Коническое сечение

Двухмерный вид сбоку конуса, рассеченного плоскостями под тремя разными углами. Эллипс сходится на противоположной стороне и замыкается вокруг конуса, образуя замкнутый профиль. Гипербола параллельна противоположной стороне конуса, поэтому она никогда не замыкается вокруг нее, а открытые концы простираются до бесконечности. Гипербола расходится в противоположную сторону. поэтому он выглядит как парабола, но имеет еще одну часть, где он пересекается с зеркальным отражением конуса. — Эта диаграмма поясняет различные углы секущих плоскостей, которые приводят к различным свойствам трех типов конического сечения.

Коническое сечение , коническая или квадратичная кривая — это кривая , полученная из поверхности конуса, пересекающей плоскость . Три типа конического сечения — это гипербола , парабола и эллипс ; круг — это частный случай эллипса, хотя иногда его называют четвертым типом. Древнегреческие математики изучали конические сечения, кульминацией которых около 200 г. до н.э. стали Аполлонием Пергским систематические исследования их свойств .

Конические сечения евклидовой плоскости обладают различными отличительными свойствами, многие из которых можно использовать в качестве альтернативных определений. Одно из таких свойств определяет некруглую конику. ^[1]быть набором тех точек, расстояния которых до некоторой конкретной точки, называемой фокусом , и некоторой конкретной линии, называемой директрисой , находятся в фиксированном соотношении, называемом эксцентриситетом . Тип коники определяется величиной эксцентриситета. В аналитической геометрии коника может быть определена как плоская алгебраическая кривая степени 2; то есть как множество точек, координаты которых удовлетворяют квадратному уравнению с двумя переменными, которое можно записать в виде $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.$ Геометрические свойства коники можно вывести из ее уравнения.

В евклидовой плоскости три типа конических сечений выглядят совершенно по-разному, но имеют много общих свойств. Расширив евклидову плоскость, включив в нее линию на бесконечности и получив проективную плоскость , кажущаяся разница исчезает: ветви гиперболы встречаются в двух точках на бесконечности, превращая ее в одну замкнутую кривую; и два конца параболы встречаются, образуя замкнутую кривую, касательную к бесконечной линии. Дальнейшее расширение за счет расширения реальных координат до комплексных координат дает возможность увидеть это объединение алгебраически.

Евклидова геометрия

Виды конических сечений:
1: Круг 2: Эллипс
3: Парабола 4: Гипербола

Конические сечения изучались на протяжении тысячелетий и предоставили богатый источник интересных и красивых результатов в евклидовой геометрии .

Определение

Коникой называется кривая, полученная в результате пересечения плоскости , называемой секущей плоскостью , с поверхностью двойного конуса (конуса с двумя оболочками ). Для простоты описания обычно предполагается, что конус представляет собой прямой круговой конус, но это не требуется; подойдет любой двойной конус с некоторым круглым поперечным сечением. Плоскости, проходящие через вершину конуса, будут пересекать конус в точке, прямой или паре пересекающихся прямых. называются вырожденными Такие коники , а некоторые авторы вообще не считают их кониками. Если не указано иное, термин «коника» в этой статье будет относиться к невырожденной конике.

Существует три типа коник: эллипс , парабола и гипербола . Круг представляет собой особый вид эллипса, хотя исторически Аполлоний считал его четвертым типом. Эллипсы возникают, когда пересечение конуса и плоскости представляет собой замкнутую кривую . Окружность получается, когда плоскость сечения параллельна плоскости образующей окружности конуса; для правого конуса это означает, что плоскость сечения перпендикулярна оси. Если секущая плоскость параллельна ровно одной образующей конуса, то коника неограничена и называется параболой . В остальном случае фигура представляет собой гиперболу : плоскость пересекает обе половины конуса, образуя две отдельные неограниченные кривые.

Сравните также сферическое сечение (пересечение плоскости со сферой, образующее круг или точку) и сферическую конику (пересечение эллиптического конуса с концентрической сферой).

Эксцентриситет, фокус и директриса

Конические сечения с разным эксцентриситетом , имеющие общую точку фокуса и направляющую линию, включая эллипс (красный, $e = 1/2$ ), параболу (зеленый, $e = 1$ ) и гиперболу (синий, $e = 2$ ). Коника эксцентриситета $0$ на этом рисунке представляет собой бесконечно малую окружность с центром в фокусе, а коника эксцентриситета $\infty$ — бесконечно мало разделенную пару прямых.
Окружность конечного радиуса имеет бесконечно удаленную направляющую, а пара линий конечного разделения имеет бесконечно удаленный фокус.

Альтернативно, можно определить коническое сечение исключительно с точки зрения плоской геометрии: это место всех точек $P$ , расстояние которых до фиксированной точки $F$ (называемой фокусом ) является постоянным кратным $e$ (называемым эксцентриситетом ) расстояния от $P.$ к фиксированной линии $L$ (называемой директрисой ). При $0 < e < 1$ получаем эллипс, при $e = 1$ — параболу, а при $e > 1 —$ гиперболу.

Окружность является предельным случаем и не определяется фокусом и директрисой в евклидовой плоскости. Эксцентриситет круга определяется как ноль, а его фокус — это центр круга, но его директрису можно принять только как линию, находящуюся на бесконечности в проективной плоскости. ^[2]

Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру того, насколько эллипс отклоняется от кругового. ^[3]

Если угол между поверхностью конуса и его осью равен $\beta$ а угол между плоскостью сечения и осью равен $\alpha ,$ эксцентриситет ${\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}.$ ^[4]

Доказательство того, что приведенные выше кривые, определяемые свойством фокус-директориса, такие же, как и кривые, полученные плоскостями, пересекающими конус, облегчается использованием сфер Одуванчика . ^[5]

Альтернативно, эллипс может быть определен через две точки фокуса как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фокусов $2a равна$ ; а гипербола — это локус, для которого разность расстояний равна $2 а$ . (Здесь $a$ — большая полуось, определенная ниже.) Параболу также можно определить через ее фокус и линию широкой прямой кишки (параллельную директрисе и проходящую через фокус): это место точек, расстояние которых до фокус плюс-минус расстояние до линии равен $2 a$ ; плюс, если точка находится между директрисой и широкой прямой кишкой, минус в противном случае.

Конические параметры

Помимо эксцентриситета ( $e$ ), фокусов и директрисы, с коническим сечением связаны различные геометрические особенности и длины.

Главная ось — это линия, соединяющая фокусы эллипса или гиперболы, а ее середина — центр кривой . Парабола не имеет центра.

Линейный эксцентриситет ( $c$ ) — это расстояние между центром и фокусом.

Широкая прямая кишка — это хорда , параллельная директрисе и проходящая через фокус; его полудлина - полуширокая прямая кишка ( $ℓ$ ).

Фокальный параметр ( $p$ ) — это расстояние от фокуса до соответствующей директрисы.

Большая ось — это хорда между двумя вершинами: самая длинная хорда эллипса и самая короткая хорда между ветвями гиперболы. Его полудлина — это большая полуось ( $а$ ). Когда эллипс или гипербола находятся в стандартном положении, как в приведенных ниже уравнениях, с фокусами на $оси x$ и центром в начале координат, вершины коники имеют координаты $- a, 0)$ и $(a, 0)$ с $($ неотрицательный.

Малая ось — это самый короткий диаметр эллипса, а его полудлина — это малая полуось ( $b$ ), то же значение $b$ , что и в стандартном уравнении ниже. По аналогии, для гиперболы параметр $b$ в стандартном уравнении также называется малой полуосью.

Имеют место следующие соотношения: ^[6]

$\ \ell =pe$
$\ c=ae$
$\ p+c={\frac {a}{e}}$

Для коников в стандартном положении эти параметры имеют следующие значения, принимая $a,b>0$ .

коническое сечение	уравнение	эксцентриситет ( $е$ )	линейный эксцентриситет ( $c$ )	половина правой стороны ( $ℓ$ )	фокальный параметр ( $p$ )
круг	$x^{2}+y^{2}=a^{2}\,$	$0\,$	$0\,$	$a\,$	$\infty$
эллипс	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
парабола	$y^{2}=4ax\,$	$1\,$	Н/Д	$2a\,$	$2a\,$
гипербола	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Стандартные формы в декартовых координатах

После введения декартовых координат свойство focus-directrix можно использовать для создания уравнений, которым удовлетворяют точки конического сечения. ^[7] Посредством изменения координат ( вращения и перемещения осей ) эти уравнения можно привести к стандартным формам . ^[8]Для эллипсов и гипербол стандартная форма имеет $ось X$ в качестве главной оси и начало координат (0,0) в качестве центра. Вершины — это $(\pm a, 0)$ и фокусы $(\pm c, 0)$ . Определим $b$ уравнениями $c 2 = а 2 - б 2$ для эллипса и $c 2 = а 2 + б 2$ для гиперболы. Для круга $c = 0$ , поэтому $a 2 = б 2$ , с радиусом $r знак равно a знак равно b$ . Для параболы стандартная форма имеет фокус на $оси x$ в точке $(a, 0)$ и направляющую на линии с уравнением $x = - a$ . В стандартной форме парабола всегда проходит через начало координат.

Для прямоугольной или равносторонней гиперболы, асимптоты которой перпендикулярны, существует альтернативная стандартная форма, в которой асимптоты являются осями координат, а линия $x = y$ является главной осью. Тогда фокусы имеют координаты $(c, c)$ и $(- c, - c)$ . ^[9]

Круг:
$x^{2}+y^{2}=a^{2},$
Эллипс:
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$
Парабола:
$y^{2}=4ax,{\text{ with }}a>0,$
Гипербола:
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$
Прямоугольная гипербола: ^[10]
$xy=c^{2}.$

Первые четыре из этих форм симметричны как относительно $X$ оси $, так и относительно оси Y$ (для круга, эллипса и гиперболы) или только относительно $оси X$ (для параболы). Однако прямоугольная гипербола симметрична относительно прямых $y = x$ и $y = - x$ .

Эти стандартные формы можно записать параметрически как:

Круг :
$(a\cos \theta ,a\sin \theta ),$
Эллипс :
$(a\cos \theta ,b\sin \theta ),$
Парабола :
$(at^{2},2at),$
Гипербола :
$(a\sec \theta ,b\tan \theta ),{\text{ or }}(\pm a\cosh \psi ,b\sinh \psi )$ ,
Прямоугольная гипербола :
$\left(dt,{\frac {d}{t}}\right),{\text{ where }}d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.$

Общая декартова форма

В декартовой системе координат график с двумя переменными всегда представляет собой квадратного уравнения коническое сечение (хотя оно может быть вырожденным ), ^[а]и все конические сечения возникают таким образом. Наиболее общее уравнение имеет вид ^[11]

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,

со всеми коэффициентами действительными числами , а $A, B, C$ не все равны нулю.

Матричное обозначение

Приведенное выше уравнение можно записать в матричной записи как ^[12]

{\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}D&E\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+F=0.

Общее уравнение также можно записать как

{\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0.

Эта форма является специализацией однородной формы, используемой в более общей ситуации проективной геометрии (см. ниже ).

Дискриминант

Конические сечения, описываемые этим уравнением, можно классифицировать по величине $B^{2}-4AC$ , называемый дискриминантом уравнения. ^[13] Таким образом, дискриминант равен $- 4Δ$ , где $Δ$ — определитель матрицы. $\left|{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right|.$

Если коника невырождена , то: ^[14]

если Б ² − 4 AC < 0 , уравнение представляет собой эллипс ;
- если $A = C$ и $B = 0$ , уравнение представляет круг , который является частным случаем эллипса;
если $Б 2 - 4 AC = 0$ , уравнение представляет собой параболу ;
если Б ² − 4 AC > 0 , уравнение представляет собой гиперболу ;
- если $A + C = 0$ , уравнение представляет собой прямоугольную гиперболу .

В используемых здесь обозначениях $A$ и $B$ которые обозначают большую и малую полуоси как $A$ и $B.$ являются полиномиальными коэффициентами, в отличие от некоторых источников ,

Инварианты

Дискриминант $Б 2 - 4 AC$ квадратного уравнения конического сечения (или, что то же самое, определитель $AC - B 2 /4$ матрицы 2×2) и величина $A + C$ ( след матрицы 2×2) инвариантны относительно произвольных поворотов и сдвигов координатных осей, ^[14]^[15]^[16] как и определитель приведенной выше матрицы 3 × 3 . ^[17]^{: стр. 60–62.} Постоянный член $F$ и сумма $D 2 + Е 2$ инвариантны только относительно вращения. ^[17]^{: стр. 60–62.}

Эксцентриситет в терминах коэффициентов

Когда коническое сечение записывается алгебраически как

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,\,

эксцентриситет можно записать как функцию коэффициентов квадратного уравнения. ^[18] Если $4 AC = B 2$ коника является параболой и ее эксцентриситет равен 1 (при условии, что она невырождена). В противном случае, если уравнение представляет собой невырожденную гиперболу или эллипс, эксцентриситет определяется выражением

e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},

где $η = 1,$ если определитель приведенной выше матрицы 3 × 3 отрицательный, и $η = -1,$ если этот определитель положительный.

Это также можно показать ^[17]^{: п. 89} что эксцентриситет является положительным решением уравнения

\Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,

где снова $\Delta =AC-{\frac {B^{2}}{4}}.$ В случае параболы или эллипса оно имеет ровно одно положительное решение — эксцентриситет, а в случае гиперболы — два положительных решения, одно из которых — эксцентриситет.

Преобразование в каноническую форму

В случае эллипса или гиперболы уравнение

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,

можно преобразовать в каноническую форму в преобразованных переменных ${\tilde {x}},{\tilde {y}}$ как ^[19]

{\frac {{\tilde {x}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2})}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}\lambda _{2}^{2})}}=1,

или эквивалентно

{\frac {{\tilde {x}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}\Delta )}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{-S/(\lambda _{2}\Delta )}}=1,

где $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ являются собственными значениями матрицы $\left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)$ — то есть решения уравнения

\lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0

- и $S$ является определителем приведенной выше матрицы 3 × 3 , а $\Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}$ снова является определителем матрицы 2 × 2. В случае эллипса квадраты двух полуосей задаются знаменателями в канонической форме.

Полярные координаты

эксцентриситета e Развитие конического сечения по мере увеличения

В полярных координатах коническое сечение с одним фокусом в начале координат и, если таковой имеется, другим с отрицательным значением (для эллипса) или положительным значением (для гиперболы) на $оси x$ , задается уравнением

r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},

где $e$ — эксцентриситет, $l$ — полурасширенная прямая кишка.

Как и выше, при $e = 0$ график представляет собой круг, при $0 < e < 1$ график представляет собой эллипс, при $e = 1 —$ параболу, а при $e > 1 —$ гиперболу.

Полярная форма уравнения коники часто используется в динамике ; например, определение орбит объектов, вращающихся вокруг Солнца. ^[20]

Характеристики

Точно так же, как две (различные) точки определяют линию, пять точек определяют конику . Формально, если любые пять точек плоскости находятся в общем линейном положении , то есть нет трех коллинеарных , то через них проходит единственная коника, которая будет невырожденной; это верно как для евклидовой плоскости, так и для ее расширения, реальной проективной плоскости. Действительно, через любые пять точек проходит коника, но если три точки лежат на одной прямой, коника будет вырожденной (приводимой, поскольку содержит прямую) и может быть не единственной; смотрите дальнейшее обсуждение .

Четыре точки плоскости в общем линейном положении определяют единственную конику, проходящую через первые три точки и имеющую своим центром четвертую точку. Таким образом, знание центра эквивалентно знанию двух точек на конике с целью определения кривой. ^[21]

Более того, коника определяется любой комбинацией k точек общего положения, через которые она проходит, и 5 – k прямых, касающихся ее, при 0≤ k ≤5. ^[22]

Любая точка плоскости лежит либо на нулевой, либо на одной или двух касательных к конике. Точка только на одной касательной находится на конике. Точка, не лежащая на касательной, называется внутренней точкой (или внутренней точкой) коники, а точка на двух касательных линиях - внешней точкой (или внешней точкой).

Все конические секции имеют общее свойство отражения , которое можно сформулировать следующим образом: Все зеркала в форме невырожденной конической секции отражают свет, исходящий от одного фокуса или идущий к нему, в сторону другого фокуса или от него. В случае параболы второй фокус нужно рассматривать как бесконечно удаленный, чтобы лучи света, идущие к второму фокусу или исходящие из него, были параллельны. ^[23]^[24]

Теорема Паскаля касается коллинеарности трех точек, построенных из набора из шести точек на любой невырожденной конике. Теорема справедлива и для вырожденных коник, состоящих из двух прямых, но в этом случае она известна как теорема Паппа .

Невырожденные конические сечения всегда « гладкие ». Это важно для многих приложений, таких как аэродинамика, где требуется гладкая поверхность для обеспечения ламинарного потока и предотвращения турбулентности .

История

Менехм и ранние произведения

Считается, что первое определение конического сечения было дано Менехмом (умер в 320 г. до н. э.) в рамках решения им делосской проблемы ( Дублирование куба ). ^[б]^[25] Его работа не сохранилась, даже названия, которые он использовал для этих кривых, и известны только по вторичным источникам. ^[26]Определение, используемое в то время, отличается от того, которое обычно используется сегодня. Конусы были построены путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов так, чтобы гипотенуза образовывала поверхность конуса (такая линия называется образующей ). Три типа конусов определялись по углам их вершин (измеряемым удвоенным углом, образованным гипотенузой и катетом, повернутым вокруг прямоугольного треугольника). Коническое сечение затем определялось путем пересечения одного из этих конусов плоскостью, перпендикулярной образующей. Тип коники определяется типом конуса, т. е. углом, образуемым при вершине конуса: если угол острый, то коника — эллипс; если угол прямой, то коника — парабола; а если угол тупой, то коника является гиперболой (но только одной ветвью кривой). ^[27]

Говорят, что Евклид (ок. 300 г. до н.э.) написал четыре книги по коникам, но они также были утеряны. ^[28] Архимед (умер около 212 Известно, что г. до н.э.) изучал коники, определив площадь, ограниченную параболой и хордой в квадратуре параболы . Его основной интерес заключался в измерении площадей и объемов фигур, связанных с кониками, и часть этой работы сохранилась в его книге о телах вращения коник « О коноидах и сфероидах» . ^[29]

Аполлоний Пергский

Наибольший прогресс в изучении коник древними греками принадлежит Аполлонию Пергскому (умер ок. 190 до н. э.), чьи восьмитомные «Конические разделы» , или «Коники», обобщили и значительно расширили существующие знания. ^[30]Исследование Аполлонием свойств этих кривых позволило показать, что любая плоскость, пересекающая фиксированный двойной конус (с двумя ворсами), независимо от его угла, образует конику в соответствии с более ранним определением, что приводит к определению, обычно используемому сегодня. Таким способом также можно получить круги, которые невозможно построить предыдущим методом. Это может объяснить, почему Аполлоний считал круги четвертым типом конического сечения - различие, которое больше не проводится. Аполлоний использовал для этих кривых названия «эллипс», «парабола» и «гипербола», заимствовав терминологию из более ранних работ Пифагора о площадях. ^[31]

Паппу Александрийскому (умер около 350 г. н.э.) приписывают разъяснение важности концепции фокуса коники и подробное описание связанной с ней концепции директрисы , включая случай параболы (которая отсутствует в известных работах Аполлония). ^[32]

Исламский мир

Работа Аполлония была переведена на арабский язык, и большая часть его работ сохранилась только в арабской версии. Исламские математики нашли применение этой теории, в первую очередь персидский математик и поэт Омар Хайям . ^[33] который нашел геометрический метод решения кубических уравнений с помощью конических сечений. ^[34]^[35]

За столетие до более известной работы Хайяма Абу аль-Джуд использовал коники для решения уравнений четвертой и кубической степени. ^[36] хотя его решение не касалось всех случаев. ^[37]

Инструмент для рисования конических сечений впервые был описан в 1000 году нашей эры Аль-Кухи . ^[38]^[39]

Европа

Иоганн Кеплер расширил теорию коник посредством « принципа непрерывности », предшественника концепции пределов. Кеплер впервые использовал термин «фокусы» в 1604 году. ^[40]

Жирар Дезарг и Блез Паскаль разработали теорию коник, используя раннюю форму проективной геометрии , и это помогло дать толчок изучению этой новой области. В частности, Паскаль открыл теорему, известную как «мистическая гексаграмма» , из которой можно вывести многие другие свойства коник.

Рене Декарт и Пьер Ферма применили свою недавно открытую аналитическую геометрию к изучению коник. Это привело к сведению геометрических проблем коник к задачам алгебры. Однако именно Джон Уоллис в своем трактате 1655 года Tractatus desectionibus conicis первым определил конические сечения как примеры уравнений второй степени. ^[41]Написанная ранее, но опубликованная позже, Яна де Витта книга Elementa Curvarum Linearum конструкции коник Кеплером начинается с кинематической , а затем развивает алгебраические уравнения. Эта работа, в которой используется методология Ферма и обозначения Декарта, была названа первым учебником по этому предмету. ^[42] Де Витт изобрел термин «директриса». ^[42]

Приложения

Параболоидная . форма археоциатид образует конические сечения на гранях скал

Конические сечения играют важную роль в астрономии : орбиты двух массивных объектов, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона, являются коническими сечениями, если их общий центр масс считается покоящимся. Если они связаны вместе, они оба очертят эллипсы; если они разойдутся, они оба будут следовать по параболе или гиперболе. См. задачу двух тел .

Отражающие свойства конических сечений используются в конструкции прожекторов, радиотелескопов и некоторых оптических телескопов. ^[43]В прожекторе в качестве отражателя используется параболическое зеркало с лампочкой в фокусе; аналогичная конструкция используется для параболического микрофона . диаметром 4,2 метра Оптический телескоп Гершеля на Ла-Пальме на Канарских островах использует главное параболическое зеркало для отражения света к вторичному гиперболическому зеркалу, которое снова отражает его в фокус за первым зеркалом.

В реальной проективной плоскости

Конические сечения имеют некоторые очень похожие свойства на евклидовой плоскости, и причины этого становятся более ясными, если рассматривать коники с точки зрения более крупной геометрии. Евклидову плоскость можно вложить в реальную проективную плоскость , а коники можно рассматривать как объекты этой проективной геометрии. Один из способов сделать это — ввести однородные координаты и определить конику как набор точек, координаты которых удовлетворяют неприводимому квадратному уравнению с тремя переменными (или, что то же самое, нулям неприводимой квадратичной формы ). Более технически, набор точек, которые являются нулями квадратичной формы (от любого числа переменных), называется квадрикой , а неприводимые квадрики в двумерном проективном пространстве (то есть, имеющие три переменных) традиционно называются кониками.

Евклидова плоскость $R 2$ вкладывается в вещественную проективную плоскость путем присоединения бесконечной прямой (и соответствующих ей бесконечно удаленных точек ) так, что все прямые параллельного класса встречаются на этой прямой. С другой стороны, начиная с действительной проективной плоскости, евклидова плоскость получается путем выделения некоторой прямой как линии, находящейся на бесконечности, и удаления ее и всех ее точек.

Пересечение на бесконечности

В проективном пространстве над любым телом, но в частности над действительными или комплексными числами, все невырожденные коники эквивалентны, и поэтому в проективной геометрии говорят о «конике» без указания типа. То есть существует проективное преобразование, которое отобразит любую невырожденную конику в любую другую невырожденную конику. ^[44]

Три типа конических сечений вновь появятся в аффинной плоскости, полученной путем выбора линии проективного пространства в качестве линии, находящейся на бесконечности. Три типа затем определяются тем, как эта бесконечная линия пересекает конику в проективном пространстве. В соответствующем аффинном пространстве получается эллипс, если коника не пересекает линию на бесконечности, парабола, если коника пересекает линию на бесконечности в одной двойной точке, соответствующей оси, и гипербола, если коника пересекает линию на бесконечности. бесконечность в двух точках, соответствующих асимптотам. ^[45]

Однородные координаты

В однородных координатах коническое сечение можно представить как:

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.

Или в матричной записи

\left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.

Матрица 3×3 выше называется матрицей конического сечения .

Некоторые авторы предпочитают записывать общее однородное уравнение в виде

Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,

(или какой-то его вариант), чтобы матрица конического сечения имела более простой вид:

M=\left({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),

но в данной статье это обозначение не используется. ^[с]

Если определитель матрицы конического сечения равен нулю, то коническое сечение вырождено .

Поскольку умножение всех шести коэффициентов на один и тот же ненулевой скаляр дает уравнение с тем же набором нулей, можно рассматривать коники, представленные $(A, B, C, D, E, F),$ как точки в пятимерной проективной модели . космос $\mathbf {P} ^{5}.$

Проективное определение круга

Метрические понятия евклидовой геометрии (понятия об измерении длин и углов) не могут быть немедленно распространены на действительную проективную плоскость. ^[д]Они должны быть переопределены (и обобщены) в этой новой геометрии. Это можно сделать для произвольных проективных плоскостей , но чтобы получить реальную проективную плоскость в виде расширенной евклидовой плоскости, необходимо сделать определенный выбор. ^[46]

Зафиксируйте произвольную прямую на проективной плоскости, которую будем называть абсолютной прямой . Выберите две различные точки на абсолютной линии и назовите их абсолютными точками . С учетом этих вариантов можно определить несколько метрических концепций. Например, для линии, содержащей точки $A$ и $B$ , середина отрезка $AB$ определяется как точка $C$ которая является проективно-гармонической сопряженной точкой пересечения $AB$ и абсолютной прямой относительно $A$ и $B.$ ,

Коника проективной плоскости, содержащая две абсолютные точки, называется окружностью . Поскольку пять точек определяют конику, окружность (которая может быть вырожденной) определяется тремя точками. Чтобы получить расширенную евклидову плоскость, абсолютная линия выбирается в качестве бесконечной линии евклидовой плоскости, а абсолютные точки — это две специальные точки на этой линии, называемые бесконечными круговыми точками . Линии, содержащие две точки с реальными координатами, не проходят через круговые точки на бесконечности, поэтому в евклидовой плоскости круг, согласно этому определению, определяется тремя точками, которые не лежат на одной прямой . ^[47]

Уже упоминалось, что круги на евклидовой плоскости не могут быть определены свойством фокус-директориса. Однако, если рассматривать бесконечную линию как направляющую, то, приняв эксцентриситет равным $e = 0,$ круг будет иметь свойство focus-directrix, но он все еще не определяется этим свойством. ^[48] В этой ситуации нужно быть осторожным, чтобы правильно использовать определение эксцентриситета как отношения расстояния точки на окружности до фокуса (длины радиуса) к расстоянию этой точки до директрисы (это расстояние бесконечно). что дает предельное значение, равное нулю.

Проективное коническое определение Штейнера

Определение штейнеровского поколения конического сечения.

Синтетический в (безкоординатный) подход к определению конических сечений на проективной плоскости был предложен Якобом Штайнером 1867 году.

Даны два карандаша $B(U),B(V)$ линий в двух точках $U,V$ (все строки, содержащие $U$ и $V$ соотв.) и проективное , но не перспективное картографирование. $\pi$ из $B(U)$ на $B(V)$ . Тогда точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение. ^[49]^[50]^[51]^[52]

Перспективное картографирование $\pi$ карандаша $B(U)$ на карандаш $B(V)$ является биекцией (соответствие 1-1), такой что соответствующие прямые пересекаются на фиксированной прямой $a$ , которая называется осью перспективы $\pi$ .

Проективное отображение — это конечная последовательность перспективных отображений.

Поскольку проективное отображение в проективной плоскости над полем ( папповой плоскостью ) однозначно определяется заданием образов трёх прямых, ^[53] для генерации Штейнера конического сечения, кроме двух точек $U,V$ необходимо дать только изображения в 3 строки. Эти 5 пунктов (2 точки, 3 линии) однозначно определяют коническое сечение.

Линейные коники

Согласно принципу двойственности на проективной плоскости двойственной каждой точке является линия, а двойственное множеству точек (набору точек, удовлетворяющему некоторому условию) называется огибающей прямых . Используя определение Штейнера коники (это множество точек теперь будем называть точечной коникой ) как точки пересечения соответствующих лучей двух связанных пучков, легко дуализировать и получить соответствующую оболочку, состоящую из соединений соответствующих точек два связанных диапазона (точки на линии) на разных базах (линии, на которых находятся точки). Такая огибающая называется прямой коникой (или двойственной коникой).

На вещественной проективной плоскости точечная коника обладает тем свойством, что каждая прямая пересекает ее в двух точках (которые могут совпадать или могут быть комплексными), и любой набор точек с этим свойством является точечной коникой. Двойным образом отсюда следует, что прямая коника имеет две прямые, проходящие через каждую точку, и любая оболочка прямых с этим свойством является прямой коникой. В каждой точке точечной коники существует единственная касательная линия, и, двойственно, на каждой прямой прямой коники существует единственная точка, называемая точкой контакта . Важная теорема утверждает, что касательные линии точечной коники образуют прямую конику, а точки касания прямой коники образуют точечную конику. ^[54]

Определение фон Штаудта

Карл Георг Кристиан фон Штаудт определил конику как множество точек, заданное всеми абсолютными точками полярности, имеющей абсолютные точки. Фон Штаудт представил это определение в «Геометрии дер Лаге» (1847) как часть своей попытки удалить все метрические понятия из проективной геометрии.

Полярность , π $P$ проективной плоскости $P$ это инволютивная биекция между точками и прямыми $—$ которая сохраняет отношение инцидентности . Таким образом, полярность связывает точку $Q$ с линией $q$ посредством $π (Q) = q$ и $π (q) = Q$ . Следуя Жергонну , $q$ называется полярой Q $$ а $Q$ полюсом – q $,$ . ^[55] Абсолютная точка (или линия ) полярности — это точка, падающая на ее поляру (полюс). ^[Это]

Коника фон Штаудта в вещественной проективной плоскости эквивалентна конике Штейнера . ^[56]

Конструкции

Никакую непрерывную дугу коники нельзя построить с помощью линейки и циркуля. Однако существует несколько конструкций циркуля и линейки для любого количества отдельных точек дуги.

Один из них основан на обратной теореме Паскаля, а именно: если точки пересечения противоположных сторон шестиугольника лежат на одной прямой, то шесть вершин лежат на конике. В частности, по пяти точкам $A, B, C, D, E$ и прямой, проходящей через $E$ , скажем, $EG$ , можно построить точку $F$ , которая лежит на этой прямой и находится на конике, определяемой пятью точками. Пусть $AB$ пересекает $DE$ в $L$ , $BC$ пересекает $EG$ в $M$ и $CD$ пересекает $LM$ в $N.$ пусть Тогда $AN$ встречает $EG$ в требуемой $F.$ точке ^[57] Изменяя линию через $E$ , можно построить столько дополнительных точек на конике, сколько необходимо.

Другой метод, основанный на конструкции Штейнера и полезный в инженерных приложениях, - это метод параллелограмма, при котором коника строится по точкам путем соединения определенных равноотстоящих друг от друга точек на горизонтальной и вертикальной линиях. ^[58] В частности, чтобы построить эллипс по уравнению $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}Икс 2 / а 2 + и 2 / б 2 = 1$ , сначала построим прямоугольник $ABCD$ с вершинами $A (a, 0), B (a, 2 b), C (- a, 2 b)$ и $D (- a, 0)$ . Разделите сторону $BC$ на $n$ равных отрезков и с помощью параллельной проекции относительно диагонали $AC$ образуйте на стороне $AB$ равные отрезки (длины этих отрезков будут равны $б / а$ , умноженную на длину отрезков на $ВС$ ). На стороне $BC$ пометьте левые концы отрезков от $A 1$ до $An,$ начиная с $B$ и идя к $C$ . стороне $AB$ отметьте верхние конечные точки $от D1$ до $Dn,$ начиная с $A$ и идя к $B.$ На Точки пересечения $AA i \cap DD i$ для $1 \leq i \leq n$ будут точками эллипса между $A$ и $P (0, b)$ . Маркировка связывает линии карандаша, проходящие через $A$ , с линиями карандаша, проходящими через $D,$ проективно, но не в перспективе. Искомая коника получается в результате этой конструкции, поскольку три точки $A, D$ и $P$ и две касательные (вертикальные линии в точках $A$ и $D$ ) однозначно определяют конику. Если вместо большой и малой осей эллипса используется другой диаметр (и сопряженный ему диаметр), то при построении используется параллелограмм, не являющийся прямоугольником, что дает название метода. Объединение линий карандашей можно расширить, чтобы получить другие точки эллипса. Конструкции для гипербол ^[59] и притчи ^[60] похожи.

Еще один общий метод использует свойство полярности для построения касательной оболочки коники (прямой коники). ^[61]

В комплексной проективной плоскости

В комплексной плоскости $C 2$ , эллипсы и гиперболы не различаются: гиперболу можно рассматривать как эллипс с длиной мнимой оси. Например, эллипс $x^{2}+y^{2}=1$ становится гиперболой при замене $y=iw,$ геометрически сложное вращение, дающее $x^{2}-w^{2}=1$ . Таким образом, существует двухсторонняя классификация: эллипс/гипербола и парабола. Продолжение кривых на комплексную проективную плоскость соответствует пересечению линии на бесконечности либо в 2 различных точках (соответствующих двум асимптотам), либо в 1 двойной точке (соответствующей оси параболы); таким образом, реальная гипербола является более наводящим на размышления реальным изображением сложного эллипса/гиперболы, поскольку она также имеет два (реальных) пересечения с линией, находящейся на бесконечности.

Дальнейшее объединение происходит в комплексной проективной плоскости $CP 2$ : невырожденные коники нельзя отличить друг от друга, так как любая может быть переведена в любую другую с помощью проективного линейного преобразования .

Можно доказать, что в $CP 2$ , два конических сечения имеют четыре общие точки (если учитывать кратность ), поэтому существует от 1 до 4 точек пересечения . Возможные варианты пересечения: четыре различные точки, две особые точки и одна двойная точка, две двойные точки, одна особая точка и одна с кратностью 3, одна точка с кратностью 4. Если какая-либо точка пересечения имеет кратность > 1, говорят, что две кривые быть касательной . Если существует точка пересечения с кратностью не менее 3, две кривые называются соприкасающимися . Если есть только одна точка пересечения, имеющая кратность 4, две кривые называются супероскулирующими . ^[62]

При этом каждая прямая дважды пересекает каждое коническое сечение. Если точка пересечения двойная, линия является касательной . Пересекаясь с линией на бесконечности, каждое коническое сечение имеет две точки на бесконечности. Если эти точки вещественны, кривая является гиперболой ; если они мнимые сопряжения, то это эллипс ; если есть только одна двойная точка, это парабола . Если точки на бесконечности являются циклическими точками $(1, i, 0)$ и $(1, - i, 0)$ , то коническое сечение представляет собой круг . Если коэффициенты конического сечения действительны, точки на бесконечности либо вещественные, либо комплексно-сопряженные .

Вырожденные случаи

То, что следует рассматривать как вырожденный случай коники, зависит от используемого определения и геометрических параметров конического сечения. Некоторые авторы определяют конику как двумерную невырожденную квадрику. В этой терминологии не существует вырожденных коник (только вырожденные квадрики), но мы будем использовать более традиционную терминологию и избегать этого определения.

В евклидовой плоскости, используя геометрическое определение, возникает вырожденный случай, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. Вырожденная коника — это либо: точка , когда плоскость пересекает конус только в вершине; прямая , когда плоскость касается конуса (она содержит ровно одну образующую конуса); или пара пересекающихся прямых (две образующие конуса). ^[63] Они соответствуют соответственно предельным формам эллипса, параболы и гиперболы.

Если коника в евклидовой плоскости определяется нулями квадратного уравнения (то есть как квадрика), то вырожденными кониками являются: пустое множество , точка или пара прямых, которые могут быть параллельны, пересекаться в какой-то момент или совпадают. Случай пустого множества может соответствовать либо паре комплексно-сопряженных параллельных прямых, например, в уравнении $x^{2}+1=0,$ или к воображаемому эллипсу , например, с уравнением $x^{2}+y^{2}+1=0.$ Воображаемый эллипс не удовлетворяет общему определению вырождения и поэтому обычно не считается вырожденным. ^[64]Случай с двумя линиями возникает, когда квадратичное выражение разбивается на два линейных фактора, нули каждого из которых дают строку. В случае, когда коэффициенты одинаковы, соответствующие линии совпадают, и мы будем называть линию как двойная линия (линия с кратностью 2) и это предыдущий случай касательной секущей плоскости.

В реальной проективной плоскости, поскольку параллельные прямые встречаются в бесконечной точке прямой, случай параллельных линий евклидовой плоскости можно рассматривать как пересекающиеся линии. Однако, поскольку точка пересечения является вершиной конуса, сам конус вырождается в цилиндр , т. е. с вершиной, обращенной на бесконечность. Остальные сечения в этом случае называются цилиндрическими сечениями . ^[65] Невырожденные цилиндрические сечения представляют собой эллипсы (или круги).

Если смотреть с точки зрения комплексной проективной плоскости, вырожденные случаи вещественной квадрики (т. е. квадратное уравнение имеет действительные коэффициенты) можно рассматривать как пару прямых, возможно, совпадающих. Пустое множество может представлять собой линию на бесконечности, рассматриваемую как двойную линию, (реальная) точка — это пересечение двух комплексно-сопряженных линий , а также другие случаи, как упоминалось ранее.

Чтобы отличить вырожденные случаи от невырожденных случаев (включая пустое множество с последним) с использованием матричных обозначений, пусть $β$ будет определителем матрицы 3 × 3 конического сечения, то есть $β = (AC - Б 2 / 4) Ж + КРОВАТЬ - CD 2 - НО 2 / 4$ ; и пусть $α = B 2 - 4 AC$ — дискриминант. Тогда коническое сечение невырождено тогда и только тогда, когда $β \neq 0$ . Если $β = 0,$ у нас есть точка, когда $α < 0$ , две параллельные прямые (возможно, совпадающие), когда $α = 0$ , или две пересекающиеся линии, когда $α > 0$ . ^[66]

Карандаш конических

(Невырожденная) коника полностью определяется пятью точками , находящимися в общем положении (не три коллинеарных ) на плоскости, а система коник, проходящих через фиксированный набор из четырех точек (опять же в плоскости и не три коллинеарных), называется карандаш конических . ^[67]Четыре общие точки называются базовыми точками карандаша. Через любую точку, кроме базовой, проходит одна коника карандаша. Это понятие обобщает карандаш кругов . ^[68]

Пересекающиеся две коники

Решения системы двух уравнений второй степени с двумя переменными можно рассматривать как координаты точек пересечения двух общих конических сечений. В частности, две коники могут не иметь ни одной, а могут иметь две или четыре совпадающие точки пересечения. Эффективный метод поиска этих решений использует однородное матричное представление конических сечений 3 × 3 , то есть симметричную матрицу , которая зависит от шести параметров.

Процедура поиска точек пересечения состоит из следующих шагов, где коники представлены матрицами: ^[69]

учитывая две коники $C_{1}$ и $C_{2}$ , рассмотрим пучок коник, заданный их линейной комбинацией $\lambda C_{1}+\mu C_{2}.$
определить однородные параметры $(\lambda ,\mu )$ которые соответствуют вырожденной конике карандаша. Это можно сделать, наложив условие, что $\det(\lambda C_{1}+\mu C_{2})=0$ и решение для $\lambda$ и $\mu$ . Они оказываются решениями уравнения третьей степени.
учитывая вырожденную конику $C_{0}$ , определите две, возможно совпадающие, линии, составляющие его.
пересечь каждую идентифицированную линию с одной из двух исходных коник; этот шаг можно эффективно выполнить, используя двойственное коническое представление $C_{0}$
точки пересечения будут представлять собой решения исходной системы уравнений.

Обобщения

Коники могут быть определены над другими полями (то есть в других геометриях Паппа ). Однако следует проявлять осторожность, когда поле имеет характеристику 2, поскольку некоторые формулы использовать невозможно. Например, использованные выше матричные представления требуют деления на 2.

Обобщением невырожденной коники на проективной плоскости является овал . Овал — это множество точек, обладающее следующими свойствами, которыми обладают коники: 1) любая прямая не пересекает овал ни в одной, ни в одной или двух точках, 2) в любой точке овала существует единственная касательная линия.

Обобщение свойств фокуса коник на случай, когда имеется более двух фокусов, дает множества, называемые обобщенными кониками .

Пересечение эллиптического конуса со сферой представляет собой сферический конус , который имеет много общих свойств с плоскими кониками.

В других областях математики

Классификация на эллиптические, параболические и гиперболические широко распространена в математике и часто делит поле на четко различимые подполя. Классификация чаще всего возникает из-за наличия квадратичной формы (в двух переменных это соответствует ассоциированному дискриминанту ), но может соответствовать и эксцентриситету.

Классификации квадратичных форм:

Квадратичные формы

Квадратичные формы над действительными числами классифицируются по закону инерции Сильвестра , а именно по их положительному индексу, нулевому индексу и отрицательному индексу: квадратичная форма от n переменных может быть преобразована в диагональную форму , как

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\cdots -x_{k+\ell }^{2},

где количество коэффициентов +1, k, является положительным индексом, количество коэффициентов -1, ℓ , является отрицательным индексом, а остальные переменные представляют собой нулевой индекс m, поэтому

k+\ell +m=n.

В двух переменных ненулевые квадратичные формы классифицируются как:

$x^{2}+y^{2}$ – положительно-определенный (включен и отрицательный), соответствующий эллипсам,
$x^{2}$ – вырожденный, соответствующий параболам, и
$x^{2}-y^{2}$ – неопределенный, соответствующий гиперболам.

В двух переменных квадратичные формы классифицируются по дискриминанту, аналогично коникам, но в более высоких измерениях более полезной классификацией является определенная (все положительные или все отрицательные), вырожденная (некоторые нули) или неопределенная (смесь положительных и отрицательных, но никаких нулей). Эта классификация лежит в основе многих последующих.

Кривизна

Гауссова кривизна поверхности эллиптическая описывает бесконечно малую геометрию и может в каждой точке быть либо положительной – геометрия , нулевой – евклидовой геометрией (плоская, парабола), либо отрицательной – гиперболической геометрией ; бесконечно мало, во втором порядке поверхность выглядит как график

x^{2}+y^{2},

x^{2}

(или 0), или

x^{2}-y^{2}

. Действительно, по теореме об униформизации каждую поверхность можно считать глобально (в каждой точке) положительно искривленной, плоской или отрицательно искривленной. В более высоких измерениях тензор кривизны Римана является более сложным объектом, но многообразия с постоянной кривизной сечения являются интересными объектами изучения и имеют совершенно разные свойства, как обсуждалось в разделе кривизны сечения .

PDE второго порядка

Уравнения в частных производных (ЧДУ) второго порядка в каждой точке классифицируются как эллиптические, параболические или гиперболические, соответственно, поскольку их члены второго порядка соответствуют эллиптической, параболической или гиперболической квадратичной форме. Поведение и теория этих разных типов ЧДЭ разительно отличаются – показательными примерами являются то, что уравнение Пуассона является эллиптическим, уравнение теплопроводности – параболическим, а волновое уравнение – гиперболическим.

Классификации эксцентриситета включают:

Преобразования Мёбиуса: Вещественные преобразования Мёбиуса (элементы $PSL 2 (R)$ или его 2-кратного покрытия $SL 2 (R)$ ) классифицируются как эллиптические, параболические или гиперболические соответственно, поскольку их полуслед равен $0\leq |\operatorname {tr} |/2<1,$ $|\operatorname {tr} |/2=1,$ или $|\operatorname {tr} |/2>1,$ зеркальное отражение классификации по эксцентриситету.
Отношение дисперсии к среднему значению: Отношение дисперсии к среднему классифицирует несколько важных семейств дискретных распределений вероятностей : постоянное распределение — как круговое (эксцентриситет 0), биномиальные распределения — как эллиптические, распределения Пуассона — как параболические, а отрицательные биномиальные распределения — как гиперболические. Это уточняется на кумулянтах некоторых дискретных распределений вероятностей .

Смотрите также

Примечания

^ Пустое множество включено как вырожденная коника, поскольку оно может возникнуть как решение этого уравнения.
^ По словам Плутарха , это решение было отвергнуто Платоном на том основании, что его нельзя было достичь, используя только линейку и циркуль, однако такая интерпретация утверждения Плутарха подверглась критике. Boyer 2004 , стр. 14, сноска 14.
^ Эта форма уравнения не распространяется на поля второй характеристики.
^ Рассмотрим поиск середины отрезка прямой с одной конечной точкой на бесконечности.
^ Коксетер и несколько других авторов используют термин «самосопряженный» вместо «абсолютный».

Библиография

Акопян А.В.; Заславский, А.А. (2007). Геометрия коник . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4323-9 .
Артзи, Рафаэль (2008) [1965], Линейная геометрия , Дувр, ISBN 978-0-486-46627-9
Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Дувр, ISBN 978-0-486-43832-0
Браннан, Дэвид А.; Эсплен, Мэтью Ф.; Грей, Джереми Дж. (1999), Геометрия , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-59787-6
Коксетер, HSM (1964), Проективная геометрия , Блейсделл, ISBN 9780387406237
Коксетер, HSM (1993), Реальная проекционная плоскость , Springer Science & Business Media
Даунс, Дж. В. (2003) [1993], Практические конические сечения: геометрические свойства эллипсов, парабол и гипербол , Дувр, ISBN 0-486-42876-1
Ивс, Ховард (1963), Обзор геометрии (первый том) , Бостон: Аллин и Бэкон
Глезер, Георг; Стачел, Хельмут; Оденал, Борис (2016), Вселенная коников: от древних греков до событий 21 века , Берлин: Springer
Хартманн, Эрих, Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского (PDF) , получено 20 сентября 2014 г. (PDF; 891 КБ).
Кац, Виктор Дж. (1998), История математики / Введение (2-е изд.), Аддисон Уэсли Лонгман, ISBN 978-0-321-01618-8
Кендиг, Кейт (2005), Conics , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-335-1
Фолкнер, TE (1952), Проективная геометрия (2-е изд.), Эдинбург: Оливер и Бойд, ISBN 9780486154893
Мерсерв, Брюс Э. (1983) [1959], Фундаментальные концепции геометрии , Дувр, ISBN 0-486-63415-9
Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1970), Колледжское исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN 76087042
Рихтер-Геберт, Юрген (2011). Перспективы проективной геометрии: экскурсия по реальной и сложной геометрии . Спрингер. ISBN 9783642172854 .
Сэмюэл, Пьер (1988), Проективная геометрия , Тексты для студентов по математике (Чтения по математике), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
Томас, Джордж Б.; Финни, Росс Л. (1979), Исчисление и аналитическая геометрия (пятое изд.), Аддисон-Уэсли, с. 434, ISBN 0-201-07540-7
Уилсон, Вашингтон; Трейси, Дж.И. (1925), Аналитическая геометрия (пересмотренная редакция), DC Heath and Company

Внешние ссылки

[11] Пустое множество включено как вырожденная коника, поскольку оно может возникнуть как решение этого уравнения.

[26] По словам Плутарха , это решение было отвергнуто Платоном на том основании, что его нельзя было достичь, используя только линейку и циркуль, однако такая интерпретация утверждения Плутарха подверглась критике. Boyer 2004 , стр. 14, сноска 14.

[48] Эта форма уравнения не распространяется на поля второй характеристики.

[49] Рассмотрим поиск середины отрезка прямой с одной конечной точкой на бесконечности.

[60] Коксетер и несколько других авторов используют термин «самосопряженный» вместо «абсолютный».

[1] Евс 1963 , с. 319

[2] Браннан, Эсплен и Грей 1999 , с. 13

[3] Коэн, Д., Предварительное исчисление: с тригонометрией единичного круга ( Стэмфорд : Thomson Brooks/Cole , 2006), стр. 844 .

[4] Томас и Финни 1979 , с. 434

[5] Браннан, Эсплен и Грей 1999 , с. 19; Кендиг 2005 , стр. 101–1. 86, 141

[6] Браннан, Эсплен и Грей 13–16

[7] Браннан, Эсплен и Грей 11–16

[8] Проттер и Морри 1970 , стр. 314–328, 585–589

[9] Проттер и Морри 1970 , стр. 290–314

[10] Уилсон и Трейси 1925 , с. 130

[12] Проттер и Морри 1970 , с. 316

[13] Браннан, Эсплен и Грей 1999 , с. 30

[14] Фанчи, Джон Р. (2006), Курс повышения квалификации по математике для ученых и инженеров , John Wiley and Sons, стр. 44–45, ISBN 0-471-75715-2 , раздел 3.2, стр. 45

[Protter_1970_326-15] Перейти обратно: ^а ^б Проттер и Морри 1970 , с. 326

[16] Уилсон и Трейси 1925 , с. 153

[17] Петтофреззо, Энтони, Матрицы и преобразования , Dover Publ., 1966, стр. 110.

[Spain-18] Перейти обратно: ^а ^б ^с Испания, Б., Аналитическая коника (Минеола, Нью-Йорк: Дувр, 2007). Первоначально опубликовано в 1957 году издательством Pergamon .

[19] Аюб, Аюб Б., «Эксцентриситет конического сечения», The College Mathematics Journal 34 (2), март 2003 г., 116–121.

[20] Аюб, AB, «Возвращение к центральным коническим сечениям», Mathematics Magazine 66 (5), 1993, 322–325.

[21] Браннан, Эсплен и Грей 1999 , с. 17

[WW-22] Уитворт, Уильям Аллен . Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений , Забытые книги, 2012 (оригинал Deighton, Bell, and Co., 1866), стр. 203.

[23] Памфилос, Париж (2014). «Галерея коник по пяти элементам» (PDF) . Форум Геометрикорум . 14 : 295–348.

[24] Браннан, Эсплен и Грей 1999 , с. 28

[25] Даунс 2003 , стр. 36 и далее.

[27] Бойер 2004 , стр. 17–18.

[28] Бойер 2004 , с. 18

[29] Кац 1998 , с. 117

[30] Хит, TL, Тринадцать книг элементов Евклида , Том. I, Дувр, 1956, стр.16.

[31] Евс 1963 , с. 28

[32] Аполлоний Пергский, Трактат о конических сечениях , под редакцией Т.Л. Хита (Кембридж: Cambridge University Press, 2013).

[33] Евс 1963 , с. 30.

[34] Бойер 2004 , с. 36.

[35] Тернер, Ховард Р. (1997). Наука в средневековом исламе: иллюстрированное введение . Издательство Техасского университета . п. 53. ИСБН 0-292-78149-0 .

[36] Бойер, CB , и Мерцбах, Калифорнийский университет , История математики ( Хобокен : John Wiley & Sons, Inc. , 1968), стр. 219 .

[37] Ван дер Варден, Б.Л. , Геометрия и алгебра в древних цивилизациях ( Берлин / Гейдельберг : Springer Verlag , 1983), стр. 73 .

[38] Сидоли, Натан; Бруммелен, Глен Ван (30 октября 2013 г.). Из Александрии через Багдад: обзоры и исследования древнегреческих и средневековых исламских математических наук в честь Дж. Л. Берггрена . Springer Science & Business Media. п. 110. ИСБН 978-3-642-36736-6 .

[39] Варден, Бартель Л. ван дер (29 июня 2013 г.). История алгебры: от аль-Хорезми до Эмми Нётер . Springer Science & Business Media. п. 29. ISBN 978-3-642-51599-6 .

[40] Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (3-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 30 . ISBN 978-1-4419-6052-8 .

[41] «Аполлоний Пергский Коники, книги с первой по седьмую» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 мая 2013 года . Проверено 10 июня 2011 г.

[42] Кац 1998 , с. 126.

[43] Бойер 2004 , с. 110.

[BoyerDeWitt-44] Перейти обратно: ^а ^б Бойер 2004 , с. 114.

[45] Браннан, Эсплен и Грей 1999 , с. 27

[46] Артзи 2008 , с. 158, Тхм 3-5.1

[47] Артзи 2008 , с. 159

[50] Фолкнер 1952 , с. 71

[51] Фолкнер 1952 , с. 72

[52] Евс 1963 , с. 320

[53] Коксетер 1993 , с. 80

[Hartmann1-54] Хартманн , с. 38

[55] Мерсерве 1983 , стр. 65.

[56] Лекции Якоба Штайнера по синтетической геометрии , Б. Г. Тойбнер, Лейпциг, 1867 г. (из Google Books: (немецкий) Часть II следует за Частью I ), Часть II, стр. 96

[57] Хартманн , с. 19

[58] Фолкнер 1952 , стр. 48–49 .

[59] Коксетер 1964 , с. 60

[61] Коксетер 1964 , с. 80

[62] Фолкнер 1952 , стр. 52–53.

[63] Даунс 2003 , с. 5

[64] Даунс 2003 , с. 14

[65] Даунс 2003 , с. 19

[66] Акопян и Заславский 2007 , с. 70

[67] Вильчинский, EJ (1916), «Некоторые замечания об историческом развитии и будущих перспективах дифференциальной геометрии плоских кривых», Bull. амер. Математика. Соц. , 22 (7): 317–329, doi : 10.1090/s0002-9904-1916-02785-6 .

[68] Браннан, Эсплен и Грей 1999 , с. 6

[69] Корн, Г.А., и Корн, Т.М. , Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора ( Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications , 1961), стр. 42 .

[70] «MathWorld: Цилиндрическое сечение» .

[71] Лоуренс, Дж. Деннис (1972), Каталог особых плоских кривых , Дувр, стр. 63 , ISBN 0-486-60288-5

[72] Фолкнер 1952 , стр. 64 .

[73] Бергер, М. , Раскрытая геометрия: лестница Иакова к современной высшей геометрии (Берлин/Гейдельберг: Springer, 2010), стр. 127 .

[74] Рихтер-Геберт 2011 , с. 196

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[а]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[б]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[с]

[д]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[Это]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]