Интегро-дифференциальное уравнение

В математике интегро -дифференциальное уравнение — это уравнение , которое включает в себя как интегралы так и производные функции , .

первого

Общее линейное (только относительно члена, включающего производную) интегро-дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

${\frac {d}{dx}}u(x)+\int _{x_{0}}^{x}f(t,u(t))\,dt=g(x,u(x)),\qquad u(x_{0})=u_{0},\qquad x_{0}\geq 0.$

Как это обычно бывает с дифференциальными уравнениями , получение решения в замкнутой форме часто может быть затруднено. В относительно немногих случаях решение может быть найдено с помощью какого-либо интегрального преобразования, при котором проблема сначала преобразуется в алгебраическую постановку. В таких ситуациях решение проблемы можно получить, применив обратное преобразование к решению этого алгебраического уравнения.

Пример

Рассмотрим следующую задачу второго порядка:

$u'(x)+2u(x)+5\int _{0}^{x}u(t)\,dt=\theta (x)\qquad {\text{with}}\qquad u(0)=0,$

где

$\theta (x)=\left\{{\begin{array}{ll}1,\qquad x\geq 0\\0,\qquad x<0\end{array}}\right.$

– ступенчатая функция Хевисайда . Преобразование Лапласа определяется следующим образом:

$U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}u(x)\,dx.$

После почленного преобразования Лапласа и использования правил для производных и интегралов интегро-дифференциальное уравнение преобразуется в следующее алгебраическое уравнение:

$sU(s)-u(0)+2U(s)+{\frac {5}{s}}U(s)={\frac {1}{s}}.$

Таким образом,

$U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}$.

Тогда обращение преобразования Лапласа с использованием методов контурного интеграла дает

$u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)$.

В качестве альтернативы можно завершить квадрат и использовать таблицу преобразований Лапласа («экспоненциально затухающая синусоида») или вызвать из памяти, чтобы продолжить:

$U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}={\frac {1}{2}}{\frac {2}{(s+1)^{2}+4}}\Rightarrow u(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{U(s)\right\}={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)$.

Приложения

Интегро-дифференциальные уравнения моделируют многие ситуации из науки и техники , например, при анализе цепей. Согласно второму закону Кирхгофа , чистое падение напряжения в замкнутом контуре равно приложенному напряжению. $E(t)$. (По сути, это применение закона сохранения энергии .) Таким образом, схема RLC подчиняется

$$L{\frac {d}{dt}}I(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )d\tau =E(t),$$

где $I(t)$ ток как функция времени, $R$ это сопротивление, $L$ индуктивность, -и $C$ емкость.

Активность взаимодействующих тормозных и возбуждающих нейронов можно описать системой интегро-дифференциальных уравнений, см., например, модель Вильсона-Коуэна .

Уравнение Уизема используется для моделирования нелинейных дисперсионных волн в гидродинамике.

Эпидемиология

Интегро-дифференциальные уравнения нашли применение в эпидемиологии , математическом моделировании эпидемий , особенно когда модели содержат возрастную структуру. или описать пространственные эпидемии. Теория Кермака-Маккендрика о передаче инфекционных заболеваний является одним из конкретных примеров того, как возрастная структура населения включается в структуру моделирования.

См. также

• Дифференциальное уравнение с задержкой
• Дифференциальное уравнение
• Интегральное уравнение
• Интегроразностное уравнение

Дальнейшее чтение

• Вангипурам Лакшмикантам, М. Рама Мохана Рао, « Теория интегро-дифференциальных уравнений », CRC Press, 1995 г.

Внешние ссылки

• Интерактивная математика
• Численное решение примера с использованием Chebfun