Результирующая сила

Графическое размещение равнодействующей силы

В физике и технике результирующая сила — это единая сила и связанный с ней крутящий момент, получаемые путем объединения системы сил и моментов, действующих на твердое тело путем сложения векторов . Определяющей особенностью равнодействующей силы, или равнодействующей силы-момента, является то, что она оказывает на твердое тело такое же воздействие, как и исходная система сил. Расчет и визуализация результирующей силы, действующей на тело, осуществляется посредством вычислительного анализа или (в случае достаточно простых систем) диаграммы свободного тела .

Точка приложения результирующей силы определяет связанный с ней крутящий момент. Термин результирующая сила следует понимать как относящийся как к силам, так и к крутящим моментам, действующим на твердое тело, поэтому некоторые используют термин результирующая сила-крутящий момент .

Сила, равная по величине равнодействующей силе, но направленная в противоположную сторону, называется равновесной силой .

Иллюстрация

Схема иллюстрирует простые графические способы нахождения линии приложения равнодействующей силы простых плоских систем.

1. Линии приложения действующих сил ${\scriptstyle {\vec {F}}_{1}}$ и $\scriptstyle {\vec {F}}_{2}$ на крайнем левом рисунке пересекаются. После того, как сложение векторов выполнено «по местоположению $\scriptstyle {\vec {F}}_{1}$", полученная результирующая сила переводится так, что линия ее приложения проходит через общую точку пересечения. По отношению к этой точке все крутящие моменты равны нулю, поэтому крутящий момент результирующей силы $\scriptstyle {\vec {F}}_{R}$ равна сумме моментов действующих сил.
2. На рисунке в середине диаграммы показаны две параллельные действующие силы. После сложения векторов "по местоположению $\scriptstyle {\vec {F}}_{2}$", результирующая сила переводится в соответствующую линию приложения, где она становится равнодействующей силой. $\scriptstyle {\vec {F}}_{R}$. Процедура основана на разложении всех сил на составляющие, у которых линии приложения (бледные пунктирные линии) пересекаются в одной точке (так называемый полюс, произвольно установленный в правой части иллюстрации). Затем аргументы из предыдущего случая применяются к силам и их компонентам, чтобы продемонстрировать отношения крутящего момента.
3. На крайнем правом рисунке показана пара , две равные, но противоположные силы, для которых величина чистой силы равна нулю, но они создают чистый крутящий момент. $\scriptstyle \tau =Fd$ где $\scriptstyle d$ расстояние между линиями их применения. Это «чистый» крутящий момент, поскольку результирующей силы нет.

Связанный вектор

Сила, приложенная к телу, имеет точку приложения. Действие силы различно для разных точек приложения. По этой причине силу называют связанным вектором , что означает, что она привязана к точке приложения.

Силы, приложенные в одной и той же точке, можно суммировать, чтобы получить одинаковое воздействие на тело. Однако силы с разными точками приложения не могут суммироваться и оказывать одинаковое воздействие на организм.

Изменить точку приложения силы несложно, приложив равные и противоположные силы в двух разных точках приложения, которые создают чистый крутящий момент на теле. Таким образом, все силы, действующие на тело, могут быть перенесены в одну и ту же точку приложения с соответствующими крутящими моментами.

Система сил, действующих на твердое тело, объединяется путем перемещения сил к одной и той же точке приложения и вычисления соответствующих крутящих моментов. Сумма этих сил и моментов дает результирующую силу-момент.

Сопутствующий крутящий момент

выбрана точка R Если в качестве точки приложения равнодействующей силы F системы n сил F _, то соответствующий крутящий момент Т определяется по формулам

$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},$

и

$\mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i}.$

Полезно отметить, что точка приложения R силы может находиться где угодно на линии действия F результирующей без изменения значения соответствующего крутящего момента. Чтобы увидеть это, добавьте вектор k F к точке приложения R при расчете соответствующего крутящего момента:

$\mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-(\mathbf {R} +k\mathbf {F} ))\times \mathbf {F} _{i}.$

Правую часть этого уравнения можно разделить на исходную формулу для T плюс дополнительный член, включающий k F ,

$\mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i}-\sum _{i=1}^{n}k\mathbf {F} \times \mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},$

потому что второй член равен нулю. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что F — это сумма векторов F _i , что дает

$\sum _{i=1}^{n}k\mathbf {F} \times \mathbf {F} _{i}=k\mathbf {F} \times (\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i})=0,$

таким образом, значение соответствующего крутящего момента не меняется.

Результат без крутящего момента

Полезно рассмотреть, существует ли точка приложения R, в которой связанный с ней крутящий момент равен нулю. Эта точка определяется свойством

$\mathbf {R} \times \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i},$

где F — результирующая сила, а F _i образуют систему сил.

Обратите внимание, что это уравнение для R имеет решение только в том случае, если сумма отдельных крутящих моментов в правой части дает вектор, перпендикулярный F . Таким образом, условие наличия равнодействующей системы сил без крутящего момента можно записать как

$\mathbf {F} \cdot (\sum _{i=1}^{n}\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i})=0.$

Если это условие выполняется, то существует точка приложения равнодействующей, которая приводит к возникновению чистой силы. Если это условие не выполняется, то в систему сил входит чистый крутящий момент для каждой точки приложения.

гаечный ключ

Силы и крутящие моменты, действующие на твердое тело, можно объединить в пару векторов, называемую гаечным ключом . Если система сил и моментов имеет результирующую силу F и результирующий момент T , то всю систему можно заменить силой F и произвольно расположенной парой, дающей крутящий T. момент В общем, если F и T ортогональны, можно получить радиальный вектор R такой, что $\mathbf {R} \times \mathbf {F} =\mathbf {T}$, что означает, что единственная сила F , действующая при смещении R , может заменить систему. Если система имеет нулевую силу (только крутящий момент), она называется винтом и математически формулируется как теория винта .

Результирующая сила и крутящий момент, действующие на твердое тело, полученные из системы сил Fi _i =1,...,n, представляют собой просто сумму отдельных ключей Wi _, то есть

${\mathsf {W}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).$

Обратите внимание, что случай двух равных, но противоположных сил F и -F, действующих в точках A и B соответственно, дает результат W=( F - F , A × F - B × F ) = (0, ( A - B )× Ф ). Это показывает, что ключи вида W=(0, T ) можно интерпретировать как чистые крутящие моменты.

Источники

• Харди, Э. (1904). Элементарные начала графической статики . БТ Бэтсфорд . Проверено 2 февраля 2024 г.