Пара (механика)

В механике пара , — это система сил с результирующим (он же чистым или суммарным) моментом силы но без результирующей силы. ^[1]

Более описательный термин — пара сил или чистый момент . Его эффект заключается в передаче углового момента, но не линейного момента . В динамике твердого тела пары сил являются свободными векторами , то есть их воздействие на тело не зависит от точки приложения.

Результирующий момент пары — это частный случай момента. Пара обладает тем свойством, что она не зависит от точки отсчета.

Простая парочка [ править ]

Определение

Пара — это пара сил, равных по величине, противоположно направленных и смещенных на перпендикулярное расстояние или момент.

Простейшая пара состоит из двух равных и противоположных сил которых , линии действия не совпадают. Это называется «простая пара». ^[1]Силы оказывают вращающий эффект или момент, называемый крутящим моментом , вокруг оси, которая нормальна (перпендикулярна) плоскости сил. Единица СИ для крутящего момента пары — ньютон-метр .

Если две силы равны $F$ и $- F$ , то величина крутящего момента определяется по следующей формуле:

\tau =Fd

где

$\tau$ это момент пары
$F$ - величина силы
$d$ - перпендикулярное расстояние (момент) между двумя параллельными силами.

Величина крутящего момента равна $F • d$ , причем направление крутящего момента задается единичным вектором ${\hat {e}}$ , который перпендикулярен плоскости, содержащей две силы, и положительный, являющийся парой против часовой стрелки. Если $d$ принимается как вектор между точками действия сил, то крутящий момент представляет собой произведение d $и$ F $векторное$ , т.е.

\mathbf {\tau } =|\mathbf {d} \times \mathbf {F} |.

Независимость от контрольной точки [ править ]

Момент силы определяется только по отношению к определенной точке $P$ (его называют «моментом относительно $P$ ») и, вообще, при $изменении P$ момент меняется. Однако момент (крутящий момент) пары не зависит от опорной точки $P$ : любая точка будет давать один и тот же момент. ^[1]Другими словами, пара, в отличие от любых более общих моментов, является «свободным вектором». (Этот факт называется . теоремой Вариньона о втором моменте ) ^[2]

Доказательство этого утверждения следующее: предположим, что существует набор векторов сил $F 1$ , $F 2$ и т. д., которые образуют пару с векторами положения (около некоторого начала координат $P$ ), $r 1$ , $r 2$ и т. д. соответственно. . Момент $P$ о

M=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots

Теперь мы выбираем новую опорную точку $P'$ , которая отличается от $P$ вектором $r$ . Новый момент — это

M'=(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{2}+\cdots

Теперь из распределительного свойства векторного произведения следует

M'=\left(\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots \right)+\mathbf {r} \times \left(\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots \right).

Однако определение пары сил означает, что

\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots =0.

Поэтому,

M'=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots =M

Это доказывает, что момент не зависит от точки отсчета, что является доказательством того, что пара является свободным вектором.

Силы и пары [ править ]

Сила F , приложенная к твердому телу на расстоянии d от центра масс, оказывает такое же действие, как и та же сила, приложенная непосредственно к центру масс и паре Cℓ = Fd . Пара создает угловое ускорение твердого тела под прямым углом к плоскости пары. ^[3]Сила в центре масс ускоряет тело в направлении действия силы без изменения ориентации. Общие теоремы таковы: ^[3]

Одну силу, действующую в любой точке O' твердого тела, можно заменить равной и параллельной силой F , действующей в любой данной точке O , и парой сил, параллельных F , момент которых равен M = Fd , d - это расстояние между O и О' . И наоборот, пару и силу в плоскости пары можно заменить одной силой, расположенной соответствующим образом.

Любая пара может быть заменена другой в той же плоскости того же направления и момента, имеющей любую желаемую силу и любое желаемое плечо. ^[3]

Приложения [ править ]

Пары очень важны в машиностроении и физических науках. Вот несколько примеров:

Силы, действующие рукой на отвертку
Силы, действующие кончиком отвертки на головку винта.
Силы сопротивления, действующие на вращающийся винт
Силы, действующие на электрический диполь в однородном электрическом поле.
Система управления реакцией на космическом корабле.
Сила воздействия рук на рулевое колесо .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Динамика, теория и приложения Т.Р. Кейна и Д.А. Левинсона, 1985, стр. 90–99: скачать бесплатно.
^ Инженерная механика: равновесие , К. Харцуйкер, Дж. Веллеман, стр. 64. Веб-ссылка.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Огюст Джей Дюбуа (1902). Механика техники, Том . Уайли. п. 186 .

Х. Ф. Гирвин (1938) Прикладная механика , §28 Пары, стр. 33,4, Скрэнтон, Пенсильвания: Международная компания по производству учебников.

[Kane-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Динамика, теория и приложения Т.Р. Кейна и Д.А. Левинсона, 1985, стр. 90–99: скачать бесплатно.

[2] Инженерная механика: равновесие , К. Харцуйкер, Дж. Веллеман, стр. 64. Веб-ссылка.

[DuBois-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Огюст Джей Дюбуа (1902). Механика техники, Том . Уайли. п. 186 .

[1]

[2]

[3]