Законы движения Эйлера

В классической механике законы движения Эйлера представляют собой уравнения движения , которые расширяют законы движения Ньютона для точечных частиц до движения твердого тела . ^{[ 1 ]} Они были сформулированы Леонардом Эйлером примерно через 50 лет после того, как Исаак Ньютон сформулировал свои законы.

Обзор

первый закон Эйлера

Первый закон Эйлера гласит, что скорость изменения импульса $p$ твердого тела равна равнодействующей всех внешних сил $F ext,$ действующих на тело: ^{[ 2 ]}

F_{\text{ext}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}.

Внутренние силы между частицами, составляющими тело, не способствуют изменению импульса тела, поскольку существует равная и противоположная сила, не приводящая к общему эффекту. ^{[ 3 ]}

Импульс твердого тела есть произведение массы тела на скорость его центра масс $v см$ . ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

второй закон Эйлера

Второй закон Эйлера гласит, что скорость изменения углового момента $L$ относительно точки, неподвижной в инерциальной системе отсчета (часто центра масс тела), равна сумме внешних моментов сил ( моментов ), действующих на этом теле $М$ об этом пункте: ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

\mathbf {M} ={d\mathbf {L}  \over dt}.

Обратите внимание, что приведенная выше формула справедлива только в том случае, если и $M,$ и $L$ вычисляются относительно фиксированной инерциальной системы отсчета или системы, параллельной инерциальной системе отсчета, но фиксированной в центре масс. Для твердых тел, перемещающихся и вращающихся только в двух измерениях, это можно выразить как: ^{[ 6 ]}

\mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}}m+I{\boldsymbol {\alpha }},

где:

$r см$ — вектор положения центра масс тела относительно точки, относительно которой суммируются моменты,
$а см$ — линейное ускорение центра масс тела,
$m$ – масса тела,
$α$ — угловое ускорение тела,
$I$ — момент инерции тела относительно его центра масс.

См. также уравнения Эйлера (динамика твердого тела) .

Объяснение и вывод

Распределение внутренних сил в деформируемом теле не обязательно одинаково повсюду, т.е. напряжения изменяются от одной точки к другой. Это изменение внутренних сил по всему телу регулируется вторым законом Ньютона о сохранении линейного момента и углового момента , который в простейшем случае применяется к частице массы, но в механике сплошной среды распространяется на тело с непрерывно распределенной массой. Для сплошных тел эти законы называются законами движения Эйлера . ^{[ 7 ]}

Общая сила тела, приложенная к сплошному телу с массой $m$ , плотностью массы $ρ$ и объемом $V$ , представляет собой объемный интеграл , проинтегрированный по объему тела:

\mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV

где $b$ — сила, действующая на тело на единицу массы ( размеры ускорения, ошибочно называемые «массовой силой»), а $dm = ρ dV$ — бесконечно малый элемент массы тела.

Объемные силы и контактные силы, действующие на тело, приводят к соответствующим моментам ( крутящим моментам ) этих сил относительно данной точки. Таким образом, общий приложенный крутящий момент $M$ относительно начала координат определяется выражением

\mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}

где $M B$ и $MC соответственно обозначают моменты ,$ вызванные корпусной и контактной силами.

Таким образом, сумму всех приложенных сил и моментов (относительно начала системы координат), действующих на тело, можно представить как сумму объемного и поверхностного интеграла :

\mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV

\mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.

где $t = t (n)$ называется поверхностной тягой , интегрированной по поверхности тела, в свою очередь $n$ обозначает единичный вектор, и направленный наружу к поверхности $S.$ нормаль

Пусть система координат $(x 1, x 2, x 3)$ — инерциальная система отсчета , $r$ — вектор положения точечной частицы в сплошном теле относительно начала системы координат, а $v = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ d r / dt ⁠$ — вектор скорости этой точки.

Первая аксиома или закон Эйлера (закон баланса импульсов или баланса сил) гласит, что в инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса $p$ произвольной части сплошного тела равна суммарной приложенной силе $F,$ действующей на эту часть, и она выражается как

{\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}&=\mathbf {F} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}

Вторая аксиома или закон Эйлера (закон баланса угловых моментов или баланса крутящих моментов) гласит, что в инерциальной системе отсчета скорость изменения углового момента $L$ произвольной части сплошного тела равна суммарному приложенному крутящему моменту $M,$ действующему на эту часть, и она выражается как

{\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {M} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}

где $\mathbf {v}$ это скорость, $V$ объем, а производные $p$ и $L$ являются материальными производными .

См. также

Список тем, названных в честь Леонарда Эйлера
Законы Эйлера вращения твердого тела
Уравнения движения Ньютона – Эйлера с 6 компонентами, объединяющие два закона Эйлера в одно уравнение.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с МакГилл и Кинг (1995). Инженерная механика, Введение в динамику (3-е изд.). Издательская компания ПВС. ISBN 0-534-93399-8 .
^ Уравнения движения твердого тела. Проверено 6 июня 2021 г.
^ Грей, Гэри Л.; Костанцо, Плеша (2010). Инженерная механика: Динамика . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-282871-9 .
^ Jump up to: ^а ^б Законы движения Эйлера . Проверено 30 марта 2009 г.
^ Jump up to: ^а ^б Рао, Анил Витала (2006). Динамика частиц и твердых тел . Издательство Кембриджского университета. п. 355. ИСБН 978-0-521-85811-3 .
^ Руина, Энди; Рудра Пратап (2002). Введение в статику и динамику (PDF) . Издательство Оксфордского университета. п. 771 . Проверено 18 октября 2011 г.
^ Люблинер, Джейкоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренная ред.). Дуврские публикации. стр. 27–28. ISBN 978-0-486-46290-5 . Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 г.

[McGillKing-1] Jump up to: ^а ^б ^с МакГилл и Кинг (1995). Инженерная механика, Введение в динамику (3-е изд.). Издательская компания ПВС. ISBN 0-534-93399-8 .

[2] Уравнения движения твердого тела. Проверено 6 июня 2021 г.

[Gray-3] Грей, Гэри Л.; Костанцо, Плеша (2010). Инженерная механика: Динамика . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-282871-9 .

[BookRags-4] Jump up to: ^а ^б Законы движения Эйлера . Проверено 30 марта 2009 г.

[Rao-5] Jump up to: ^а ^б Рао, Анил Витала (2006). Динамика частиц и твердых тел . Издательство Кембриджского университета. п. 355. ИСБН 978-0-521-85811-3 .

[6] Руина, Энди; Рудра Пратап (2002). Введение в статику и динамику (PDF) . Издательство Оксфордского университета. п. 771 . Проверено 18 октября 2011 г.

[Lubliner-7] Люблинер, Джейкоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренная ред.). Дуврские публикации. стр. 27–28. ISBN 978-0-486-46290-5 . Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]