Интегроразностное уравнение

В математике интегроразностное уравнение — это рекуррентное соотношение в функциональном пространстве следующего вида:

n_{t+1}(x)=\int _{\Omega }k(x,y)\,f(n_{t}(y))\,dy,

где $\{n_{t}\}\,$ представляет собой последовательность в функциональном пространстве и $\Omega \,$ является областью определения этих функций. В большинстве приложений для любого $y\in \Omega \,$ , $k(x,y)\,$ представляет собой функцию плотности вероятности на $\Omega \,$ . Обратите внимание, что в приведенном выше определении $n_{t}$ может иметь векторное значение, и в этом случае каждый элемент $\{n_{t}\}$ имеет связанное с ним скалярное интегроразностное уравнение. Интегроразностные уравнения широко используются в математической биологии , особенно в теоретической экологии , для моделирования расселения и роста популяций. ^[1] В этом случае, $n_{t}(x)$ это размер или плотность населения в данном месте $x$ во время $t$ , $f(n_{t}(x))$ описывает рост местного населения в данном месте $x$ и $k(x,y)$ , – вероятность перемещения из точки $y$ указывать $x$ , часто называемое ядром рассеяния. Интегроразностные уравнения чаще всего используются для описания унивольтинных популяций, включая, помимо прочего, многих членистоногих и однолетние виды растений. Однако мультивольтинные популяции также можно моделировать с помощью интегроразностных уравнений: ^[2] до тех пор, пока организм имеет непересекающиеся поколения. В этом случае, $t$ измеряется не годами, а интервалом времени между выводками.

Ядра свертки и скорости вторжения

В одном пространственном измерении ядро рассеяния часто зависит только от расстояния между источником и местом назначения и может быть написано как $k(x-y)$ . В этом случае некоторые естественные условия на f и k означают, что существует четко определенноескорость распространения волн вторжения, возникающих из-за компактных начальных условий. Скорость волны часто рассчитываютизучая линеаризованное уравнение

n_{t+1}=\int _{-\infty }^{\infty }k(x-y)Rn_{t}(y)dy

где $R=\left.{\dfrac {df}{dn}}\right|_{n=0}$ .Это можно записать как свертку

n_{t+1}=f'(0)k*n_{t}

Использование преобразования моментной производящей функции

M(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{sx}n(x)dx

было показано, что критическая скорость волны

c^{*}=\min _{w>0}\left[{\frac {1}{w}}\ln \left(R\int _{-\infty }^{\infty }k(s)e^{ws}ds\right)\right]

Другие типы уравнений, используемые для моделирования динамики популяции в пространстве, включают уравнения реакции-диффузии и уравнения метапопуляции . Однако уравнения диффузии не так легко учитывают явные закономерности расселения и биологически точны только для популяций с перекрывающимися поколениями. ^[3] Уравнения метапопуляции отличаются от уравнений интеградоразности тем, что они разбивают популяцию на отдельные участки, а не на непрерывный ландшафт.

Ссылки

^ Лючер, Фритьоф. 2019. Интегроразностные уравнения в пространственной экологии. ISBN 978-3-030-29294
^ Кин, Джон М. и Найджел Д. Барлоу. 2001. Пространственная модель успешного биологического контроля Sitona discoideus с помощью Microctonus aethiopoides. Журнал прикладной экологии. 38:1:162-169.
^ Кот, Марк и Уильям М. Шаффер. 1986. Модели дисперсии роста в дискретном времени. Математические биологические науки . 80:109-136

[1] Лючер, Фритьоф. 2019. Интегроразностные уравнения в пространственной экологии. ISBN 978-3-030-29294

[2] Кин, Джон М. и Найджел Д. Барлоу. 2001. Пространственная модель успешного биологического контроля Sitona discoideus с помощью Microctonus aethiopoides. Журнал прикладной экологии. 38:1:162-169.

[3] Кот, Марк и Уильям М. Шаффер. 1986. Модели дисперсии роста в дискретном времени. Математические биологические науки . 80:109-136

[1]

[2]

[3]