Главный

В теории интегрируемых систем пикон — («остроконечный солитон») солитон с разрывной первой производной ; профиль волны имеет форму графика функции $e^{-|x|}$ . Некоторыми примерами нелинейных уравнений в частных производных с (много)пиконными решениями являются уравнение волн Камассы-Холма на мелкой воде , уравнение Дегаспериса-Прочези и уравнение Форнберга-Уитэма .Поскольку решения пиконов дифференцируемы лишь кусочно, их необходимо интерпретировать в подходящем слабом смысле .Эта концепция была представлена в 1993 году Камассой и Холмом в короткой, но часто цитируемой статье, в которой они вывели уравнение мелкой воды. ^[1]

Семейство уравнений с пиконными решениями

Основным примером PDE, который поддерживает решения Peakon, является

u_{t}-u_{xxt}+(b+1)uu_{x}=bu_{x}u_{xx}+uu_{xxx},\,

где $u(x,t)$ — неизвестная функция, а b — параметр. ^[2]С точки зрения вспомогательной функции $m(x,t)$ определяется соотношением $m=u-u_{xx}$ , уравнение принимает более простой вид

m_{t}+m_{x}u+bmu_{x}=0.\,

Это уравнение интегрируемо ровно для двух значений b , а именно b = 2 ( уравнение Камассы–Холма ) и b = 3 ( уравнение Дегаспериса–Прочези ).

Решение с одним пиконом

Приведенный выше УЧП допускает решение бегущей волны. $u(x,t)=c\,e^{-|x-ct|}$ ,которая представляет собой уединенную волну с пиком с амплитудой c и скоростью c .Это решение называется (одиночным) пиконным решением,или просто пикон .Если c отрицательно, волна движется влево с вершиной вниз,и тогда его иногда называют антипиконом .

Не сразу понятно, в каком смысле решение пикона удовлетворяет УЧП.Поскольку производная u _x имеет скачок в вершине,вторая производная u _xx должна быть взята в смысле распределений и будет содержать дельта-функцию Дирака ;фактически, $m=u-u_{xx}=c\,\delta (x-ct)$ .Теперь продукт $mu_{x}$ встречающееся в УЧП кажется неопределенным, поскольку распределение поддерживается в той самой точке, где производная ux _m не определена. Специальная интерпретация состоит в том, чтобы принять значение u _x в этой точке равным среднему значению его левого и правого пределов (в данном случае нулю). Более удовлетворительный способ понять решение — инвертировать связь между u и m, написав $m=(G/2)*u$ , где $G(x)=\exp(-|x|)$ и используйте это, чтобы переписать УЧП как (нелокальный) гиперболический закон сохранения :

\partial _{t}u+\partial _{x}\left[{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {G}{2}}*\left({\frac {bu^{2}}{2}}+{\frac {(3-b)u_{x}^{2}}{2}}\right)\right]=0.

(Звездочка обозначает свертку по x .)В этой формулировке функцию u можно просто интерпретировать как слабое решение в обычном смысле. ^[3]

Мультипиконные решения

Двухпиконный волновой профиль (сплошная кривая), образованный сложением двух пиконов (пунктирные кривые): $u=m_{1}\,e^{-|x-x_{1}|}+m_{2}\,e^{-|x-x_{2}|}$

Мультипиконные решения формируются путем взятия линейной комбинации нескольких пиконов, каждый из которых имеет свою зависящую от времени амплитуду и положение. (Это очень простая структура по сравнению с многосолитонными решениями большинства других интегрируемых УЧП, таких как, уравнение Кортевега – де Фриза например, .) Таким образом, решение n -пиконов принимает вид

u(x,t)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(t)\,e^{-|x-x_{i}(t)|},

где 2 n функции $x_{i}(t)$ и $m_{i}(t)$ должен быть выбран соответствующим образом, чтобы вы могли удовлетворить PDE.Для приведенного выше « b -семейства» оказывается, что этот анзац действительно дает решение, при условии, что система ОДУ

{\dot {x}}_{k}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}e^{-|x_{k}-x_{i}|},\qquad {\dot {m}}_{k}=(b-1)\sum _{i=1}^{n}m_{k}m_{i}\operatorname {sgn}(x_{k}-x_{i})e^{-|x_{k}-x_{i}|}\qquad (k=1,\dots ,n)

удовлетворен. (Здесь знак обозначает знаковую функцию .)Обратите внимание, что правая часть уравнения для $x_{k}$ получается заменой $x=x_{k}$ в формуле для тебя .Аналогично уравнение для $m_{k}$ может быть выражено через $u_{x}$ , если интерпретировать производную $\exp(-|x|)$ при x = 0 как нулевой.Это дает следующее удобное сокращение для системы:

{\dot {x}}_{k}=u(x_{k}),\qquad {\dot {m}}_{k}=-(b-1)m_{k}u_{x}(x_{k})\qquad (k=1,\dots ,n).

Первое уравнение дает некоторую полезную информацию о динамике пиконов: скорость каждого пикона равна высоте волны в этой точке.

Явные формулы решения

В интегрируемых случаях b = 2 и b = 3 система ОДУ, описывающая динамику пиконов, может быть решена явно для произвольного n в терминах элементарных функций, используя методы обратных спектров. Например, решение для n = 3 в случае Камассы–Холма b = 2 имеет вид ^[4]

{\begin{aligned}x_{1}(t)&=\log {\frac {(\lambda _{1}-\lambda _{2})^{2}(\lambda _{1}-\lambda _{3})^{2}(\lambda _{2}-\lambda _{3})^{2}a_{1}a_{2}a_{3}}{\sum _{j<k}\lambda _{j}^{2}\lambda _{k}^{2}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\x_{2}(t)&=\log {\frac {\sum _{j<k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\lambda _{1}^{2}a_{1}+\lambda _{2}^{2}a_{2}+\lambda _{3}^{2}a_{3}}}\\x_{3}(t)&=\log(a_{1}+a_{2}+a_{3})\\m_{1}(t)&={\frac {\sum _{j<k}\lambda _{j}^{2}\lambda _{k}^{2}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\sum _{j<k}\lambda _{j}\lambda _{k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\m_{2}(t)&={\frac {\left(\lambda _{1}^{2}a_{1}+\lambda _{2}^{2}a_{2}+\lambda _{3}^{2}a_{3}\right)\sum _{j<k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\left(\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\lambda _{3}a_{3}\right)\sum _{j<k}\lambda _{j}\lambda _{k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\m_{3}(t)&={\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}}{\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\lambda _{3}a_{3}}}\end{aligned}}

где $a_{k}(t)=a_{k}(0)e^{t/\lambda _{k}}$ , и где 2 n констант $a_{k}(0)$ и $\lambda _{k}$ определяются из начальных условий. Общее решение для произвольного n можно выразить через симметричные функции от $a_{k}$ и $\lambda _{k}$ . Общее решение n -пиконов в случае Дегаспериса-Прочези b = 3 похоже по вкусу, хотя детальная структура более сложна. ^[5]

Примечания

^ Камасса и Холм 1993
^ Дегаспер, Холм и Хоун, 2002 г.
^ Константин и МакКин, 1999 (которые рассматривают случай Камассы-Холма b = 2; общий случай очень похож)
^ Билс, Саттингер и Шмигельски, 2000 (где используется другая нормализация и соглашение о знаках)
^ Лундмарк и Шмигельски, 2005 г.

Ссылки

Билз, Ричард; Саттингер, Дэвид Х.; Шмигельски, Яцек (2000), «Мультипиконы и классическая проблема моментов», « Достижения в области математики» , том. 154, нет. 2, стр. 229–257, arXiv : solv-int/9906001 , doi : 10.1006/aima.1999.1883.
Камасса, Роберто; Холм, Дэррил Д. (1993), «Интегрируемое уравнение мелкой воды с остроконечными солитонами», Physical Review Letters , vol. 71, нет. 11, стр. 1661–1664, arXiv : Patt-sol/9305002 , Bibcode : 1993PhRvL..71.1661C , doi : 10.1103/PhysRevLett.71.1661 , PMID 10054466 , S2CID 8832709
Константин, Адриан; Маккин, Генри П. (1999), «Уравнение мелкой воды на круге», Communications on Pure and Applied Mathematics , vol. 52, нет. 8, стр. 949–982, doi : 10.1002/(SICI)1097-0312(199908)52:8<949::AID-CPA3>3.0.CO;2-D
Дегасперис, Антонио; Холм, Дэррил Д.; Хон, Эндрю Н.В. (2002), «Новое интегрируемое уравнение с пиконными решениями», Теоретическая и математическая физика , том. 133, нет. 2, стр. 1463–1474, arXiv : nlin.SI/0205023 , doi : 10.1023/A:1021186408422.
Лундмарк, Ганс; Шмигельски, Яцек (2005), «Пиконы Дегаспериса – Процесси и дискретная кубическая струна», International Mathematics Research Papers , vol. 2005, нет. 2, стр. 53–116, arXiv : nlin.SI/0503036 , doi : 10.1155/IMRP.2005.53.

[1] Камасса и Холм 1993

[2] Дегаспер, Холм и Хоун, 2002 г.

[3] Константин и МакКин, 1999 (которые рассматривают случай Камассы-Холма b = 2; общий случай очень похож)

[4] Билс, Саттингер и Шмигельски, 2000 (где используется другая нормализация и соглашение о знаках)

[5] Лундмарк и Шмигельски, 2005 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]