Примитивные уравнения

Примитивные уравнения представляют собой набор нелинейных уравнений в частных производных , которые используются для аппроксимации глобального атмосферного потока и используются в большинстве атмосферных моделей . Они состоят из трех основных наборов уравнений баланса:

1. Уравнение непрерывности : представляет сохранение массы.
2. Сохранение импульса : состоит из формы уравнений Навье – Стокса , которые описывают гидродинамический поток на поверхности сферы в предположении, что вертикальное движение намного меньше, чем горизонтальное движение (гидростаз), и что глубина слоя жидкости мала по сравнению с глубиной слоя жидкости. радиус сферы
3. Уравнение тепловой энергии : связь общей температуры системы с источниками и поглотителями тепла.

Примитивные уравнения могут быть линеаризованы, чтобы получить приливные уравнения Лапласа , проблему собственных значений , из которой можно определить аналитическое решение широтной структуры потока.

В общем, почти все формы примитивных уравнений связаны с пятью переменными u , v , ω, T , W и их эволюцией в пространстве и времени.

Уравнения были впервые записаны Вильгельмом Бьеркнесом .

Определения

• $u$ - зональная скорость (скорость в направлении восток-запад, касательная к сфере)
• $v$ - меридиональная скорость (скорость в направлении север-юг, касательная к сфере)
• $\omega$ - вертикальная скорость в изобарических координатах
• $T$ это температура
• $\Phi$ это геопотенциал
• $f$ – член, соответствующий силе Кориолиса , и равен $2\Omega \sin(\phi )$, где $\Omega$ – угловая скорость вращения Земли ( $2\pi /24$ радиан на сидерический час) и $\phi$ это широта
• $R$ газовая постоянная
• $p$ это давление
• $\rho$ плотность ​
• $c_{p}$ - удельная теплоемкость на поверхности постоянного давления
• $J$ - тепловой поток в единицу времени на единицу массы
• $W$ это осаждающаяся вода
• $\Pi$ это функция Экснера
• $\theta$ потенциальная температура
• $\eta$ это абсолютная завихренность

Силы, вызывающие движение атмосферы

К силам, вызывающим движение атмосферы, относятся сила градиента давления , гравитация и вязкое трение . Вместе они создают силы, ускоряющие нашу атмосферу.

Сила градиента давления вызывает ускорение, вытесняющее воздух из областей высокого давления в области низкого давления. Математически это можно записать так:

${\frac {f}{m}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}.$

Гравитационная сила ускоряет объекты примерно со скоростью 9,8 м/с. ² прямо к центру Земли.

Силу вязкого трения можно аппроксимировать как:

$f_{r}={f \over a}{1 \over \rho }\mu \left(\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right).$

Используя второй закон Ньютона, эти силы (называемые в приведенных выше уравнениях ускорениями, вызываемыми этими силами) можно суммировать, чтобы получить уравнение движения, описывающее эту систему. Это уравнение можно записать в виде:

${\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla p-g({\frac {r}{r}})+f_{r}$

$g=g_{e}.\,$

Следовательно, чтобы завершить систему уравнений и получить 6 уравнений и 6 переменных:

• ${\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla p-g({\frac {r}{r}})+({\frac {1}{\rho }})\left[\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right]$
• $c_{v}{\frac {dT}{dt}}+p{\frac {d\alpha }{dt}}=q+f$
• ${\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla \cdot v=0$
• $p=nT.$

где n — числовая плотность в молях, а T:=RT — эквивалентное значение температуры в Джоулях/моль.

Формы примитивных уравнений

Точная форма примитивных уравнений зависит от выбранной вертикальной системы координат , такой как координаты давления , координаты логарифмического давления или сигма-координаты . Кроме того, переменные скорости, температуры и геопотенциала могут быть разложены на средние значения и компоненты возмущений с использованием разложения Рейнольдса .

Координата давления в вертикальной декартовой тангенциальной плоскости

В этой форме в качестве вертикальной координаты выбрано давление, а горизонтальные координаты записаны для декартовой касательной плоскости (т.е. плоскости, касающейся некоторой точки на поверхности Земли). Эта форма не учитывает кривизну Земли, но полезна для визуализации некоторых физических процессов, участвующих в формулировке уравнений, из-за ее относительной простоты.

Обратите внимание, что производные по времени капитала D являются материальными производными . В состав системы входят пять уравнений с пятью неизвестными.

• уравнения невязкого (без трения) количества движения:

${\frac {Du}{Dt}}-fv=-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}$

${\frac {Dv}{Dt}}+fu=-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}$

• уравнение гидростатики — частный случай уравнения вертикального количества движения, в котором вертикальное ускорение считается незначительным:

$0=-{\frac {\partial \Phi }{\partial p}}-{\frac {RT}{p}}$

• уравнение неразрывности , связывающее горизонтальную дивергенцию/сходимость с вертикальным движением в гидростатическом приближении ( $dp=-\rho \,d\Phi$):

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=0$

• и уравнение термодинамической энергии, следствие первого закона термодинамики

${\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+\omega \left({\frac {\partial T}{\partial p}}-{\frac {RT}{pc_{p}}}\right)={\frac {J}{c_{p}}}$

Когда включено утверждение о сохранении вещества водяного пара, эти шесть уравнений составляют основу для любой схемы численного прогноза погоды.

Примитивные уравнения с использованием сигма-системы координат, полярной стереографической проекции

Согласно Справочнику Национальной метеорологической службы № 1 – Факсимильные продукты , примитивные уравнения можно упростить до следующих уравнений:

• Зональный ветер:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\eta v-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial x}}-z{\frac {\partial u}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}})}{\partial x}}$

• Меридиональный ветер:

${\frac {\partial v}{\partial t}}=-\eta {\frac {u}{v}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial y}}-z{\frac {\partial v}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}})}{\partial y}}$

• Температура:

${\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+w{\frac {\partial T}{\partial z}}$

Первый член равен изменению температуры из-за приходящей солнечной радиации и уходящей длинноволновой радиации, которая меняется со временем в течение дня. Второе, третье и четвертое члены обусловлены адвекцией. Кроме того, переменная T с индексом представляет собой изменение температуры в этой плоскости. Каждая Т на самом деле различна и связана с соответствующей плоскостью. Это значение делится на расстояние между точками сетки, чтобы получить изменение температуры с изменением расстояния. При умножении на скорость ветра в этой плоскости единицы кельвины на метр и метры в секунду дают кельвины в секунду. Сумма всех изменений температуры из-за движений в направлениях x , y и z дает общее изменение температуры со временем.

• Осаждаемая вода:

${\frac {\delta W}{\partial t}}=u{\frac {\partial W}{\partial x}}+v{\frac {\partial W}{\partial y}}+w{\frac {\partial W}{\partial z}}$

Это уравнение и обозначения работают во многом так же, как уравнение температуры. Это уравнение описывает движение воды из одного места в другую в точке без учета воды, меняющей форму. Внутри данной системы общее изменение воды со временем равно нулю. Однако скоплениям разрешено перемещаться по ветру.

• Толщина давления:

${\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}=u{\frac {\partial }{\partial x}}x{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+v{\frac {\partial }{\partial y}}y{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+w{\frac {\partial }{\partial z}}z{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}$

Эти упрощения значительно облегчают понимание того, что происходит в модели. Такие вещи, как температура (потенциальная температура), осаждаемая вода и, в некоторой степени, толщина давления, просто перемещаются из одного места на сетке в другое вместе с ветром. Ветер прогнозируется несколько иначе. Он использует геопотенциал, теплоемкость, функцию Экснера π и изменение сигма-координаты.

Решение линеаризованных примитивных уравнений

Аналитическое решение линеаризованных примитивных уравнений включает в себя синусоидальные колебания по времени и долготе, модулированные коэффициентами, связанными с высотой и широтой.

${\begin{Bmatrix}u,v,\Phi \end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\hat {u}},{\hat {v}},{\hat {\Phi }}\end{Bmatrix}}e^{i(s\lambda +\sigma t)}$

где s и $\sigma$ – зональное волновое число и угловая частота соответственно. Решение представляет собой атмосферные волны и приливы .

При разделении коэффициентов на их высотную и широтную составляющие зависимость от высоты принимает вид распространяющихся или затухающих волн (в зависимости от условий), а зависимость от широты задается функциями Хафа .

Это аналитическое решение возможно только тогда, когда примитивные уравнения линеаризованы и упрощены. К сожалению, многие из этих упрощений (т.е. отсутствие диссипации, изотермическая атмосфера) не соответствуют условиям реальной атмосферы. В результате численное решение , учитывающее эти факторы, часто рассчитывается с использованием моделей общей циркуляции и моделей климата .

См. также

• Барометрическая формула
• Климатическая модель
• Уравнения Эйлера
• Гидродинамика
• Модель общей циркуляции
• Численный прогноз погоды

Ссылки

• Бенистон, Мартин. От турбулентности к климату: численные исследования атмосферы с помощью иерархии моделей. Берлин: Спрингер, 1998. ISBN   3-540-63495-9
• Ферт, Роберт. Построение и точность сетки мезомасштабных и микромасштабных метеорологических моделей. ЛСМСА, 2006.
• Томпсон, Филип. Численный анализ и прогноз погоды. Нью-Йорк: Компания Macmillan, 1961.
• Пилке, Роджер А. Мезомасштабное метеорологическое моделирование. Орландо: Academic Press, Inc., 1984. ISBN   0-12-554820-6
• Министерство торговли США, Национальное управление океанических и атмосферных исследований, Национальная метеорологическая служба. Справочник национальной метеорологической службы № 1 – Факсимильная продукция. Вашингтон, округ Колумбия: Министерство торговли, 1979.

Внешние ссылки

Национальная метеорологическая служба – NCSU Сайт совместных исследований и обучения, обзор примитивных уравнений .