Нелинейное уравнение в частных производных

В математике и физике нелинейное уравнение в частных производных — это уравнение в частных производных с нелинейными членами . Они описывают множество различных физических систем, от гравитации до гидродинамики, и использовались в математике для решения таких проблем, как гипотеза Пуанкаре и гипотеза Калаби . Их трудно изучать: почти не существует общих методов, работающих для всех таких уравнений, и обычно каждое отдельное уравнение приходится изучать как отдельную задачу.

Различие между линейным и нелинейным уравнением в частных производных обычно проводится с точки зрения свойств оператора , который определяет само УЧП. ^[1]

Методы исследования нелинейных уравнений в частных производных

Существование и единственность решений

Фундаментальным вопросом для любого УЧП является существование и единственность решения для заданных граничных условий. Для нелинейных уравнений эти вопросы вообще очень сложны: например, самой сложной частью решения Яу гипотезы Калаби было доказательство существования уравнения Монжа – Ампера . Открытая проблема существования (и гладкости) решений уравнений Навье – Стокса — одна из семи задач по математике, удостоенных Премии тысячелетия .

Особенности

Основные вопросы об особенностях (их образование, распространение и удаление, а также регулярность решений) такие же, как и для линейного УЧП, но, как обычно, их гораздо труднее изучать. В линейном случае можно просто использовать пространства распределений, но нелинейные УЧП обычно не определяются для произвольных распределений, поэтому пространства распределений заменяются уточнениями, такими как пространства Соболева .

Примером образования сингулярностей является поток Риччи : Ричард С. Гамильтон показал, что, хотя существуют кратковременные решения, сингулярности обычно образуются через конечное время. Григорием Перельманом Решение гипотезы Пуанкаре основывалось на глубоком изучении этих особенностей, где он показал, как продолжить решение за пределами особенностей.

Линейное приближение

Решения в окрестности известного решения иногда можно изучать путем линеаризации УЧП вокруг решения. Это соответствует изучению касательного пространства точки пространства модулей всех решений.

Пространство модулей решений

В идеале хотелось бы явно описать пространство (модулей) всех решений и для некоторых особых PDE это возможно. (В целом это безнадежная проблема: маловероятно, что существует какое-либо полезное описание всех решений, например, уравнения Навье – Стокса , поскольку это потребует описания всех возможных движений жидкости.) Если уравнение имеет очень большую группу симметрии , то обычно интересует только пространство модулей решений по модулю группы симметрии, и иногда это конечномерное компактное многообразие, возможно, с особенностями; например, так происходит в случае уравнений Зайберга–Виттена . Несколько более сложным случаем являются самодуальные уравнения Янга – Миллса, когда пространство модулей конечномерно, но не обязательно компактно, хотя часто его можно компактифицировать явно. Другой случай, когда иногда можно надеяться описать все решения, — это случай полностью интегрируемых моделей, когда решения иногда представляют собой своего рода суперпозицию солитоны ; это происходит, например, для уравнения Кортевега – де Фриза .

Точные решения

Часто некоторые специальные решения можно явно записать через элементарные функции (хотя описать подобным образом все решения удается редко). Один из способов найти такие явные решения — свести уравнения к уравнениям меньшей размерности, предпочтительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые часто можно решить точно. Иногда это можно сделать, используя разделение переменных или поиск высокосимметричных решений.

Некоторые уравнения имеют несколько различных точных решений.

Численные решения

Численное решение на компьютере — практически единственный метод получения информации о произвольных системах УЧП. Была проделана большая работа, но еще предстоит много работы по численному решению некоторых систем, особенно для уравнений Навье-Стокса и других уравнений, связанных с прогнозированием погоды .

Слабая пара

Если систему УЧП можно представить в пары Лакса виде

{\frac {dL}{dt}}=LA-AL

тогда он обычно имеет бесконечное число первых интегралов, которые помогают его изучать.

Уравнения Эйлера–Лагранжа.

Системы УЧП часто возникают как уравнения Эйлера–Лагранжа для вариационной задачи. Системы такого вида иногда можно решить, найдя экстремум исходной вариационной задачи.

Уравнения Гамильтона

Интегрируемые системы

УЧП, возникающие в интегрируемых системах, часто легче всего изучать, а иногда их можно полностью решить. Хорошо известным примером является уравнение Кортевега-де Фриза .

Симметрия

Некоторые системы УЧП имеют большие группы симметрии. Например, уравнения Янга-Миллса инвариантны относительно бесконечномерной калибровочной группы , а многие системы уравнений (такие как уравнения поля Эйнштейна ) инвариантны относительно диффеоморфизмов основного многообразия. Любые такие группы симметрии обычно можно использовать для изучения уравнений; в частности, если известно одно решение, можно тривиально получить больше, действуя с группой симметрии.

Иногда уравнения являются параболическими или гиперболическими «по модулю действия некоторой группы»: например, уравнение потока Риччи не совсем параболично, но является «параболическим по модулю действия группы диффеоморфизмов», что означает, что оно обладает большинством хороших свойств. параболических уравнений.

Список уравнений

См. обширный Список нелинейных уравнений в частных производных .

См. также

Ссылки

^ Логан, Дж. Дэвид (1994). Введение в нелинейные уравнения в частных производных . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 8–11. ISBN 0-471-59916-6 .

Калоджеро, Франческо ; Дегасперис, Антонио (1982), Спектральное преобразование и солитоны. Том. I. Инструменты для решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений , Исследования по математике и ее приложениям, том. 13, Амстердам-Нью-Йорк: Издательство Северной Голландии, ISBN 0-444-86368-0 , МР 0680040
Похожаев, С.И. (2001) [1994], «Нелинейное уравнение в частных производных» , Энциклопедия математики , EMS Press
Полянин Андрей Дмитриевич; Зайцев, Валентин Ф. (2004), Справочник по нелинейным уравнениям в частных производных , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC, стр. xx+814, ISBN 1-58488-355-3 , МР 2042347
Рубичек, Т. (2013), Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных с приложениями , Международная серия числовой математики, том. 153 (2-е изд.), Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-3-0348-0513-1 , ISBN 978-3-0348-0512-4 , МР 3014456
Скотт, Олвин, изд. (2004), Энциклопедия нелинейной науки , Routledge, ISBN 978-1-57958-385-9 . Чтобы узнать об ошибках, см. это
Цвиллингер, Дэниел (1998), Справочник дифференциальных уравнений (3-е изд.), Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., ISBN 978-0-12-784396-4 , МР 0977062

Внешние ссылки

[1] Логан, Дж. Дэвид (1994). Введение в нелинейные уравнения в частных производных . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 8–11. ISBN 0-471-59916-6 .

[1]