Гиперболические координаты

Гиперболические координаты, нанесенные на евклидову плоскость: все точки на одном синем луче имеют одно и то же значение координаты u , а все точки на одной красной гиперболе имеют одно и то же значение координаты v .

В математике . гиперболические координаты — метод расположения точек в I квадранте декартовой плоскости

$\{(x,y)\ :\ x>0,\ y>0\ \}=Q$.

Гиперболические координаты принимают значения в гиперболической плоскости, определяемой как:

$HP=\{(u,v):u\in \mathbb {R} ,v>0\}$.

координаты в HP полезны для изучения логарифмических сравнений прямой пропорциональности Q Эти и измерения отклонений от прямой пропорциональности.

Для $(x,y)$ в $Q$ брать

$u=\ln {\sqrt {\frac {x}{y}}}$

и

$v={\sqrt {xy}}$.

Параметр u — это гиперболический угол к ( x, y ), а v — среднее геометрическое x и y .

Обратное отображение

$x=ve^{u},\quad y=ve^{-u}$.

Функция $Q\rightarrow HP$ является непрерывным отображением , но не аналитической функцией .

метрика

Поскольку HP несет в себе метрического пространства структуру модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии , биективное соответствие $Q\leftrightarrow HP$ переносит эту структуру Q. в Это можно понять, используя понятие гиперболических движений . Поскольку геодезические в HP представляют собой полукруги с центрами на границе, то геодезические в Q получаются из соответствия и оказываются лучами из начала координат или лепестковыми выходящими кривыми, и вновь входящими в начало координат. А гиперболическое движение HP , заданное сдвигом влево-вправо, соответствует отображению сжатия, примененному к Q .

Поскольку гиперболы в Q соответствуют прямым, параллельным границе HP , они являются орициклами в метрической Q. геометрии

Если рассматривать только евклидову топологию плоскости и топологию, унаследованную Q , то линии, ограничивающие Q, близкими к Q. кажутся Взгляд из метрического пространства HP показывает, что открытое множество Q имеет только начало координат в качестве границы, если рассматривать его через соответствие. Действительно, рассмотрим лучи из начала координат в Q и их образы — вертикальные лучи из границы R области HP . Любая точка в HP находится на бесконечном расстоянии от точки p у основания перпендикуляра к R , но последовательность точек на этом перпендикуляре может стремиться в направлении p . Соответствующая последовательность в Q стремится вдоль луча к началу координат. Старая евклидова граница Q больше не актуальна.

физике

Фундаментальные физические переменные иногда связаны уравнениями вида k = xy . Например, V = IR ( закон Ома ), P = VI ( электрическая мощность ), PV = k T ( закон идеального газа ) и f λ = v (отношение длины волны , частоты и скорости в волновой среде). Когда k постоянно, другие переменные лежат на гиперболе, которая является орициклом в соответствующем Q- квадранте.

Например, в термодинамике изотермический процесс явно следует гиперболическому пути, и работу можно интерпретировать как изменение гиперболического угла. Точно так же данная масса M газа с изменяющимся объемом будет иметь переменную плотность δ = M/V , а закон идеального газа можно записать P = k T δ, так что изобарический процесс прослеживает гиперболу в квадранте абсолютной температуры и газа. плотность.

О гиперболических координатах в теории относительности см. раздел «История» .

Статистические приложения

• Сравнительное исследование плотности населения в квадранте начинается с выбора эталонной страны, региона или городской территории, население и площадь которой принимаются за точку (1,1).
• Анализ выборного представительства регионов в представительной демократии начинается с выбора эталона для сравнения: конкретной представленной группы, численность и списочная численность (представителей) которой находятся на уровне (1,1) в квадранте.

приложения

Существует множество естественных применений гиперболических координат в экономике :

• Анализ колебаний курса валют :
  Наборы единиц валюты $x=1$. Валюта цены соответствует $y$. Для
  $$0<y<1$$
  мы находим $u>0$, положительный гиперболический угол. Для колебания возьмите новую цену
  $$0<z<y.$$
  Тогда изменение u составит:
  $$\Delta u=\ln {\sqrt {\frac {y}{z}}}.$$
  Количественная оценка колебаний обменного курса с помощью гиперболического угла обеспечивает объективную, симметричную и последовательную меру . Количество $\Delta u$ — это длина сдвига влево-вправо в представлении гиперболического движения колебания валюты.
• Анализ инфляции или дефляции цен корзины потребительских товаров .
• Количественная оценка изменения рыночной доли в дуополии .
• Дробление корпоративных акций в сравнении с выкупом акций.

История

Среднее геометрическое — древнее понятие, но гиперболический угол в этой конфигурации был разработан Грегуаром де Сен-Винсентом . Он пытался выполнить квадратуру относительно прямоугольной гиперболы y = 1/ x . Эта задача оставалась открытой, поскольку Архимед выполнил квадратуру параболы . Кривая проходит через (1,1), где она противоположна началу координат в единичном квадрате . Остальные точки кривой можно рассматривать как прямоугольники, имеющие ту же площадь , что и этот квадрат. Такой прямоугольник можно получить, применив отображение сжатия к квадрату . Другой способ просмотра этих отображений — через гиперболические сектора . Начиная с (1,1), гиперболический сектор единичной площади заканчивается в (e, 1/e), где e равно 2,71828…, согласно развитию Леонарда Эйлера во «Введении в анализ бесконечного» (1748).

Взяв (e, 1/e) за вершину прямоугольника единичной площади и снова применив сжатие, которое сделало его из единичного квадрата, получим $(e^{2},\ e^{-2}).$ Обычно n сжатий дает $(e^{n},\ e^{-n}).$ А. А. де Сараса отметил аналогичное наблюдение Г. де Сент-Винсента, что по мере увеличения абсцисс в геометрической прогрессии сумма площадей против гиперболы увеличивалась в арифметической прогрессии , и это свойство соответствовало логарифму , уже использовавшемуся для сокращения умножений к дополнениям. Работа Эйлера сделала натуральный логарифм стандартным математическим инструментом и подняла математику до уровня трансцендентных функций . Гиперболические координаты сформированы по оригинальной картине Г. де Сен-Венсана, которая обеспечила квадратуру гиперболы и вышла за пределы алгебраических функций .

В 1875 году Иоганн фон Тюнен опубликовал теорию естественной заработной платы. в котором использовалось среднее геометрическое прожиточного минимума и рыночной стоимости труда с использованием капитала работодателя.

В специальной теории относительности основное внимание уделяется трехмерной гиперповерхности в будущем пространстве-времени, где различные скорости достигаются после заданного собственного времени . Скотт Уолтер объясняет, что в ноябре 1907 года Герман Минковский, выступая перед Геттингенским математическим обществом, упомянул хорошо известную трехмерную гиперболическую геометрию, но не четырехмерную. В честь Вольфганга Риндлера , автора стандартного вводного университетского учебника по теории относительности, гиперболические координаты пространства-времени называются координатами Риндлера .

Ссылки

• Дэвид Бетунес (2001) Дифференциальные уравнения: теория и приложения , стр. 254, Springer-TELOS, ISBN   0-387-95140-7 .
• Скотт Уолтер (1999). «Неевклидов стиль относительности Минковского». Архивировано 16 октября 2013 г. в Wayback Machine . Глава 4 в: Джереми Дж. Грей (ред.), Символическая Вселенная: геометрия и физика 1890–1930 , стр. 91–127. Издательство Оксфордского университета . ISBN   0-19-850088-2 .