Гёмбёк
 |
Гёмбёк ( Венгерский: [ˈɡømbøt͡s] ) — любой член класса выпуклых , трехмерных и однородных тел, которые являются мономоностатическими, что означает, что они имеют только одну стабильную и одну нестабильную точку равновесия , когда покоятся на плоской поверхности. [ 1 ] Существование этого класса было предположено российским математиком Владимиром Арнольдом в 1995 году и доказано в 2006 году венгерскими учёными Габором Домокошем и Петером Варкони, построив сначала математический, а затем физический пример.
Форма гёмбока помогла объяснить строение тела некоторых черепах с точки зрения их способности возвращаться в положение равновесия после переворачивания вверх ногами. [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] Копии первого физически построенного экземпляра гёмбока были переданы в дар учреждениям и музеям, а самый крупный из них был представлен на Всемирной выставке 2010 года в Шанхае , Китай . [ 5 ]
Имя
[ редактировать ]Если проанализировать количественно с точки зрения плоскостности и толщины, обнаруженные мономоностатические тела являются наиболее сфероподобными, не считая самой сферы. Из-за этого им дали название gömböc , уменьшительно-ласкательную форму от gömb («сфера» по- венгерски ).
История
[ редактировать ]
В геометрии тело с единственным устойчивым положением покоя называется моностатическим , а термин мономоностатический был придуман для описания тела, которое дополнительно имеет только одну неустойчивую точку равновесия. (Ранее известный моностатический многогранник не подходит под это определение, поскольку он имеет несколько нестабильных состояний равновесия.) Сфера, взвешенная так, что ее центр масс смещен от геометрического центра, является мономоностатической. Однако он неоднороден; то есть плотность его материала варьируется по всему телу. Другой пример неоднородного мономоностатического тела — Comeback Kid, Weeble или неваляшка (см. рисунок слева). В состоянии равновесия центр масс и точка контакта находятся на линии, перпендикулярной земле. Когда игрушку толкают, ее центр масс поднимается и смещается от этой линии. Это создает восстанавливающий момент , который возвращает игрушку в положение равновесия.
Приведенные выше примеры мономоностатических объектов неоднородны. Вопрос о том, возможно ли построить трехмерное тело, которое было бы мономоностатическим, но в то же время однородным и выпуклым, был поднят российским математиком Владимиром Арнольдом в 1995 году. выпуклое тело: примером может служить шар с полостью внутри. Из геометрического и топологического обобщения классической теоремы о четырех вершинах уже было хорошо известно , что плоская кривая имеет как минимум четыре экстремума кривизны, а именно, как минимум два локальных максимума и как минимум два локальных минимума, а это означает, что a ( выпуклый) моно-моностатический объект не существует в двух измерениях. Хотя общепринято было ожидать, что трехмерное тело должно иметь как минимум четыре экстремума, Арнольд предположил, что это число может быть меньше. [ 6 ] [ нужен неосновной источник ]
Математическое решение
[ редактировать ]
Проблема была решена в 2006 году Габором Домокосом и Петером Варкони. Домокос встретил Арнольда в 1995 году на крупной математической конференции в Гамбурге, где Арнольд выступил с пленарным докладом, демонстрируя, что большинство геометрических задач имеют четыре решения или экстремальные точки. Однако в личной беседе Арнольд задался вопросом, является ли четыре требования для мономоностатических тел, и призвал Домокоса искать примеры с меньшим количеством равновесий. [ 7 ]
Строгое доказательство решения можно найти в ссылках на их работы. [ 6 ] [ нужен неосновной источник ] Суммирование результатов таково: трехмерное однородное выпуклое (мономоностатическое) тело, имеющее одну устойчивую и одну неустойчивую точку равновесия, существует и не является единственным. Их форма не похожа ни на один типичный представитель любого другого равновесного геометрического класса. Они должны иметь минимальную «плоскостность» и, чтобы избежать двух нестабильных состояний равновесия, также должны иметь минимальную «тонкость». [ нужны дальнейшие объяснения ] Они единственные невырожденные [ двусмысленный ] предметы, имеющие одновременно минимальную плоскостность и тонкость. Форма этих тел подвержена небольшим изменениям, вне которых она уже не мономоностатична. Например, первое решение Домокоса и Варкони очень напоминало сферу с отклонением формы всего на 10 градусов. −5 . От него отказались, поскольку его было сложно проверить экспериментально. [ 8 ] Первый физически созданный пример менее чувствителен; тем не менее, он имеет допуск формы 10 −3 , то есть 0,1 мм для размера 10 см. [ нужна ссылка ]
Домокос разработал систему классификации форм, основанную на их точках равновесия, анализируя гальку и отмечая точки их равновесия. [ 9 ] В одном эксперименте Домокос и его жена протестировали 2000 камешков, собранных на пляжах греческого острова Родос , и не нашли среди них ни одного мономоностатического тела, что иллюстрирует сложность поиска или построения такого тела. [ 6 ] [ 8 ]
Неустойчивое положение равновесия гёмбока достигается поворотом фигуры на 180° вокруг горизонтальной оси. Теоретически он будет там оставаться, но малейшее возмущение вернет его в устойчивую точку. Все гёмбоки обладают сферическими свойствами. В частности, их плоскостность и тонкость минимальны, и они являются единственным типом невырожденных объектов, обладающих этим свойством. [ 6 ] Домокос и Варкони заинтересованы в поиске многогранного решения с поверхностью, состоящей из минимального числа плоских плоскостей. Есть приз [ 4 ] любому, кто найдет соответствующее минимальное количество граней, ребер и вершин F, E и V для такого многогранника, что составляет 10 000 долларов, разделенных на число C = F + E + V − 2 , которое называется механической сложностью мономоностатические многогранники. Доказано, что криволинейную мономоностатическую форму можно аппроксимировать конечным числом дискретных поверхностей; [ 10 ] однако, по их оценкам, для этого потребуются тысячи самолетов. Предлагая этот приз, они надеются стимулировать поиск решения, радикально отличающегося от их собственного. [ 4 ]
Отношение к животным
[ редактировать ]
Балансирующие свойства гёмбоков связаны с «восстанавливающей реакцией» — способностью поворачиваться назад, когда их переворачивают вверх ногами — животных с панцирем, таких как черепахи и жуки. Эти животные могут перевернуться во время драки или нападения хищника, поэтому правильная реакция имеет решающее значение для выживания. Чтобы выпрямиться, относительно плоские животные (например, жуки) в значительной степени полагаются на инерцию и тягу, развиваемую за счет движения конечностей и крыльев. Однако конечности многих куполообразных черепах слишком коротки, чтобы их можно было использовать для выпрямления.
Домокос и Варкони провели год, измеряя черепах в Будапештском зоопарке , Венгерском музее естественной истории и различных зоомагазинах Будапешта, оцифровывая и анализируя их панцири, а также пытаясь «объяснить» формы и функции их тела на основе своих работ по геометрии, опубликованных в журнале биологии. журнал Proceedings of the Royal Society . [ 11 ] Затем оно было немедленно популяризировано в нескольких научных новостях, в том числе в научных журналах Nature. [ 3 ] и наука . [ 4 ] Представленную модель можно резюмировать следующим образом: плоские панцири черепах удобны для плавания и рытья. Однако острые края скорлупы мешают перекатыванию. У этих черепах обычно длинные ноги и шеи, и они активно используют их, чтобы толкать землю, чтобы вернуться в нормальное положение, если ее перевернуть. Напротив, «более круглые» черепахи легко перекатываются самостоятельно; у них более короткие конечности, и они мало ими пользуются, восстанавливаясь после потери равновесия. (Некоторые движения конечностей всегда необходимы из-за несовершенной формы раковины, состояния почвы и т. д.) Круглые раковины также лучше сопротивляются сокрушительным челюстям хищника и лучше подходят для терморегуляции. [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]
Искусство
[ редактировать ]Осенью 2020 года Театр Корзо в Гааге и Муниципальный театр в Биаррице представили сольную танцевальную постановку «Гёмбёк». [ 12 ] французского хореографа Антонена Коместаза. [ 13 ]
Персональная выставка художника-концептуалиста Райана Гандера в 2021 году была посвящена теме самовосстановления и представила семь больших фигур гёмбока, постепенно покрытых черным вулканическим песком. [ 14 ]
СМИ
[ редактировать ]За свое открытие Домокош и Варконьи были награждены Рыцарским крестом Венгерской Республики . [ 15 ] Журнал New York Times назвал гёмбёк одной из 70 самых интересных идей 2007 года. [ 16 ]
Веб-сайт Stamp News [ 17 ] показаны новые марки Венгрии, выпущенные 30 апреля 2010 года, на которых изображен гёмбёк в разных положениях. Буклеты марок устроены так, что кажется, что гёмбёк оживает, когда буклет переворачивают. Марки были выпущены в связи с гёмбёком, представленным на Всемирной выставке Expo 2010 (с 1 мая по 31 октября). Об этом также рассказал журнал Linn's Stamp News . [ 18 ]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гёмбёк» . Математический мир . Проверено 29 апреля 2024 г.
- ^ Jump up to: а б Саммерс, Адам (март 2009 г.). «Живой гёмбёк. Панцири некоторых черепах приобрели идеальную форму, позволяющую оставаться в вертикальном положении» . Естественная история . 118 (2): 22–23.
- ^ Jump up to: а б с Болл, Филип (16 октября 2007 г.). «Как черепахи переворачиваются на правую сторону». Новости природы . дои : 10.1038/news.2007.170 . S2CID 178518465 .
- ^ Jump up to: а б с д и Ремейер, Джули (5 апреля 2007 г.). «Не могу сбить его с ног» . Новости науки.
- ↑ В павильоне Венгрии представлен Gomboc , expo.shanghaidaily.com (12 июля 2010 г.)
- ^ Jump up to: а б с д Варкони, PL; Домокос, Г. (2006). «Мономоностатические тела: ответ на вопрос Арнольда» (PDF) . Математический интеллект . 28 (4): 34–38. дои : 10.1007/bf02984701 . S2CID 15720880 .
- ^ Домокос, Габор (2008). «Мой обед с Арнольдом» (PDF) . Математический интеллект . 28 (4): 31–33. дои : 10.1007/BF02984700 . S2CID 120684940 .
- ^ Jump up to: а б Фрайбергер, Марианна (май 2009 г.). «История Гёмбока» . Плюс журнал .
- ^ Варкони, PL; Домокос, Г. (2006). «Статические равновесия твердых тел: кости, камешки и теорема Пуанкаре-Хопфа». Журнал нелинейной науки . 16 (3): 255. Бибкод : 2006JNS....16..255В . дои : 10.1007/s00332-005-0691-8 . S2CID 17412564 .
- ^ Ланги, Жолт (2022). «Решение некоторых проблем Конвея и Гая о моностабильных многогранниках» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 54 (2): 501–516. дои : 10.1112/blms.12579 . S2CID 220968924 .
- ^ Домокос, Г.; Варконий, PL (2008). «Геометрия и самовосстановление черепах» (скачать бесплатно pdf) . Учеб. Р. Сок. Б. 275 (1630): 11–17. дои : 10.1098/rspb.2007.1188 . ПМК 2562404 . ПМИД 17939984 .
- ^ « Гомбёк д’Антонен Коместас» . танцевальный каналисторический . 22 сентября 2020 г.
- ^ «Категория: Хореография Антонена Коместаса» . Театральная энциклопедия . 30 января 2018 г.
- ^ «Выставка | Райан Гандер, «Самоправление всех вещей» в галерее Лиссон, Лиссон-стрит, Лондон, Великобритания» . окула.com . 14 ноября 2021 г.
- ^ Гёмбёк для Уиппла . Новости, Кембриджский университет (27 апреля 2009 г.)
- ^ Пер-Ли, Майра (9 декабря 2007 г.) Чья это была блестящая идея? Идеи журнала New York Times за 2007 год. Архивировано 11 марта 2021 года в Wayback Machine . Inventorspot.com.
- ^ Лучший город – лучшая жизнь: Всемирная выставка Шанхайской выставки 2010. Архивировано 16 августа 2017 года в Wayback Machine . Stampnews.com (22 ноября 2010 г.). Проверено 20 октября 2016 г.
- ↑ Маккарти, Дениз (28 июня 2010 г.) «Мир новых проблем: на марках выставки изображен венгерский гёмбёк, исландский кубик льда». Новости марок Линна с. 14