Вершина (кривая)

Не путать с Vertex (геометрия) .

Чтобы узнать о других значениях, см. Вершина (значения) .

Эллипс (красный) и его эволюция (синий). Точки — это вершины кривой, каждая из которых соответствует точке возврата на эволюте.

В геометрии плоских кривых вершина — это точка, в которой первая производная кривизны равна нулю. Обычно это локальный максимум или минимум кривизны. а некоторые авторы определяют вершину как локальный экстремум кривизны. Однако могут возникнуть и другие особые случаи, например, когда вторая производная также равна нулю или когда кривизна постоянна. для пространственных кривых С другой стороны, вершина — это точка, в которой кручение исчезает.

Примеры

Гипербола имеет две вершины, по одной на каждой ветви; они являются ближайшими из любых двух точек, лежащих на противоположных ветвях гиперболы, и лежат на главной оси. На параболе единственная вершина лежит на оси симметрии и имеет квадратичный вид:

$ax^{2}+bx+c\,\!$

его можно найти, заполнив квадрат или дифференцировав . У эллипса две из четырех вершин лежат на большой оси, а две — на малой оси.

Для круга постоянной кривизны каждая точка является вершиной.

Бугорки и соприкосновение

Вершины — это точки, в которых кривая имеет четырехточечный контакт с соприкасающейся окружностью в этой точке. Напротив, общие точки на кривой обычно имеют только трехточечный контакт с соприкасающейся окружностью. Эволюта если кривой обычно имеет точку возврата, у кривой есть вершина; другие, более вырожденные и неустойчивые особенности могут возникнуть в вершинах более высокого порядка, в которых соприкасающаяся окружность имеет контакт более высокого порядка, чем четыре. Хотя одна общая кривая не будет иметь вершин более высокого порядка, они обычно встречаются в однопараметрическом семействе кривых, в кривой в семействе, для которой две обычные вершины сливаются, образуя вершину более высокого порядка, а затем аннигилируют.

Набор симметрии кривой имеет конечные точки в точках возврата, соответствующих вершинам, а срединная ось , подмножество набора симметрии , также имеет конечные точки в точках возврата.

Другая недвижимость

Согласно классической теореме о четырех вершинах , каждая простая замкнутая плоская гладкая кривая должна иметь не менее четырех вершин. Более общий факт состоит в том, что каждая простая кривая в замкнутом пространстве, лежащая на границе выпуклого тела или даже ограничивающая локально выпуклый диск, должна иметь четыре вершины. Каждая кривая постоянной ширины должна иметь не менее шести вершин.

Если плоская кривая двусторонне симметрична , она будет иметь вершину в точке или точках, где ось симметрии пересекает кривую. Таким образом, понятие вершины кривой тесно связано с понятием оптической вершины — точки, где оптическая ось пересекает поверхность линзы .

Ссылки

• Агостон, Макс К. (2005), Компьютерная графика и геометрическое моделирование: математика , Springer, ISBN  9781852338176 .
• Крейзер, Маркос; Тейшейра, Ральф; Балестро, Витор (2018), «Замкнутые циклоиды в нормированной плоскости», Monthly Books for Mathematics , 185 (1): 43–60, arXiv : 1608.01651 , doi : 10.1007/s00605-017-1030-5 , MR   3745700 , S2CID   25406209 6 .
• Фукс, Д.Б .; Табачников, Серж (2007), Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике , Американское математическое общество, ISBN  9780821843161
• Гоми, Мохаммад (2015), Граничные крученые и выпуклые шапочки локально выпуклых поверхностей , arXiv : 1501.07626 , Bibcode : 2015arXiv150107626G
• Гибсон, К.Г. (2001), Элементарная геометрия дифференцируемых кривых: введение для студентов , Cambridge University Press, ISBN  9780521011075 .
• Мартинес-Мор, Ив (1996), «Заметка о теореме о теннисном мяче», American Mathematical Monthly , 103 (4): 338–340, doi : 10.2307/2975192 , JSTOR   2975192 , MR   1383672 .
• Седых В.Д. (1994), "Четыре вершины выпуклой пространственной кривой", Бюлл. Лондонская математика. Соц. , 26 (2): 177–180, doi : 10.1112/blms/26.2.177