Граничные условия Робина

В математике граничное условие Робина ( / ˈ r ɒ b ɪ n / ; собственно Французский: [ʁɔbɛ̃] ), или граничное условие третьего типа , — это тип граничного условия , названный в честь Виктора Гюстава Робина (1855–1897). ^[1] Когда оно применяется к обыкновенному уравнению или уравнению в частных производных , оно представляет собой спецификацию линейной комбинации значений функции и значений ее производной на границе области. Другими эквивалентными названиями являются условие типа Фурье и условие излучения . ^[2]

Определение [ править ]

Граничные условия Робина представляют собой взвешенную комбинацию граничных условий Дирихле и граничных условий Неймана . Это контрастирует со смешанными граничными условиями , которые представляют собой граничные условия разных типов, заданные на разных подмножествах границы. Граничные условия Робина также называются импедансными граничными условиями из-за их применения в электромагнитных задачах или конвективными граничными условиями из-за их применения в задачах теплопередачи (Hahn, 2012).

Если Ω — это область, в которой должно быть решено данное уравнение, а ∂Ω обозначает его границу , граничное условие Робина: ^[3]

au+b{\frac {\partial u}{\partial n}}=g\qquad {\text{on }}\partial \Omega

для некоторых ненулевых констант a и b и заданной функции g, определенной на ∂Ω. Здесь u — неизвестное решение, определенное на Ω, а ∂ u / ∂ n обозначает нормальную производную на границе. В более общем смысле a и b могут быть (заданными) функциями, а не константами.

В одном измерении, если, например, Ω = [0,1], граничное условие Робина становится условиями:

{\begin{aligned}au(0)-bu'(0)&=g(0)\\au(1)+bu'(1)&=g(1)\end{aligned}}

Обратите внимание на изменение знака перед термином, включающим производную: это потому, что нормаль к [0,1] в точке 0 указывает в отрицательном направлении, а в точке 1 она указывает в положительном направлении.

Приложение [ править ]

Граничные условия Робина обычно используются при решении задач Штурма – Лиувилля , которые встречаются во многих контекстах науки и техники.

Кроме того, граничное условие Робина представляет собой общую форму изолирующего граничного условия для уравнений конвекции-диффузии . Здесь конвективный и диффузионный потоки на границе в сумме равны нулю:

u_{x}(0)\,c(0)-D{\frac {\partial c(0)}{\partial x}}=0

где D — диффузионная постоянная, u — скорость конвекции на границе, а c — концентрация. Второй член является результатом закона диффузии Фика .

Ссылки [ править ]

^ Густавсон, К. (1998). Разложение области, Операторная тригонометрия, Условие Робина, Современная математика , 218 . 432–437.
^ Логан, Дж. Дэвид, (2001). Транспортное моделирование в гидрогеохимических системах. Спрингер.
^ Дж. Э. Акин (2005). Анализ методом конечных элементов с помощью средств оценки ошибок: введение в FEM и адаптивный анализ ошибок для студентов-инженеров . Баттерворт-Хайнеманн. п. 69. ИСБН 9780080472751 .

Библиография [ править ]

Густафсон К. и Т. Абе (1998a). Третье граничное условие – это было условие Робина? , The Mathematical Intelligencer , 20 , № 1, 63–71.
Густафсон К. и Т. Абе (1998b). (Виктор) Гюстав Робин: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer , 20 , № 2, 47–53.
Эрикссон, К.; Эстеп, Д.; Джонсон, К. (2004). Прикладная математика, тело и душа . Берлин; Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-00889-6 .

Аткинсон, Кендалл Э.; Хан, Вейминь (2001). Теоретический численный анализ: основа функционального анализа . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-95142-3 .

Эрикссон, К.; Эстеп, Д.; Хансбо, П.; Джонсон, К. (1996). Вычислительные дифференциальные уравнения . Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-56738-6 .

Мэй, Чжэнь (2000). Численный бифуркационный анализ уравнений реакции-диффузии . Берлин; Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-67296-6 .

Хан, Дэвид В.; Озиск, Миннесота (2012). Теплопроводность, 3-е издание . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-470-90293-6 .

[1] Густавсон, К. (1998). Разложение области, Операторная тригонометрия, Условие Робина, Современная математика , 218 . 432–437.

[2] Логан, Дж. Дэвид, (2001). Транспортное моделирование в гидрогеохимических системах. Спрингер.

[3] Дж. Э. Акин (2005). Анализ методом конечных элементов с помощью средств оценки ошибок: введение в FEM и адаптивный анализ ошибок для студентов-инженеров . Баттерворт-Хайнеманн. п. 69. ИСБН 9780080472751 .

[1]

[2]

[3]