Пропорциональность (математика)

В математике две последовательности чисел, часто экспериментальные данные , пропорциональны или прямо пропорциональны, если их соответствующие элементы имеют постоянное соотношение . Это соотношение называется коэффициентом пропорциональности (или константой пропорциональности ), а обратная ему величина известна как константа нормализации (или константа нормализации ). Две последовательности обратно пропорциональны , если соответствующие элементы имеют постоянное произведение, также называемое коэффициентом пропорциональности.

Это определение обычно распространяется на связанные переменные величины, которые часто называют переменными . Это значение переменной не является общепринятым значением этого термина в математике (см. переменная (математика) ); эти две разные концепции имеют одно и то же название по историческим причинам.

Две функции $f(x)$ и $g(x)$ пропорциональны , если их соотношение ${\textstyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$ является постоянной функцией .

Если несколько пар переменных имеют одну и ту же константу прямой пропорциональности, уравнение, выражающее равенство этих отношений, называется пропорцией , например: $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ a / b ⁠ = ⁠ x / y ⁠ = ⋯ = k$ (подробнее см. Соотношение ).Пропорциональность тесно связана с линейностью .

Прямая пропорциональность

Учитывая независимую переменную x и зависимую переменную y , y пропорциональна прямо x . ^[1] если существует положительная константа k такая, что:

y=kx

Отношение часто обозначается с помощью символов «∝» (не путать с греческой буквой альфа ) или «~», за исключением японских текстов, где «~» зарезервировано для интервалов:

y\propto x

(или

y\sim x

)

Для $x\neq 0$ константу пропорциональности можно выразить как соотношение:

k={\frac {y}{x}}

Ее еще называют константой вариации или константой пропорциональности . При такой константе k пропорциональности отношение ∝ с константой пропорциональности k между двумя множествами A и B является отношением эквивалентности, определяемым формулой $\{(a,b)\in A\times B:a=kb\}.$

Прямую пропорциональность также можно рассматривать как линейное уравнение с двумя переменными с y точкой пересечения равной $0$ , и наклоном k , > 0, что соответствует линейному росту .

Примеры

Если объект движется с постоянной скоростью , то пройденное расстояние прямо пропорционально времени , затраченному на перемещение, причем скорость является константой пропорциональности.
Длина прямо окружности π пропорциональна ее диаметру причем константа пропорциональности равна $,$ .
На карте достаточно небольшой географической области, нарисованной в масштабе расстояний, расстояние между любыми двумя точками на карте прямо пропорционально расстоянию по прямой между двумя местоположениями, представленными этими точками; константой пропорциональности является масштаб карты.
Сила силы , действующая на небольшой объект с небольшой массой со стороны близлежащей большой протяженной массы из-за тяжести , прямо пропорциональна массе объекта; константа пропорциональности между силой и массой известна как гравитационное ускорение .
Чистая сила, действующая на объект, пропорциональна ускорению этого объекта относительно инерциальной системы отсчета. Константа пропорциональности во втором законе Ньютона — это классическая масса объекта.

Обратная пропорциональность

Две переменные обратно пропорциональны (также называемые изменяющимися обратно пропорционально , в обратном изменении , в обратной пропорции ) ^[2] если каждая из переменных прямо пропорциональна мультипликативной обратной (обратной) величине другой или, что то же самое, если их произведение является константой. ^[3] Отсюда следует, что переменная y обратно пропорциональна переменной x, если существует ненулевая константа k такая, что

y={\frac {k}{x}}

или эквивалентно, $xy=k$ . Следовательно, константа « k » является произведением x и y .

График двух переменных, обратно изменяющихся на декартовой координатной плоскости, представляет собой прямоугольную гиперболу . Произведение значений x и y каждой точки кривой равно константе пропорциональности ( k ). Поскольку ни x, ни y не могут равняться нулю (поскольку k не равно нулю), график никогда не пересекает ни одну из осей.

Прямая и обратная пропорциональность контрастируют следующим образом: в прямой зависимости переменные увеличиваются или уменьшаются вместе. При обратной пропорциональности увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. Например, в путешествии постоянная скорость определяет прямую пропорцию между расстоянием и пройденным временем; напротив, для заданного расстояния (константы) время путешествия обратно пропорционально скорости: s × t = d .

Гиперболические координаты

Понятия прямой и обратной пропорциональности приводят к расположению точек на декартовой плоскости по гиперболическим координатам ; две координаты соответствуют константе прямой пропорциональности, указывающей, что точка находится на определенном луче , и константе обратной пропорциональности, указывающей, что точка находится на определенной гиперболе .

Компьютерное кодирование

Символы Юникода , обозначающие пропорциональность, следующие:

U+221D ∝ ПРОПОРЦИОНАЛЬНО ( &prop;, &Proportional;, &propto;, &varpropto;, &vprop; )
U+007E ~ ТИЛЬДА
U + 2237 ∷ ПРОПОРЦИЯ
U + 223C ∼ ОПЕРАТОР ТИЛЬДА ( &sim;, &thicksim;, &thksim;, &Tilde; )
U + 223A ∺ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ ( &mDDот; )

См. также

Рост

Примечания

^ Вайсштейн, Эрик В. «Прямо пропорционально» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.
^ «Обратная вариация» . math.net . Проверено 31 октября 2021 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Обратно пропорционально» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.

Ссылки

Я. Б. Зельдович, И. М. Яглом : Высшая математика для начинающих , с. 34–35 .
Брайан Баррелл: Руководство Merriam-Webster по повседневной математике: справочник по дому и бизнесу . Мерриам-Вебстер, 1998 г., ISBN 9780877796213 , с. 85–101 .
Ланиус, Синтия С.; Уильямс Сьюзен Э.: ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ: объединяющая тема для средних классов . Преподавание математики в средней школе 8.8 (2003), с. 392–396.
Сили, Кэти; Шилак Джейн Ф.: Взгляд на развитие коэффициентов, ставок и пропорциональности . Преподавание математики в средней школе, 13.3, 2007, с. 140–142.
Ван Доорен, Вим; Де Бок Дирк; Эверс Марлин; Вершаффель Ливен: Чрезмерное использование студентами принципа пропорциональности при решении задач с пропущенными значениями: как числа могут изменить решения . Журнал исследований в области математического образования, 40.2, 2009 г., стр. 187–211.

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Прямо пропорционально» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.

[2] «Обратная вариация» . math.net . Проверено 31 октября 2021 г.

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Обратно пропорционально» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.

[1]

[2]

[3]