Гиперболический угол

Кривая представляет собой xy = 1. Гиперболический угол имеет величину, равную площади соответствующего гиперболического сектора , который находится в стандартном положении, если a = 1.

В геометрии определяемое гиперболический угол — действительное число, площадью соответствующего гиперболического сектора xy = 1 в квадранте I декартовой плоскости . Гиперболический угол параметризует единичную гиперболу которой являются гиперболические функции , координатами . В математике гиперболический угол является инвариантной мерой , поскольку он сохраняется при гиперболическом вращении .

Гипербола xy = 1 имеет прямоугольную форму с большой полуосью ${\sqrt {2}}$, аналогичный величине кругового угла , соответствующего площади кругового сектора в круге с радиусом ${\sqrt {2}}$.

Гиперболический угол используется в качестве независимой переменной для гиперболических функций sinh, cosh и tanh, поскольку эти функции могут быть основаны на гиперболических аналогиях с соответствующими круговыми тригонометрическими функциями, если рассматривать гиперболический угол как определяющий гиперболический треугольник .Таким образом, параметр становится одним из наиболее полезных при исчислении переменных действительных .

Определение

Рассмотрим прямоугольную гиперболу $\textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}$, и (по соглашению) обратите особое внимание на ветку $x>1$.

Сначала определите:

• Гиперболический угол в стандартном положении — это угол при $(0,0)$ между лучом и $(1,1)$ и луч, чтобы $\textstyle (x,{\frac {1}{x}})$, где $x>1$.
• Величина этого угла есть площадь соответствующего гиперболического сектора , которая оказывается $\operatorname {ln} x$.

Обратите внимание, что из-за роли натурального логарифма :

• В отличие от кругового угла, гиперболический угол неограничен (поскольку $\operatorname {ln} x$ неограничен); это связано с тем, что гармонический ряд неограничен.
• Формула величины угла показывает, что при $0<x<1$, гиперболический угол должен быть отрицательным. Это отражает тот факт, что, как определено, угол направлен .

Наконец, расширите определение гиперболического угла до угла, образуемого любым интервалом гиперболы. Предполагать $a,b,c,d$ положительные действительные числа такие, что $ab=cd=1$ и $c>a>1$, так что $(a,b)$ и $(c,d)$ являются точками на гиперболе $xy=1$ и определите на нем интервал. Тогда отображение сжатия $\textstyle f:(x,y)\to (bx,ay)$ отображает угол $\angle \!\left((a,b),(0,0),(c,d)\right)$ к положения стандартному углу $\angle \!\left((1,1),(0,0),(bc,ad)\right)$. По результату Грегуара де Сен-Венсана , гиперболические сектора, определяемые этими углами, имеют одинаковую площадь, которую принимают за величину угла. Эта величина $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$.

Сравнение с круговым углом

Единичная гипербола имеет сектор площадью половину гиперболического угла.

Круговой и гиперболический угол

Единичный круг $x^{2}+y^{2}=1$ имеет круговой сектор площадью половину окружного угла в радианах. Аналогично, единичная гипербола $x^{2}-y^{2}=1$ имеет гиперболический сектор площадью половину гиперболического угла.

Существует также проективное разрешение между круговым и гиперболическим случаями: обе кривые представляют собой конические сечения и, следовательно, рассматриваются как проективные диапазоны в проективной геометрии . Учитывая исходную точку в одном из этих диапазонов, другие точки соответствуют углам. Основная для науки идея сложения углов соответствует сложению точек на одном из этих диапазонов следующим образом:

Круговые углы можно охарактеризовать геометрически тем свойством, что если две хорды P ₀ P ₁ и P ₀ P ₂ стягивают углы L ₁ и L ₂ в центре окружности, то их сумма L ₁ + L ₂ представляет собой угол, опирающийся на хорду. P ₀ Q , где P ₀ Q должен быть параллелен P ₁ P ₂ .

Эту же конструкцию можно применить и к гиперболе. Если P ₀ принимается за точку (1, 1) , P ₁ за точку ( x ₁ , 1/ x ₁ ) и P ₂ за точку ( x ₂ , 1/ x ₂ ) , то условие параллельности требует, чтобы Q — точка ( x ₁ x ₂ , 1/ x ₁ 1/ x ₂ ) . Таким образом, имеет смысл определить гиперболический угол от P ₀ до произвольной точки кривой как логарифмическую функцию значения x в этой точке .

В то время как в евклидовой геометрии равномерное движение в направлении, ортогональном лучу из начала координат, очерчивает окружность, в псевдоевклидовой плоскости, постоянно перемещающееся ортогонально лучу из начала координат, очерчивается гипербола. В евклидовом пространстве кратное заданному углу прослеживает равные расстояния по окружности, а по гиперболической линии — экспоненциальные расстояния.

И круговой, и гиперболический угол являются примерами инвариантной меры . Дуги с угловой величиной на окружности порождают меру на определенных измеримых множествах на окружности, величина которой не меняется при повороте или вращении окружности . Для гиперболы поворот осуществляется с помощью отображения сжатия , а величины гиперболических углов остаются неизменными, когда плоскость сжимается с помощью отображения

( Икс , y ) ↦ ( rx , y / r ), при этом r > 0 .

с линейным

Существует также любопытная связь с гиперболическим углом и метрикой, определенной в пространстве Минковского. Точно так же, как двумерная евклидова геометрия определяет свой линейный элемент как

$ds_{e}^{2}=dx^{2}+dy^{2},$

линейный элемент в пространстве Минковского

$ds_{m}^{2}=dx^{2}-dy^{2}.$

Рассмотрим кривую, погруженную в двумерное евклидово пространство:

$x=f(t),y=g(t).$

Где параметр $t$ это действительное число, которое проходит между $a$ и $b$ ( $a\leqslant t<b$). Длина дуги этой кривой в евклидовом пространстве вычисляется как:

$S=\int _{a}^{b}ds_{e}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt.$

Если $x^{2}+y^{2}=1$ определяет единичный круг, единственным параметризованным решением этого уравнения является $x=\cos t$ и $y=\sin t$. Сдача в аренду $0\leqslant t<\theta$, вычисляя длину дуги $S$ дает $S=\theta$. Теперь выполняем ту же процедуру, за исключением замены евклидова элемента на элемент линии Минковского:

$S=\int _{a}^{b}ds_{m}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt,$

и определил «единичную» гиперболу как $y^{2}-x^{2}=1$ с соответствующим параметризованным набором решений $y=\cosh t$ и $x=\sinh t$и, позволив $0\leqslant t<\eta$ (гиперболический угол), приходим к результату $S=\eta$. Другими словами, это означает, что точно так же, как круговой угол можно определить как длину дуги на единичной окружности, опирающейся на тот же угол с использованием евклидовой метрики, гиперболический угол - это длина дуги на «единице». гипербола, стянутая гиперболическим углом с использованием метрики, определенной Минковским.

История

Квадратура гиперболы это — оценка площади гиперболического сектора . Можно показать, что она равна соответствующей площади относительно асимптоты . Квадратура была впервые выполнена Грегуаром де Сен-Винсентом в 1647 году в Opus геометрическом квадратуре circuli etsectionum coni . Как выразился историк,

[Он составил] квадратуру гиперболы к ее асимптотам и показал, что по мере площади в арифметическом ряду абсциссы увеличения увеличиваются в геометрическом ряду .

А. А. де Сараса интерпретировал квадратуру как логарифм , и поэтому геометрически определенный натуральный логарифм (или «гиперболический логарифм») понимается как площадь под y = 1/ x справа от x = 1 . В качестве примера трансцендентной функции логарифм более известен, чем его мотиватор — гиперболический угол. Тем не менее, гиперболический угол играет роль, когда теорема Сен-Винсента дополняется отображением сжатия .

Круговая тригонометрия была расширена до гиперболы Огастесом Де Морганом в его учебнике «Тригонометрия и двойная алгебра» . В 1878 году У.К. Клиффорд использовал гиперболический угол для параметризации единичной гиперболы , описав ее как «квазигармоническое движение ».

В 1894 году Александр Макфарлейн свое эссе «Воображаемое алгебры», в котором гиперболические углы использовались для создания гиперболических версоров . опубликовал в своей книге « Статьи по космическому анализу » В следующем году Бюллетень Американского математического общества опубликовал Меллен В. Хаскелл описание гиперболических функций .

Когда Людвик Зильберштейн написал в 1914 году свой популярный учебник по новой теории относительности , он использовал концепцию быстроты, основанную на гиперболическом угле a , где tanh a = v / c , отношение скорости v к скорости света . Он написал:

Кажется, стоит упомянуть, что единице быстроты соответствует огромная скорость, составляющая 3/4 скорости света; точнее, мы имеем v = (0,7616) c для a = 1 .

[...] скорость a = 1 , [...] следовательно, будет представлять скорость 0,76 c , которая немного превышает скорость света в воде.

Зильберштейн также использует Лобачевского концепцию угла параллелизма Π( a ), чтобы получить cos Π( a ) = v / c .

Воображаемый круговой угол

Гиперболический угол часто представляют как мнимое число . ${\textstyle \cos ix=\cosh x}$ и ${\textstyle \sin ix=i\sinh x,}$ так что гиперболические функции cosh и sinh могут быть представлены через круговые функции. Но в евклидовой плоскости мы могли бы попеременно считать меры круговых углов мнимыми, а меры гиперболических углов — действительными скалярами. ${\textstyle \cosh ix=\cos x}$ и ${\textstyle \sinh ix=i\sin x.}$

Эти отношения можно понять в терминах показательной функции , которая для сложного аргумента ${\textstyle z}$ можно разбить на четные и нечетные части ${\textstyle \cosh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}+e^{-z})}$ и ${\textstyle \sinh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z}),}$ соответственно. Затем

$$e^{z}=\cosh z+\sinh z=\cos(iz)-i\sin(iz),$$

или если аргумент разделен на действительную и мнимую части ${\textstyle z=x+iy,}$ экспоненту можно разделить на продукт масштабирования ${\textstyle e^{x}}$ и вращение ${\textstyle e^{iy},}$

$$e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y).$$

Как бесконечный ряд ,

$${\begin{alignedat}{3}e^{z}&=\,\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+z+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\cosh z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\sinh z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=z+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}+\dots \\\cos z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=1-{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}-\dots \\i\sin z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=i\left(z-{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}-\dots \right)\\\end{alignedat}}$$

Бесконечный ряд для косинуса получается из cosh путем превращения его в знакопеременный ряд , а ряд для синуса получается из преобразования sinh в знакопеременный ряд.

См. также

• Трансцендентный угол

Ссылки

• Джанет Хейн Барнетт (2004) «Входите, центр сцены: ранняя драма гиперболических функций», доступно в (a) Mathematics Magazine 77 (1): 15–30 или (b) главе 7 Эйлера на 300 , Р.Э. Брэдли, Л.А. Д'Антонио, редакторы CE Sandifer, Математическая ассоциация Америки ISBN   0-88385-565-8 .
• Артур Кеннелли (1912) Применение гиперболических функций к задачам электротехники.
• Уильям Мюллер, Исследование предварительного исчисления , § Число e, Гиперболическая тригонометрия .
• Джон Стиллвелл (1998) Упражнение «Числа и геометрия» 9.5.3, с. 298, Шпрингер-Верлаг ISBN   0-387-98289-2 .