Теорема о четырех вершинах
Теорема четырех вершинах о геометрии утверждает, что кривизна простой замкнутой гладкой плоской кривой имеет как минимум четыре локальных экстремума (в частности, как минимум два локальных максимума и как минимум два локальных минимума). Название теоремы происходит от соглашения называть крайнюю точку функции кривизны вершиной . Эта теорема имеет множество обобщений, включая версию для пространственных кривых , где вершина определяется как точка исчезающего кручения .
Определение и примеры
[ редактировать ]Кривизна обратная в любой точке гладкой кривой на плоскости может быть определена как величина, радиусу соприкасающейся окружности в этой точке, или как норма второй производной параметрического представления кривой, параметризованной последовательно с длиной вдоль кривой . [1] Чтобы вершины кривой были четко определены, сама кривизна должна непрерывно меняться. [2] как это происходит с кривыми гладкости . [3] Тогда вершина является локальным максимумом или локальным минимумом кривизны. Если кривизна постоянна по дуге кривой, все точки этой дуги считаются вершинами. Теорема о четырех вершинах утверждает, что гладкая замкнутая кривая всегда имеет не менее четырех вершин.
Эллипс имеет ровно четыре вершины : два локальных максимума кривизны там, где его пересекает большая ось эллипса, и два локальных минимума кривизны там, где его пересекает малая ось. В круге каждая точка является одновременно локальным максимумом и локальным минимумом кривизны, поэтому вершин бесконечно много. [3] Если гладкая замкнутая кривая пересекает окружность раз, то оно имеет по крайней мере вершин, поэтому кривая, имеющая ровно четыре вершины, например эллипс, может пересечь любой круг не более четырех раз. [4]
Каждая кривая постоянной ширины имеет не менее шести вершин. Хотя многие кривые постоянной ширины, такие как треугольник Рело , не являются гладкими или имеют на границах дуги окружностей, существуют гладкие кривые постоянной ширины, имеющие ровно шесть вершин. [5] [6]
История
[ редактировать ]Теорема о четырех вершинах была впервые доказана для выпуклых кривых (т.е. кривых со строго положительной кривизной) в 1909 году Шьямадасом Мукхопадхьяей . [7] Его доказательство использует тот факт, что точка на кривой является экстремумом функции кривизны тогда и только тогда, когда соприкасающаяся окружность четвертого порядка в этой точке имеет контакт с кривой; в общем соприкасающийся круг имеет контакт с кривой только третьего порядка. Теорема о четырех вершинах была доказана для более общих кривых Адольфом Кнезером в 1912 году с использованием проективного аргумента. [8]
Доказательство
[ редактировать ]В течение многих лет доказательство теоремы о четырех вершинах оставалось трудным, но Оссерман (1985) дал простое и концептуальное доказательство , основанное на идее минимального охватывающего круга . [9] Это окружность, содержащая заданную кривую и имеющая наименьший возможный радиус. Если кривая включает в себя дугу окружности, она имеет бесконечное количество вершин. В противном случае кривая и окружность должны касаться как минимум двух точек, поскольку окружность, касающаяся кривой в меньшем количестве точек, может уменьшиться в размере, но при этом охватывать ее. В каждом касании кривизна кривой больше, чем у круга, иначе кривая продолжалась бы от касания вне круга, а не внутри. Однако между каждой парой касаний кривизна должна уменьшаться до меньшей, чем у окружности, например, в точке, полученной путем перемещения окружности.до тех пор, пока он больше не будет содержать какую-либо часть кривой между двумя точками касания, и с учетом последней точки контакта между переведенной окружностью и кривой. Следовательно, между каждой парой касаний существует локальный минимум кривизны, дающий две из четырех вершин. Между каждой парой локальных минимумов (не обязательно в точках касания) должен существовать локальный максимум кривизны, дающий две другие вершины. [9] [3]
Конверсы
[ редактировать ]Обратная теорема о четырех вершинах утверждает, что любая непрерывная вещественная функция окружности, имеющая по крайней мере два локальных максимума и два локальных минимума, является функцией кривизны простой замкнутой плоской кривой. Обратное утверждение для строго положительных функций было доказано в 1971 году Германом Глюком как частный случай общей теоремы о предварительном задании кривизны n-сфер . [10] Полное обращение к теореме о четырех вершинах было доказано Бьёрном Дальбергом незадолго до его смерти в январе 1998 года и опубликовано посмертно. [11] Доказательство Дальберга использует аргумент числа витков , который в некотором смысле напоминает стандартное топологическое доказательство Основной теоремы алгебры . [12]
Приложение к механике
[ редактировать ]Одним из следствий теоремы является то, что катящийся однородный плоский дискна горизонтальной поверхности под действием силы тяжести имеет не менее 4 точек равновесия. Дискретная версия этого состоит в том, что не может быть моностатического многоугольника .Однако в трех измерениях существуют моностатические многогранники, а также существует выпуклый однородный объект ровно с двумя точками баланса (одна стабильная, а другая нестабильная), Gömböc .
Дискретные вариации
[ редактировать ]Существует несколько дискретных версий теоремы о четырех вершинах как для выпуклых, так и для невыпуклых многоугольников. [13] Вот некоторые из них:
- ( Билинский ) Последовательность углов выпуклого равностороннего многоугольника, имеющего не менее четырех вершин, имеет не менее четырех экстремумов .
- Последовательность длин сторон выпуклого равноугольного многоугольника, имеющего не менее четырех сторон, имеет не менее четырех экстремумов .
- (Мусин) Окружность, описанная вокруг трёх последовательных вершин многоугольника, имеющего не менее четырёх вершин, называется экстремальной , если она содержит все остальные вершины многоугольника или не имеет ни одной из них внутри себя. Такой выпуклый многоугольник является общим , если он не имеет четырех вершин, лежащих на одной окружности. Тогда каждый выпуклый многоугольник общего положения, имеющий не менее четырех вершин, имеет не менее четырех экстремальных окружностей.
- ( Лежандр – Коши ) Два выпуклых n -угольника с одинаковой длиной соответствующей стороны имеют либо ноль, либо не менее 4 смен знака в циклической последовательности соответствующих разностей углов.
- ( А. Д. Александров ) Два выпуклых n -угольника с параллельными соответствующими сторонами и равной площадью имеют либо ноль, либо не менее 4 смен знака в циклической последовательности разностей длин соответствующих сторон.
Некоторые из этих вариантов сильнее других, и все они влекут за собой (обычную) теорему о четырех вершинах посредством предельного аргумента.
Обобщения пространственной кривой
[ редактировать ]Стереографическая проекция однажды проколотой сферы на плоскость сохраняет критические точки геодезической кривизны . Таким образом, простые замкнутые сферические кривые имеют четыре вершины. Более того, на сфере вершины кривой соответствуют точкам, в которых ее кручение обращается в нуль. Таким образом, для пространственных кривых вершина определяется как точка исчезающего кручения. Любая простая кривая замкнутого пространства, лежащая на границе выпуклого тела, имеет четыре вершины. [14] Эту теорему можно обобщить на все кривые, ограничивающие локально выпуклый диск. [15]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Прессли, Эндрю (2010). Элементарная дифференциальная геометрия . Серия Springer по математике для студентов (2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag. Определение 2.1.1, с. 30 и упражнение 2.2.6, с. 44. дои : 10.1007/978-1-84882-891-9 . ISBN 978-1-84882-890-2 . МР 2598317 .
- ^ Граустейн, WC (1937). «Расширения теоремы о четырех вершинах» . Труды Американского математического общества . 41 (1): 9–23. дои : 10.2307/1989876 . МР 1501889 .
- ^ Jump up to: а б с Оссерман, Роберт (1985). «Теорема о четырех и более вершинах». Американский математический ежемесячник . 92 (5): 332–337. дои : 10.2307/2323126 . МР 0790188 .
- ^ Джексон, С.Б. (1944). «Вершины плоских кривых» . Бюллетень Американского математического общества . 50 (8): 564–578. дои : 10.1090/s0002-9904-1944-08190-1 .
- ^ Мартинес-Мор, Ив (1996). «Заметка о теореме о теннисном мяче». Американский математический ежемесячник . 103 (4): 338–340. дои : 10.2307/2975192 . JSTOR 2975192 . МР 1383672 .
- ^ Крейзер, Маркос; Тейшейра, Ральф; Балестро, Витор (2018). «Замкнутые циклоиды в стандартизированной плоскости». Ежемесячные журналы по математике . 185 (1): 43–60. arXiv : 1608.01651 . дои : 10.1007/s00605-017-1030-5 . МР3745700 .
- ^ Мухопадхьяя, С. (1909). «Новые методы в геометрии плоской дуги». Бюллетень Калькуттского математического общества . 1 : 21–27.
- ^ Кнезер, Адольф (1912). «Замечания о числе экстремумов кривизны на замкнутых кривых и о связанных с этим вопросах неевклидовой геометрии». Festschrift Генриха Вебера . Тойбнер. стр. 170–180.
- ^ Jump up to: а б Бергер, Марсель (2010). «V.8. Теорема о четырех вершинах и ее обратная: приложение к физике». Геометрия раскрыта . Гейдельберг: Спрингер. стр. 271–278. дои : 10.1007/978-3-540-70997-8 . ISBN 978-3-540-70996-1 . МР 2724440 .
- ^ Глюк, Герман (1971). «Обратное к теореме о четырех вершинах». Математическое познание . 17 : 295–309. МР 0344998 .
- ^ Дальберг, Бьёрн (2005). «Обращение теоремы о четырех вершинах» . Труды Американского математического общества . 133 (7): 2131–2135. дои : 10.1090/S0002-9939-05-07788-9 .
- ^ ДеТурк, Д.; Глюк, Х.; Померлеано, Д.; Вик, Д.С. (2007). «Теорема о четырех вершинах и ее обратная» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 54 (2): 9268. arXiv : math/0609268 .
- ^ Пак, И. Лекции по дискретной и многогранной геометрии. Архивировано 29 января 2009 г. в Wayback Machine , Раздел 21.
- ^ Седых, В.Д. (1994). «Четыре вершины выпуклой пространственной кривой». Бюллетень Лондонского математического общества . 26 (2): 177–180. дои : 10.1112/blms/26.2.177 .
- ^ Гоми, Мохаммед (2017). «Граничное кручение и выпуклые шапочки локально выпуклых поверхностей». Журнал дифференциальной геометрии . 105 (3): 427–486. arXiv : 1501.07626 . дои : 10.4310/jdg/1488503004 .