Уравнение Уизема

В математической физике уравнение Уизема представляет собой нелокальную модель нелинейных дисперсионных волн .

Уравнение обозначается следующим образом:

${\frac {\partial \eta }{\partial t}}+\alpha \eta {\frac {\partial \eta }{\partial x}}+\int _{-\infty }^{+\infty }K(x-\xi )\,{\frac {\partial \eta (\xi ,t)}{\partial \xi }}\,{\text{d}}\xi =0.$

Это интегро-дифференциальное уравнение для колебательной переменной η ( x , t ) названо в честь Джеральда Уизема , который представил его в качестве модели для изучения разрушения нелинейных дисперсионных волн на воде в 1967 году. обрушение волны – ограниченные решения с неограниченными производными – для уравнения Уизема. Недавно было доказано

При определенном выборе ядра K ( x − ξ ) оно становится уравнением Форнберга–Уизема .

Волны на воде

Используя преобразование Фурье (и обратное ему) относительно пространственной координаты x и волнового числа k :

• Для поверхностных гравитационных волн фазовая скорость c ( k ) как функция волнового числа k принимается как:

$c_{\text{ww}}(k)={\sqrt {{\frac {g}{k}}\,\tanh(kh)}},$   пока   $\alpha _{\text{ww}}={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {g}{h}}},$

где g — ускорение свободного падения , а h глубина — средняя воды. Соответствующее ядро ​​K _ww ( s ) с использованием обратного преобразования Фурье:

$K_{\text{ww}}(s)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }c_{\text{ww}}(k)\,{\text{e}}^{iks}\,{\text{d}}k={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }c_{\text{ww}}(k)\,\cos(ks)\,{\text{d}}k,$

поскольку c _ww является четной функцией волнового числа k .

• Уравнение Кортевега –де Фриза (уравнение КдФ) возникает при сохранении первых двух членов разложения в ряд c _ww ( k ) для длинных волн с kh ≪ 1 :

$c_{\text{kdv}}(k)={\sqrt {gh}}\left(1-{\frac {1}{6}}k^{2}h^{2}\right),$   $K_{\text{kdv}}(s)={\sqrt {gh}}\left(\delta (s)+{\frac {1}{6}}h^{2}\,\delta ^{\prime \prime }(s)\right),$   $\alpha _{\text{kdv}}={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {g}{h}}},$

с δ ( s ) дельта-функцией Дирака .

• Бенгт Форнберг и Джеральд Уизем изучили ядро ​​K _fw ( s ) – обезразмеренное с использованием g и h :

$K_{\text{fw}}(s)={\frac {1}{2}}\nu {\text{e}}^{-\nu |s|}$   и   $c_{\text{fw}}={\frac {\nu ^{2}}{\nu ^{2}+k^{2}}},$   с   $\alpha _{\text{fw}}={\frac {3}{2}}.$

Полученное интегро-дифференциальное уравнение можно свести к уравнению в частных производных, известному как уравнение Форнберга – Уизема :

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-\nu ^{2}\right)\left({\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {3}{2}}\,\eta \,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)+{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=0.$

Показано, что это уравнение допускает пиконные решения – как модель волн предельной высоты – а также возникновение обрушения волн ( ударных волн , отсутствующих, например, в решениях уравнения Кортевега – де Фриза).

Примечания и ссылки

Ссылки

• Дебнат, Л. (2005), Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных для ученых и инженеров , Springer, ISBN  9780817643232
• Фетекау, Р.; Леви, Дорон (2005), «Приблизительные модельные уравнения для водных волн», Communications in Mathematical Sciences , 3 (2): 159–170, doi : 10.4310/CMS.2005.v3.n2.a4
• Форнберг, Б.; Уизем, Великобритания (1978), «Численное и теоретическое исследование некоторых нелинейных волновых явлений», Philosophical Transactions of the Royal Society A , 289 (1361): 373–404, Бибкод : 1978RSPTA.289..373F , CiteSeerX   10.1.1.67 .6331 , doi : 10.1098/rsta.1978.0064 , S2CID   7333207
• Хур, Вера Микёнг (2017), «Обрушение волны в уравнении Уизема», Advances in Mathematics , 317 : 410–437, arXiv : 1506.04075 , doi : 10.1016/j.aim.2017.07.006 , S2CID   119121867
• Молдабаев Д.; Калиш, Х.; Дутых, Д. (2015), «Уравнение Уизема как модель поверхностных волн в воде», Physica D: Nonlinear Phenomena , 309 : 99–107, arXiv : 1410.8299 , Bibcode : 2015PhyD..309...99M , doi : 10.1016/j.physd.2015.07.010 , S2CID   55302388
• Наумкин, П.И.; Шишмарев И.А. (1994), Нелинейные нелокальные уравнения теории волн , Американское математическое общество, ISBN  9780821845738
• Уизем, Великобритания (1967), «Вариационные методы и приложения к водным волнам», Proceedings of the Royal Society A , 299 (1456): 6–25, Бибкод : 1967RSPSA.299....6W , doi : 10.1098/rspa. 1967.0119 , S2CID   122802187
• Уизем, Великобритания (1974), Линейные и нелинейные волны , Wiley-Interscience, doi : 10.1002/9781118032954 , ISBN  978-0-471-94090-6