Баланс углового момента

Баланс углового момента или второй закон Эйлера в классической механике — это закон физики , утверждающий, что для изменения углового момента тела крутящий момент необходимо приложить к нему .

Пример использования — игровая карусель на фото. Чтобы привести его во вращение, его нужно толкнуть. Технически создается крутящий момент, который передает угловой момент карусели. Однако крутящий момент сил трения в подшипнике и сопротивление создают крутящий момент сопротивления, который постепенно уменьшает угловой момент и в конечном итоге останавливает вращение.

Математическая формулировка гласит, что скорость изменения ${\dot {\vec {L}}}_{c}$ углового момента ${\vec {L}}_{c}$ о точке ${\vec {c}}$ , равен сумме внешних моментов ${\vec {M}}_{c}$ воздействуя на это тело относительно этой точки:

${\vec {M}}_{c}={\dot {\vec {L}}}_{c}$

Суть ${\vec {c}}$ — неподвижная точка в инерциальной системе или центр масс тела. В частном случае, когда внешние вращающие моменты исчезают, это показывает, что угловой момент сохраняется. Сила Даламбера , противодействующая изменению углового момента, проявляется как гироскопический эффект .

Из баланса угловых моментов следует равенство соответствующих касательных напряжений или симметрия тензора напряжений Коши . То же самое следует из аксиомы Больцмана , согласно которой внутренние силы в континууме не имеют крутящего момента. ^{[ 1 ]} Таким образом, баланс углового момента, симметрия тензора напряжений Коши и аксиома Больцмана в механике сплошной среды являются связанными терминами.

Особенно в теории волчка баланс углового момента играет решающую роль. В механике сплошных сред он служит для точного определения кососимметричной части тензора напряжений. ^{[ 2 ]}

Баланс углового момента, помимо законов Ньютона , является фундаментальным и независимым принципом и был впервые введен как таковой швейцарским математиком и физиком Леонардом Эйлером в 1775 году. ^{[ 2 ]}

История

Швейцарский математик Якоб I Бернулли применил баланс углового момента в 1703 году – не формулируя его явно – чтобы найти центр колебаний маятника, что он уже сделал первым, несколько неправильным способом в 1686 году. Баланс углового момента, таким образом, предшествовал законам Ньютона, которые были впервые опубликованы в 1687 году. ^{[ 2 ]}

В 1744 году Эйлер первым использовал принципы количества движения и момента количества движения для формулировки уравнений движения системы. В 1750 году в трактате «Открытие нового принципа механики» ^{[ 3 ]} он опубликовал уравнения динамики твердого тела Эйлера , которые сегодня выводятся из баланса угловых моментов, который Эйлер, однако, мог вывести для твердого тела из второго закона Ньютона . После изучения плоских упругих континуумов, необходимых для баланса моментов, Эйлер в 1775 году возвел баланс угловых моментов в самостоятельный принцип для расчета движения тел. ^{[ 2 ]}

В 1822 году французский математик Огюстен-Луи Коши ввёл тензор напряжений, симметрия которого в сочетании с балансом моментов количества движения обеспечивала выполнение баланса моментов количества движения в общем случае деформируемого тела. Интерпретация ${\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}$ Баланс углового момента был впервые отмечен депутатом Сен-Гильемом в 1851 году. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Кинетика вращения

Кинетика имеет дело с состояниями, которые не находятся в механическом равновесии. Согласно второму закону Ньютона, внешняя сила приводит к изменению скорости ( ускорения ) тела. Аналогично внешний крутящий момент означает изменение угловой скорости, приводящее к угловому ускорению . Инерция вращения зависит не только от массы тела, но и от его пространственного распределения. У твердого тела это выражается моментом инерции . При вращении вокруг неподвижной оси крутящий момент пропорционален угловому ускорению, а момент инерции является коэффициентом пропорциональности . Здесь следует отметить, что момент инерции зависит не только от положения оси вращения (см. Теорему Штейнера ), но и от ее направления. Если приведенный выше закон сформулировать в более общем виде для любой оси вращения, то тензор инерции необходимо использовать .

В двумерном частном случае крутящий момент приводит только к ускорению или замедлению вращения. Однако в общем трехмерном случае он также может изменить направление оси ( прецессия ).

Составы

В динамике твердого тела баланс углового момента приводит к уравнениям Эйлера .
В механике сплошной среды баланс углового момента приводит ко второму закону движения Коши , который утверждает симметрию тензора напряжений Коши. Аксиома Больцмана имеет то же следствие.

Аксиома Больцмана

В 1905 году австрийский физик Людвиг Больцман указал, что при разложении тела на бесконечно меньшие по объему элементы внутренние реакции должны удовлетворять всем статическим условиям механического равновесия . Теорема о напряжении Коши рассматривает равновесие с точки зрения силы. Для аналогичного утверждения относительно крутящего момента немецкий математик Георг Гамель придумал название «Аксиома Больцмана» . ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Эта аксиома эквивалентна симметрии тензора напряжений Коши. Поскольку результирующие напряжения не оказывают крутящего момента на объемный элемент, результирующая сила должна проходить через центр объемного элемента. Линия действия сил инерции и равнодействующих нормальных напряжений σ _xx ·dy и σ _yy ·dx проходят через центр объемного элемента. Для того, чтобы результирующие напряжения сдвига τ _xy ·dy и τ _yx ·dx проходили через центр элемента объема

{\frac {\tau _{xy}\mathrm {d} y}{\tau _{yx}\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\quad \rightarrow \quad \tau _{yx}=\tau _{xy}

должен держаться. Фактически это утверждение о равенстве соответствующих касательных напряжений в плоскости xy .

Он начал Континуум

В дополнение к классическому континууму без крутящего момента с симметричным тензором напряжений также были определены континуумы Коссера (полярные континуумы), которые не лишены крутящего момента. ^{[ 8 ]} Одним из применений такого континуума является теория оболочек . Континуумы Коссера способны переносить не только поток импульса, но и поток углового момента. Следовательно, внутри тела также могут существовать источники импульса и момента импульса. Здесь аксиома Больцмана не применима, и тензор напряжений может быть кососимметричным. ^{[ 9 ]}

Если с этими потоками обращаться, как обычно в механике сплошной среды, возникают уравнения поля , в которых кососимметричная часть тензора напряжений не имеет энергетического значения. Баланс углового момента становится независимым от баланса энергии и используется для определения кососимметричной части тензора напряжений. Американский математик Клиффорд Трусделл видел в этом «истинный основной смысл второго закона Эйлера». ^{[ 2 ]}

Правило области

Правило площадей является следствием закона углового момента в форме: Результирующий момент равен произведению удвоенной массы и производной по времени поверхностной скорости . ^{[ 10 ]}

Речь идет о луче ${\vec {r}}$ в точку массой m . Он имеет угловой момент со скоростью ${\dot {\vec {r}}}$ и импульс ${\vec {p}}=m{\dot {\vec {r}}}$

{\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}=m{\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}=m{\vec {r}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} t

.

За бесконечно малое время d t траектория проходит по треугольнику, содержимое которого равно $\mathrm {d} {\vec {A}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {r}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}$ , см. изображение, воздушную скорость и векторное произведение «×» . Вот как это получается:

{\vec {L}}=m{\vec {r}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} t=2m\,\mathrm {d} {\vec {A}}/\mathrm {d} t=2m{\dot {\vec {A}}}

.

Согласно второму закону Эйлера это выглядит следующим образом:

{\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}=2m{\ddot {\vec {A}}}

.

Особый случай плоского, безмоментного движения центральной силы рассматривается вторым законом Кеплера , также известным как правило площадей .

Ссылки

^ Иштван Сабо (1977), История механических принципов и их наиболее важных применений (на немецком языке), Базель: Springer, стр. 22ff, doi : 10.1007/978-3-0348-5998-1 , ISBN 978-3-0348-5998-1 , получено 10 апреля 2022 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Клиффорд Трусделл (1964), «Развитие теоремы о вращении» , Журнал прикладной математики и механики (на немецком языке), 44 (4/5), Общество прикладной математики и механики : 149–158, doi : 10.1002/zamm. 19640440402 , получено 10 апреля 2022 г.
^ Леонхард Эйлер (1752) [1750], «Открытие нового принципа механики» , Мемуары Берлинской академии наук (на французском языке), Берлин: Берлинско-Бранденбургская академия наук и гуманитарных наук : 185–217 , получено в 2022–2004 гг. -10
^ Феликс Кляйн ; Конр. Мюллер, ред. (1908), Энциклопедия математических наук, включая их приложения, Механика (на немецком языке), том. 4, Лейпциг: Springer Fachmedien, стр. 581ff, doi : 10.1007/978-3-663-16021-2 , ISBN 978-3-663-16021-2
^ Член парламента Гильем (1851 г.), Жозеф Лиувиль (редактор), «Новое исследование теории сил» , Журнал чистой и прикладной математики (на французском языке), XVI , Париж: Башелье: 347–374 , получено 11 февраля 2020 г. , см. также Кляйн и Мюллер (1908), с. 587.
^ Георг Гамель (1912), Элементарная механика, Учебник (на немецком языке), Лейпциг и Берлин: Б. Г. Тойбнер, стр. 326 , получено 10 апреля 2022 г.
^ Райнер Тимейер (2016), Аксиомы классической механики, Проблема Гильберта и попытка решения Гамеля в философской перспективе (на немецком языке), Берлин: издательство Logos, стр. 166, ISBN 978-3-8325-4292-4 , получено 10 апреля 2022 г.
^ Клиффорд Трусделл ; Уолтер Нолл ; Стюарт Антман (2004), Нелинейные теории поля в механике , том. 3, Берлин, Гейдельберг: Springer Science & Business Media, стр. 389 и далее, ISBN 978-3-540-02779-9 , получено 10 апреля 2022 г.
^ Р. А. Тупен (1964), «Теории упругости с парным напряжением» , Архив Rational Mechanics and Analysis , 17 (2), Springer-издатель: 85–112, Бибкод : 1964ArRMA..17...85T , doi : 10.1007 /BF00253050 , ISSN 0003-9527 , S2CID 54022483 , получено 10 апреля 2022 г.
^ Карл-Генрих Гроте, Йорг Фельдхузен, изд. (2014), Дуббель. Мягкая обложка для машиностроения (на немецком языке), Берлин, Гейдельберг: издательство Springer Vieweg, стр. B27, номер домена : 10.1007/978-3-642-38891-0 , ISBN. 978-3-642-38891-0 , получено 10 апреля 2022 г.

[szabo-1] Иштван Сабо (1977), История механических принципов и их наиболее важных применений (на немецком языке), Базель: Springer, стр. 22ff, doi : 10.1007/978-3-0348-5998-1 , ISBN 978-3-0348-5998-1 , получено 10 апреля 2022 г.

[truesdell-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Клиффорд Трусделл (1964), «Развитие теоремы о вращении» , Журнал прикладной математики и механики (на немецком языке), 44 (4/5), Общество прикладной математики и механики : 149–158, doi : 10.1002/zamm. 19640440402 , получено 10 апреля 2022 г.

[3] Леонхард Эйлер (1752) [1750], «Открытие нового принципа механики» , Мемуары Берлинской академии наук (на французском языке), Берлин: Берлинско-Бранденбургская академия наук и гуманитарных наук : 185–217 , получено в 2022–2004 гг. -10

[staeckel-4] Феликс Кляйн ; Конр. Мюллер, ред. (1908), Энциклопедия математических наук, включая их приложения, Механика (на немецком языке), том. 4, Лейпциг: Springer Fachmedien, стр. 581ff, doi : 10.1007/978-3-663-16021-2 , ISBN 978-3-663-16021-2

[guilhem-5] Член парламента Гильем (1851 г.), Жозеф Лиувиль (редактор), «Новое исследование теории сил» , Журнал чистой и прикладной математики (на французском языке), XVI , Париж: Башелье: 347–374 , получено 11 февраля 2020 г. , см. также Кляйн и Мюллер (1908), с. 587.

[hamel-6] Георг Гамель (1912), Элементарная механика, Учебник (на немецком языке), Лейпциг и Берлин: Б. Г. Тойбнер, стр. 326 , получено 10 апреля 2022 г.

[tiemeyer-7] Райнер Тимейер (2016), Аксиомы классической механики, Проблема Гильберта и попытка решения Гамеля в философской перспективе (на немецком языке), Берлин: издательство Logos, стр. 166, ISBN 978-3-8325-4292-4 , получено 10 апреля 2022 г.

[cosserat-8] Клиффорд Трусделл ; Уолтер Нолл ; Стюарт Антман (2004), Нелинейные теории поля в механике , том. 3, Берлин, Гейдельберг: Springer Science & Business Media, стр. 389 и далее, ISBN 978-3-540-02779-9 , получено 10 апреля 2022 г.

[toupin-9] Р. А. Тупен (1964), «Теории упругости с парным напряжением» , Архив Rational Mechanics and Analysis , 17 (2), Springer-издатель: 85–112, Бибкод : 1964ArRMA..17...85T , doi : 10.1007 /BF00253050 , ISSN 0003-9527 , S2CID 54022483 , получено 10 апреля 2022 г.

[dubbel-10] Карл-Генрих Гроте, Йорг Фельдхузен, изд. (2014), Дуббель. Мягкая обложка для машиностроения (на немецком языке), Берлин, Гейдельберг: издательство Springer Vieweg, стр. B27, номер домена : 10.1007/978-3-642-38891-0 , ISBN. 978-3-642-38891-0 , получено 10 апреля 2022 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]