ^[1]

В анализе методом конечных элементов существенное граничное условие или условие Дирихле определяется взвешенно-интегральной формой дифференциального уравнения. ^[2] Зависимая неизвестная u в той же форме, что и весовая функция w, появляющаяся в граничном выражении, называется первичной переменной , а ее спецификация представляет собой существенное граничное условие или условие Дирихле.

Примеры [ править ]

ODE[editОДА

для обыкновенного дифференциального уравнения Например,

y''+y=0,

граничные условия Дирихле на отрезке

[a, b]

принимают вид

y(a)=\alpha ,\quad y(b)=\beta ,

где

α

и

β

— заданные числа.

ПДЭ [ править ]

для уравнения в частных производных Например,

\nabla ^{2}y+y=0,

где

\nabla ^{2}

обозначает оператор Лапласа , граничные условия Дирихле в области

Ω \subset R н

принять форму

y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega ,

где

f

— известная функция, определенная на границе

\partialΩ

.

Приложения [ править ]

Например, граничными условиями Дирихле можно считать следующие:

В машиностроении и гражданском строительстве ( теория балки ), где один конец балки удерживается в фиксированном положении в пространстве.
В теплопередаче , когда поверхность поддерживается при фиксированной температуре.
В электростатике , где узел цепи поддерживается под постоянным напряжением.
В гидродинамике для условие прилипания вязких жидкостей гласит, что на твердой границе жидкость будет иметь нулевую скорость относительно границы.

Другие граничные условия [ править ]

Возможны многие другие граничные условия, включая граничные условия Коши и смешанные граничные условия . Последнее представляет собой комбинацию условий Дирихле и Неймана .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Ченг, А.; Ченг, Д.Т. (2005). «Наследие и ранняя история метода граничных элементов». Инженерный анализ с граничными элементами . 29 (3): 268–302. дои : 10.1016/j.enganabound.2004.12.001 .
^ Редди, JN (2009). «Дифференциальные уравнения второго порядка в одном измерении: модели конечных элементов». Введение в метод конечных элементов (3-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. п. 110. ИСБН 978-0-07-126761-8 .

[1] Ченг, А.; Ченг, Д.Т. (2005). «Наследие и ранняя история метода граничных элементов». Инженерный анализ с граничными элементами . 29 (3): 268–302. дои : 10.1016/j.enganabound.2004.12.001 .

[2] Редди, JN (2009). «Дифференциальные уравнения второго порядка в одном измерении: модели конечных элементов». Введение в метод конечных элементов (3-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. п. 110. ИСБН 978-0-07-126761-8 .

[1]

[2]