Геопотенциал

Геопотенциал – потенциал Земли поля гравитационного это . Для удобства его часто определяют как отрицательную величину потенциальной энергии на единицу массы , так что вектор гравитации получается как градиент геопотенциала без отрицания. Помимо реального потенциала (геопотенциала) гипотетический нормальный потенциал и их разность — возмущающий потенциал можно определить также .

Концепции [ править ]

Для геофизических приложений гравитацию отличают от гравитации . Гравитация определяется как результирующая сила гравитации и центробежная сила, вызванная вращением Земли . Аналогичным образом, соответствующие скалярные потенциалы могут быть добавлены, чтобы сформировать эффективный потенциал , называемый геопотенциалом. $W$ . Поверхности постоянного геопотенциала или изоповерхности геопотенциала называются эквигеопотенциальными поверхностями (иногда сокращенно geop ), ^[1] также известные как геопотенциальные поверхности уровня , эквипотенциальные поверхности или просто поверхности уровня . ^[2]

Средняя глобальная поверхность моря близка к одному эквигеопотенциалу, называемому геоидом . ^[3]Как сила гравитации и центробежная сила складываются в силу, ортогональную геоиду, показано на рисунке (не в масштабе). На широте 50 градусов смещение между силой гравитации (красная линия на рисунке) и местной вертикалью (зеленая линия на рисунке) фактически составляет 0,098 градуса. Для движущейся массовой точки (атмосферы) центробежная сила больше не соответствует гравитационной, а сумма векторов не совсем ортогональна поверхности Земли. Это является причиной эффекта Кориолиса для движения атмосферы.

Геоид представляет собой слегка волнистую поверхность из-за неравномерного распределения массы внутри Земли; Однако его можно аппроксимировать эллипсоидом вращения , называемым опорным эллипсоидом . Наиболее широко используемый в настоящее время опорный эллипсоид Геодезической системы отсчета 1980 года ( GRS80 ) аппроксимирует геоид с точностью чуть более ±100 м. Можно построить простую модель геопотенциала. $U$ который имеет в качестве одной из своих эквипотенциальных поверхностей этот опорный эллипсоид с тем же модельным потенциалом $U_{0}$ как истинный потенциал $W_{0}$ геоида; эта модель называется нормальным потенциалом . Разница $T=W-U$ называется возмущающим потенциалом . Многие наблюдаемые величины гравитационного поля, такие как гравитационные аномалии и отклонения вертикали ( отвеса ), могут быть выражены в этом возмущающем потенциале.

Формулировка [ править ]

Гравитационное поле Земли можно получить из поля гравитационного потенциала ( геопотенциала ) следующим образом:

\mathbf {g} =\nabla W=\mathrm {grad} \ W={\frac {\partial W}{\partial X}}\mathbf {i} +{\frac {\partial W}{\partial Y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial W}{\partial Z}}\mathbf {k}

который выражает вектор ускорения силы тяжести как градиент $W$ , потенциал гравитации. Векторная триада $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ — ортонормированный набор базовых векторов в пространстве, направленных вдоль $X,Y,Z$ координатные оси.

Обратите внимание, что и гравитация, и ее потенциал содержат вклад центробежной псевдосилы, возникающей из-за вращения Земли. Мы можем написать

W=V+\Phi \,

где $V$ – потенциал гравитационного поля , $W$ гравитационного поля , и $\Phi$ поле центробежных сил.

Центробежная сила на единицу массы, т. е. ускорение, определяется выражением

\mathbf {g} _{c}=\omega ^{2}\mathbf {p} ,

где

\mathbf {p} =X\mathbf {i} +Y\mathbf {j} +0\cdot \mathbf {k}

- вектор, указывающий на точку, считающуюся прямой от оси вращения Земли. Можно показать, что это псевдосиловое поле в системе отсчета, вращающейся вместе с Землей, имеет связанный с ним потенциал, который выглядит следующим образом:

\Phi ={\frac {1}{2}}\omega ^{2}(X^{2}+Y^{2}).

В этом можно убедиться, взяв градиент ( $\nabla$ ) оператор этого выражения.

Здесь, $X$ , $Y$ и $Z$ являются геоцентрическими координатами .

Нормальный потенциал [ править ]

В грубом приближении Земля представляет собой сферу , а в гораздо лучшем приближении — эллипсоид . Мы можем аналогичным образом аппроксимировать гравитационное поле Земли сферически-симметричным полем:

W\approx {\frac {GM}{R}}

из которых эквипотенциальные поверхности — поверхности постоянного значения потенциала — представляют собой концентрические сферы.

Однако более точно аппроксимировать геопотенциал полем, одной из эквипотенциальных поверхностей которого является земной эллипсоид . Самый последний земной эллипсоид — GRS80 , или геодезическая система отсчета 1980 года, который система глобального позиционирования использует в качестве эталона. Его геометрические параметры: большая полуось а = 6378137,0 м, уплощение f = 1/298,257222101.

Геопотенциальное поле $U$ построен как сумма гравитационного потенциала $\Psi$ и известный центробежный потенциал $\Phi$ , одной из эквипотенциальных поверхностей которого является опорный эллипсоид GRS80 . Если мы также потребуем, чтобы приложенная масса была равна известной массе Земли (включая атмосферу), GM = 3986005 × 10. ⁸ м ³·с ⁻² получаем : , для потенциала на опорном эллипсоиде

U_{0}=62636860.850\ {\textrm {m}}^{2}\,{\textrm {s}}^{-2}

Очевидно, это значение зависит от предположения, что потенциал асимптотически стремится к нулю на бесконечности ( $R\rightarrow \infty$ ), как это принято в физике. Для практических целей имеет смысл выбрать нулевую точку нормальной гравитации в качестве точки отсчета эллипсоида и относить к ней потенциалы других точек.

Тревожный потенциал

Когда-то чистое, гладкое геопотенциальное поле $U$ было построено сопоставление известного опорного эллипсоида GRS80 с эквипотенциальной поверхностью (такое поле мы называем нормальным потенциалом ) мы можем вычесть его из истинного (измеренного) потенциала $W$ настоящей Земли. Результат определяется как T , возмущающий потенциал :

T=W-U

Возмущающий потенциал T численно намного меньше, чем U или W , и отражает подробные, сложные изменения истинного гравитационного поля реально существующей Земли от точки к точке, в отличие от общей глобальной тенденции, фиксируемой плавной математический эллипсоид нормального потенциала.