Соприкасающийся круг

«Круги поцелуев» перенаправляются сюда. О теореме Декарта о взаимно касающихся (целующихся) кругах см. Теорему Декарта .

Соприкасающийся круг

Соприкасающиеся круги архимедовой спирали , вложенные по теореме Тейта-Кнезера . «Сама спираль не нарисована: мы видим ее как геометрическое место точек, где круги особенно близки друг к другу».

Соприкасающийся круг — это круг , который лучше всего аппроксимирует кривизну кривой в определенной точке. Он касается кривой в этой точке и имеет ту же кривизну, что и кривая в этой точке. Соприкасающийся круг позволяет понять локальное поведение кривой и обычно используется в дифференциальной геометрии и исчислении.

Более формально, в дифференциальной геометрии кривых , соприкасающаяся окружность достаточно гладкой плоской кривой в данной точке p на кривой традиционно определялась как окружность, проходящая через p и пару дополнительных точек на кривой, бесконечно близких к p . Ее центр лежит на внутренней нормали , а ее кривизна определяет кривизну данной кривой в этой точке. Этот круг, который среди всех касательных кругов в данной точке наиболее близко приближается к кривой, был назван circulus osculans (лат. «круг поцелуев») Лейбницем .

Центр и радиус соприкасающейся окружности в данной точке называются центром кривизны и радиусом кривизны кривой в этой точке. Геометрическую конструкцию описал Исаак Ньютон в своих «Началах» :

В любых местах задана скорость, с которой тело описывает данную фигуру посредством сил, направленных к какому-то общему центру: найти этот центр.

— Исаак Ньютон, «Начала» ; ПРЕДЛОЖЕНИЕ V. ЗАДАЧА I.

Нетехническое описание

Представьте себе автомобиль, движущийся по извилистой дороге на огромной плоской плоскости. Внезапно в какой-то момент дороги рулевое колесо фиксируется в своем нынешнем положении. После этого машина движется по кругу, «целуя» дорогу в точке блокировки. Кривизна . круга равна кривизне дороги в этой точке Этот круг является соприкасающимся кругом кривой дороги в этой точке.

Математическое описание

См. также: Кривизна

Пусть γ ( s ) — регулярная параметрическая плоская кривая , где s — длина дуги ( натуральный параметр ). Это определяет единичный касательный вектор T ( s ) , единичный вектор нормали N ( s ) , кривизну со знаком k ( s ) и радиус кривизны R ( s ) в каждой точке, для которой s составлено :

$$T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.$$

Предположим, что P — точка на γ , где k ≠ 0 . Соответствующим центром кривизны является точка Q на расстоянии R вдоль N в том же направлении, если k положительное, и в противоположном направлении, если k отрицательное. Окружность с центром в точке Q и радиусом R называется соприкасающейся с кривой γ в точке P. окружностью ,

Если C то соприкасающаяся окружность определяется аналогичным образом с использованием главного вектора нормали N. — регулярная пространственная кривая , Он лежит в соприкасающейся плоскости натянутой касательными и главными нормальными векторами T и N в точке P. , плоскости ,

Плоская кривая может быть задана и в другой регулярной параметризации.

$$\gamma (t)={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}}$$

где регулярное означает, что $\gamma '(t)\neq 0$ для всех $t$. Тогда формулы для знаковой кривизны k ( t ), нормального единичного вектора N ( t ), радиуса кривизны R ( t ) и центра Q ( t ) соприкасающегося круга:

$$k(t)={\frac {x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}{\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}},\qquad N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}$$

$$R(t)=\left|{\frac {\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}{x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}}\right|\qquad {\text{and}}\qquad Q(t)=\gamma (t)+{\frac {1}{k(t)\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}\,.$$

Декартовы координаты

Мы можем получить центр соприкасающегося круга в декартовых координатах, если заменим t = x и y = f ( x ) на некоторую функцию f . Если мы проведем расчеты, результаты для координат X и Y центра соприкасающегося круга будут следующими:

$$x_{c}=x-f'{\frac {1+f'^{2}}{f''}}\quad {\text{and}}\quad y_{c}=f+{\frac {1+f'^{2}}{f''}}$$

Прямой

Учтите три момента ${\textstyle P_{0}}$, ${\textstyle P_{1}}$ и ${\textstyle P_{2}}$, где ${\textstyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$. Чтобы найти центр окружности, проходящей через эти точки, нам нужно сначала найти биссектрису отрезка. ${\textstyle P_{0}P_{1}}$ и ${\textstyle P_{1}P_{2}}$ и тогда точка ${\textstyle C}$ где эти линии пересекаются. Поэтому координаты г. ${\textstyle C}$ получаются путем решения линейной системы двух уравнений:

$$\left(\delta x_{i}\right)x_{c}+\left(\delta y_{i}\right)y_{c}={\tfrac {1}{2}}\left(\delta ^{2}x_{i}+\delta ^{2}y_{i}\right)\quad i=1,2$$

где ${\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}$, ${\textstyle \delta ^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}$ для ${\textstyle u=x,y}$.

Рассмотрим теперь кривую ${\textstyle P=P(\tau )}$ и установить ${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$, ${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$ и ${\textstyle P_{2}=P(\tau +d\tau )}$. Ко второму заказу в ${\textstyle d\tau }$, у нас есть

$${\begin{aligned}\delta u_{1}=&{\dot {u}}d\tau -{\frac {1}{2}}{\ddot {u}}\,d\tau ^{2}\\\delta ^{2}u_{1}=&2u{\dot {u}}\,d\tau -d\tau ^{2}\left({\dot {u}}^{2}+u{\ddot {u}}\right)\end{aligned}}$$

и аналогичное выражение для ${\textstyle \delta u_{2}}$ и ${\textstyle \delta ^{2}u_{2}}$ где знак ${\textstyle d\tau ^{2}}$ перевернут. Разработка уравнения для ${\textstyle x_{c},y_{c}}$ и группируем термины в ${\textstyle d\tau }$ и ${\textstyle d\tau ^{2}}$, мы получаем

$${\begin{aligned}{\dot {x}}(x_{c}-x)+{\dot {y}}(y_{c}-y)&=0\\{\ddot {x}}(x_{c}-x)+{\ddot {y}}(y_{c}-y)&={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\end{aligned}}$$

Обозначая ${\textstyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {P_{1}C}}}$, первое уравнение означает, что ${\textstyle \mathbf {r} }$ ортогонален единичному касательному вектору в точке ${\textstyle P_{1}}$:

$$\mathbf {r} \cdot \mathbf {t} =0$$

Второе соотношение означает, что

$$\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =1$$

где

$$\mathbf {k} ={\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}{\begin{bmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{bmatrix}}$$

– вектор кривизны. В плоской геометрии ${\textstyle \mathbf {k} }$ ортогонален ${\textstyle \mathbf {t} }$ потому что

$$\mathbf {t} \cdot \mathbf {k} =\mathbf {t} {\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(\mathbf {t} \cdot \mathbf {t} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(1)=0$$

Поэтому ${\textstyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =kr}$ а радиус соприкасающегося круга в точности обратен кривизне.

Решая уравнение для координат ${\textstyle C}$, мы находим

$${\begin{aligned}x_{c}-x=&{\frac {{\dot {y}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\\y_{c}-y=&{\frac {-{\dot {x}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\end{aligned}}$$

задача

Рассмотрим кривую ${\textstyle C}$ определяется уравнением

$$f(x,y)=0$$

которую мы можем представить как участок поверхности ${\textstyle z=f(x,y)}$ у самолета ${\textstyle z=0}$. Нормальный ${\textstyle \mathbf {n} }$ к кривой в точке ${\textstyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ градиент в этой точке

$$\mathbf {n} =(f_{x},f_{y})$$

Следовательно, центры касательных окружностей ${\textstyle B_{\alpha }}$ даны

$$X_{c}=x_{0}-\alpha f_{x}\,\,;\,\,Y_{c}=y_{0}-\alpha f_{y}$$

где ${\textstyle \alpha }$ является параметром. Для данного ${\textstyle \alpha ,}$радиус ${\textstyle R}$ из ${\textstyle B_{\alpha }}$ является

$$R^{2}=\alpha ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})$$

Мы хотим найти среди всех возможных кругов ${\textstyle B_{\alpha }}$, тот, который лучше всего соответствует кривой.

Координаты точки ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ можно записать как

$$x_{1}=X_{c}+R\cos \theta \,\,;\,\,y_{1}=Y_{c}+R\sin \theta$$

где для ${\textstyle \theta =\theta _{0}}$, ${\textstyle P_{1}=P_{0}}$, то есть

$$R\cos \theta _{0}=\alpha f_{x}\,\,;\,\,R\sin \theta _{0}=\alpha f_{y}$$

Рассмотрим теперь точку ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ близко к ${\textstyle P_{0}}$, где его «угол» равен ${\textstyle \theta _{1}=\theta _{0}+d\theta }$. Разводя тригонометрические функции до второго порядка по ${\textstyle d\theta }$ и используя приведенные выше соотношения, координаты $P_{1}$ являются

$${\begin{aligned}x_{1}=&x_{0}-\alpha f_{y}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{x}\left(d\theta \right)^{2}\\y_{1}=&y_{0}+\alpha f_{x}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{y}\left(d\theta \right)^{2}\end{aligned}}$$

Теперь мы можем оценить функцию ${\textstyle f}$ в точку ${\textstyle P_{1}}$ и его вариация $f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})$. Вариация равна нулю в первом порядке по ${\textstyle d\theta }$ по построению (к первому порядку в ${\textstyle \theta }$, ${\textstyle P_{1}}$ находится на касательной к кривой ${\textstyle C}$). Изменение, пропорциональное $(d\theta )^{2}$ является

$$df=-{\frac {1}{2}}\alpha \left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)$$

и эта вариация равна нулю, если мы выберем

$$\alpha ={\frac {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}{f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}}}$$

Следовательно, радиус соприкасающегося круга равен

$$R=\left|{\frac {\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{3/2}}{\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)}}\right|$$

Для явной функции $f(x,y)=y-g(x)$, мы находим результаты предыдущего раздела.

Свойства

Для кривой C, заданной достаточно гладкими параметрическими уравнениями (дважды непрерывно дифференцируемыми), соприкасающаяся окружность может быть получена с помощью предельной процедуры: это предел окружностей, проходящих через три различные точки на C, когда эти точки приближаются к P . Это полностью аналогично построению касательной к кривой как предела секущих линий, проходящих через пары различных точек на C приближающихся к P. ,

Соприкасающаяся окружность S с плоской кривой C в регулярной точке P может характеризоваться следующими свойствами:

• Окружность S через P. проходит
• Окружность S и кривая C имеют общую касательную линию в точке P и, следовательно, общую нормальную линию.
• Вблизи P расстояние между точками кривой C и окружностью S в нормальном направлении уменьшается как куб или высшая степень расстояния до P в тангенциальном направлении.

Обычно это выражается как «кривая и соприкасающаяся с ней окружность имеют контакт второго или более высокого порядка » в P. точке Грубо говоря, векторные функции, представляющие и S , согласуются вместе со своими первой и второй производными в точке P. C

Если производная кривизны по s не равна нулю в точке P то соприкасающаяся окружность пересекает кривую C в точке P. , Точки P, в которых производная кривизны равна нулю, называются вершинами . Если P — вершина, то C и соприкасающаяся с ней окружность имеют контакт не ниже третьего порядка. Если, кроме того, кривизна имеет ненулевой локальный максимум или минимум в точке P , то соприкасающаяся окружность касается кривой C в точке P , но не пересекает ее.

Кривая C может быть получена как огибающая однопараметрического семейства соприкасающихся окружностей. центры кривизны, образуют другую кривую, эволютой С. Их центры, т. е . называемую Вершины C соответствуют особым точкам на его эволюте.

Внутри любой дуги кривой C, внутри которой кривизна монотонна (то есть вдали от любой вершины кривой), все соприкасающиеся окружности не пересекаются и вложены друг в друга. Этот результат известен как теорема Тейта-Кнезера .

Примеры

Парабола

Соприкасающаяся окружность параболы в вершине имеет радиус 0,5 и контакт четвертого порядка.

Для параболы

$$\gamma (t)={\begin{bmatrix}t\\t^{2}\end{bmatrix}}$$

радиус кривизны

$$R(t)=\left|{\frac {\left(1+4t^{2}\right)^{3/2}}{2}}\right|$$

В вершине $\gamma (0)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$ радиус кривизны равен R (0) = 0,5 (см. рисунок). Здесь парабола имеет контакт четвертого порядка со своей соприкасающейся окружностью. При больших t радиус кривизны увеличивается ~ t ³ , то есть кривая все больше и больше выпрямляется.

Кривая Лиссажу

Анимация соприкасающегося круга с кривой Лиссажу

Кривую Лиссажу с соотношением частот (3:2) можно параметризовать следующим образом.

$\gamma (t)={\begin{bmatrix}\cos(3t)\\\sin(2t)\end{bmatrix}}.$

Он имеет знаковую кривизну k ( t ) , нормальный единичный вектор N ( t ) и радиус кривизны R ( t ), заданные формулой

$$k(t)={\frac {6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+5)}{\left(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-144(\cos t)^{6}\right)^{3/2}}}\,,$$

$$N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{bmatrix}-2\cos(2t)\\-3\sin(3t)\end{bmatrix}}$$

и

$$R(t)=\left|{\frac {\left(232\cos ^{4}(t)-97\cos ^{2}(t)+13-144\cos ^{6}(t)\right)^{3/2}}{6\cos(t)\left(8\cos ^{4}(t)-10\cos ^{2}(t)+5\right)}}\right|.$$

См. рисунок для анимации. Там "вектор ускорения" - это вторая производная ${\textstyle {\frac {d^{2}\gamma }{ds^{2}}}}$ относительно длины дуги s .

Циклоида

Циклоида (синий), ее соприкасающийся круг (красный) и эволюция (зеленый).

Циклоиду радиуса r : можно параметризовать следующим образом

$$\gamma (t)={\begin{bmatrix}r\left(t-\sin t\right)\\r\left(1-\cos t\right)\end{bmatrix}}$$

Его кривизна определяется следующей формулой:

$$\kappa (t)=-{\frac {\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}{4r}}$$

что дает:

$$R(t)={\frac {4r}{\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}}$$

См. также

• Теорема об упаковке кругов
• Соприкасающаяся кривая
• Соприкасающаяся сфера

Дальнейшее чтение

Некоторые исторические заметки по изучению кривизны см.

• Граттан-Гиннесс и HJM Бос (2000). От исчисления к теории множеств 1630–1910: вводная история . Издательство Принстонского университета. п. 72. ИСБН  0-691-07082-2 .
• Рой Портер, изд. (2003). Кембриджская история науки: т. 4 - Наука восемнадцатого века . Издательство Кембриджского университета. п. 313. ИСБН  0-521-57243-6 .

Информацию о применении к маневрирующим транспортным средствам см.

• Дж. К. Александер и Дж. Х. Мэддокс (1988): О маневрировании транспортных средств. дои : 10.1137/0148002
• Мюррей С. Кламкин (1990). Задачи по прикладной математике: избранное из обзора SIAM . Общество промышленной и прикладной математики. п. 1. ISBN  0-89871-259-9 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Соприкасающийся круг» . Математический мир .
• math3d: оскулирующий_круг