Соприкасающаяся кривая
В дифференциальной геометрии соприкасающаяся кривая — это плоская кривая из данного семейства, имеющая максимально возможный порядок контакта с другой кривой. То есть, если F — семейство гладких кривых , C — гладкая кривая (вообще говоря, не принадлежащая F ), а P — точка на C , то соприкасающаяся кривая из F в точке P — это кривая из F , проходящая через P больше своих производных (последовательно, от первой производной) в P, равных производным C. и имеет как можно [1] [2]
Этот термин происходит от латинского корня «соприкасаться», то есть целоваться , потому что две кривые соприкасаются друг с другом более тесно, чем простое касание . [3]
Примеры
[ редактировать ]
Примеры соприкасающихся кривых разного порядка включают:
- Касательная линия к кривой C в точке p , соприкасающаяся кривая из семейства прямых линий . Касательная линия имеет общую первую производную ( наклон ) с C имеет контакт первого порядка с C. и, следовательно , [1] [2] [4]
- Соприкасающийся круг с C в точке p , соприкасающаяся кривая из семейства окружностей . Соприкасающийся круг имеет общие первую и вторую производные (эквивалентно наклон и кривизну с C. ) [1] [2] [4]
- Соприкасающаяся парабола с C в точке p кривая из семейства парабол , имеет контакт третьего порядка с C. , соприкасающаяся [2] [4]
- Соприкасающаяся коника с C в точке p кривая из семейства конических сечений , имеет контакт четвертого порядка с C. , соприкасающаяся [2] [4]
Обобщения
[ редактировать ]Понятие соприкосновения можно обобщить на пространства более высокой размерности и на объекты, которые не являются кривыми внутри этих пространств. Например, плоскость, соприкасающаяся с пространственной кривой, — это плоскость, которая имеет контакт второго порядка с кривой. Это настолько высокий порядок, насколько это возможно в общем случае. [5]
Говорят, что в одном измерении аналитические кривые соприкасаются в какой-то точке, если они разделяют первые три члена своего разложения Тейлора относительно этой точки. Эту концепцию можно обобщить до супероскуляции , при которой две кривые имеют больше общего, чем первые три члена их разложения Тейлора.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Раттер, JW (2000), Геометрия кривых , CRC Press, стр. 174–175, ISBN 9781584881667 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и Уильямсон, Бенджамин (1912), Элементарный трактат по дифференциальному исчислению: содержащий теорию плоских кривых с многочисленными примерами , Лонгманс, Грин, с. 309 .
- ^ Макс, Блэк (1954–1955), «Метафора», Труды Аристотелевского общества , Новая серия, 55 : 273–294 . Перепечатано в Джонсон, Марк, изд. (1981), Философские взгляды на метафору , University of Minnesota Press, стр. 63–82, ISBN 9780816657971 . Стр. 69 : «Соприкасающиеся кривые не целуются долго и быстро возвращаются к более прозаическому математическому контакту».
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Тейлор, Джеймс Морфорд (1898), Элементы дифференциального и интегрального исчисления: с примерами и приложениями , Ginn & Company, стр. 109–110 .
- ^ Крейциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Математические экспозиции Университета Торонто, том. 11, Courier Dover Publications, стр. 32–33, ISBN. 9780486667218 .