Граничное условие Коши

В математике Коши ( Французский: [koʃi] ) граничное условие дополняет обыкновенное дифференциальное уравнение или уравнение в частных производных условиями, которым решение должно удовлетворять на границе; в идеале, чтобы гарантировать существование единственного решения. Граничное условие Коши определяет как значение функции, так и производную на границе области нормальную . Это соответствует наложению как Дирихле , так и граничных условий Неймана . Он назван в честь плодовитого французского математического аналитика XIX века Огюстена-Луи Коши .

Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

Граничные условия Коши просты и распространены в обыкновенных дифференциальных уравнениях второго порядка :

y''(s)=f{\big (}y(s),y'(s),s{\big )},

где, чтобы гарантировать единственность решения $y(s)$ существует, можно указать значение функции $y$ и значение производной $y'$ в данный момент $s=a$ , то есть,

y(a)=\alpha ,

и

y'(a)=\beta ,

где $a$ является границей или начальной точкой. Поскольку параметр $s$ обычно это время, условия Коши также можно назвать условиями начального значения или данными начального значения или просто данными Коши . Примером такой ситуации являются законы движения Ньютона, согласно которым ускорение $y''$ зависит от позиции $y$ , скорость $y'$ , и время $s$ ; здесь данные Коши соответствуют знанию начального положения и скорости.

Уравнения в частных производных

Для уравнений в частных производных граничные условия Коши определяют как функцию, так и нормальную производную на границе. Для простоты и конкретики рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка на плоскости

A(x,y)\psi _{xx}+B(x,y)\psi _{xy}+C(x,y)\psi _{yy}=F(x,y,\psi ,\psi _{x},\psi _{y}),

где $\psi (x,y)$ неизвестное решение, $\psi _{x}$ обозначает производную от $\psi$ относительно $x$ и т. д. Функции $A,B,C,F$ уточните проблему.

Теперь мы ищем $\psi$ которое удовлетворяет уравнению в частных производных в области $\Omega$ , который является подмножеством $xy$ плоскости и такие, что граничные условия Коши

\psi (x,y)=\alpha (x,y),\quad \mathbf {n} \cdot \nabla \psi =\beta (x,y)

выполняться для всех граничных точек $(x,y)\in \partial \Omega$ . Здесь $\mathbf {n} \cdot \nabla \psi$ – производная по направлению нормали к границе. Функции $\alpha$ и $\beta$ – данные Коши.

Обратите внимание на разницу между граничными условиями Коши и граничными условиями Робина . В первом случае мы указываем как функцию, так и нормальную производную. В последнем случае мы указываем средневзвешенное значение этих двух показателей.

Мы хотели бы, чтобы граничные условия гарантировали существование ровно одного (единственного) решения, но для уравнений в частных производных второго порядка не так просто гарантировать существование и единственность, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Данные Коши наиболее актуальны для гиперболических задач (например, волнового уравнения ) в открытых областях (например, полуплоскости). ^[1]

См. также

Ссылки

^ Райли, К.Ф.; Хобсон, член парламента; Бенс, SJ (13 марта 2006 г.). Математические методы в физике и технике . стр. 705 . ISBN 978-0-521-67971-8 .

[hobson-1] Райли, К.Ф.; Хобсон, член парламента; Бенс, SJ (13 марта 2006 г.). Математические методы в физике и технике . стр. 705 . ISBN 978-0-521-67971-8 .

[1]