Теорема о теннисном мяче

В геометрии теорема о теннисном мяче гласит, что любая гладкая кривая на поверхности сферы, которая делит сферу на два подмножества равной площади, не касаясь и не пересекая себя, должна иметь как минимум четыре точки перегиба , точки, в которых кривая не изгибается последовательно. только к одной стороне касательной . ^[1]Теорема о теннисном мяче была впервые опубликована под этим названием Владимиром Арнольдом в 1994 году. ^[2]^[3] и ее часто приписывают Арнольду, но близкий результат появляется ранее в статье Беньямино Сегре 1968 года , а сама теорема о теннисном мяче является частным случаем теоремы из статьи Джоэла Л. Вайнера 1977 года. ^[4]^[5] Название теоремы происходит от стандартной формы теннисного мяча , шов которого образует кривую, отвечающую условиям теоремы; такая же кривая используется и для швов на бейсбольных мячах . ^[1]

Теорему о теннисном мяче можно обобщить на любую кривую, не лежащую в замкнутой полусфере. Центрально-симметричная кривая на сфере должна иметь не менее шести точек перегиба. Теорема аналогична теореме о четырех вершинах, согласно которой любая гладкая замкнутая плоская кривая имеет не менее четырех точек крайней кривизны.

Заявление

А именно, точка перегиба дважды непрерывно дифференцируемой ( $C^{2}$ ) кривая на поверхности сферы – это точка $p$ со следующим свойством: пусть $I$ быть связной компонентой, содержащей $p$ пересечения кривой с касательной к ней большой окружностью в точке $p$ . (Для большинства кривых $I$ просто будет $p$ но это может быть и дуга большого круга.) Тогда, для $p$ быть точкой перегиба, окрестность каждая $I$ должна содержать точки кривой, принадлежащие обоим полушариям, разделенным этим большим кругом.Теорема утверждает, что каждый $C^{2}$ кривая, разделяющая сферу на две равные по площади компоненты, имеет в этом смысле не менее четырех точек перегиба. ^[6]

Примеры

Швы теннисного мяча и бейсбольного мяча можно математически смоделировать кривой, состоящей из четырех полукруглых дуг, ровно с четырьмя точками перегиба, где встречаются пары этих дуг. ^[7]Большой круг также делит поверхность сферы пополам и имеет бесконечно много точек перегиба, по одной в каждой точке кривой. Однако условие того, что кривая делит площадь поверхности сферы поровну, является необходимой частью теоремы. Другие кривые, которые не делят площадь поровну, например круги, не являющиеся большими кругами, могут вообще не иметь точек перегиба. ^[1]

Доказательство сокращением кривой

Одно из доказательств теоремы о теннисном мяче использует поток сокращения кривой — процесс непрерывного перемещения точек кривой к их локальным центрам кривизны . Можно показать, что применение этого потока к данной кривой сохраняет гладкость и свойство деления площади пополам. Кроме того, по мере движения кривой количество ее точек перегиба никогда не увеличивается. Этот поток в конечном итоге приводит к тому, что кривая превращается в большой круг , и сходимость к этой окружности можно аппроксимировать рядом Фурье . Поскольку укорочение кривой не приводит к изменению какого-либо другого большого круга, первый член в этом ряду равен нулю, и объединение этого с теоремой Штурма о количестве нулей в ряду Фурье показывает, что по мере приближения кривой к этому большому кругу она не менее четырех точек перегиба. Следовательно, исходная кривая также имеет не менее четырех точек перегиба. ^[8]^[9]

Связанные теоремы

Обобщение теоремы о теннисном мяче применимо к любой простой гладкой кривой на сфере, не содержащейся в замкнутом полушарии. Как и в исходной теореме о теннисном мяче, такие кривые должны иметь как минимум четыре точки перегиба. ^[5]^[10] Если кривая на сфере центрально симметрична , она должна иметь не менее шести точек перегиба. ^[10]

Близкая теорема Сегре (1968) также касается простых замкнутых сферических кривых на сферах, включенных в трехмерное пространство. Если для такой кривой $o$ — любая точка трехмерной выпуклой оболочки гладкой кривой на сфере, не являющаяся вершиной кривой, то по крайней мере четыре точки кривой имеют соприкасающиеся плоскости, проходящие через $o$ . В частности, для кривой, не содержащейся в полусфере, эту теорему можно применить с $o$ в центре сферы. Каждая точка перегиба сферической кривой имеет соприкасающуюся плоскость, проходящую через центр сферы, но это может быть справедливо и для некоторых других точек. ^[4]^[5]

Эта теорема аналогична теореме о четырех вершинах , согласно которой каждая гладкая простая замкнутая кривая на плоскости имеет четыре вершины (крайние точки кривизны). Это также аналогично теореме Августа Фердинанда Мёбиуса о том, что каждая нестягиваемая гладкая кривая на проективной плоскости имеет как минимум три точки перегиба. ^[2]^[9]

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Чемберленд, Марк (2015), «Теорема о теннисном мяче» , Однозначные цифры: во славу малых чисел , Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, стр. 114, номер домена : 10.1515/9781400865697 , ISBN 978-0-691-16114-3 , МР 3328722
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мартинес-Мор, Ив (1996), «Заметка о теореме о теннисном мяче», American Mathematical Monthly , 103 (4): 338–340, doi : 10.2307/2975192 , MR 1383672
^ Арнольд, В.И. (1994), «20. Теорема о теннисном мяче», Топологические инварианты плоских кривых и каустик , Серия университетских лекций, том. 5, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 53–58 , doi : 10.1090/ulect/005 , ISBN. 0-8218-0308-5 , МР 1286249
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Сегре, Бениамино (1968), «Некоторые большие дифференциальные свойства перекошенных замкнутых кривых», Rendiconti di Matematica , 1 : 237–297, MR 0243466
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайнер, Джоэл Л. (1977), «Глобальные свойства сферических кривых» , Журнал дифференциальной геометрии , 12 (3): 425–434, MR 0514446 . По поводу теоремы о теннисном мяче (в более общем смысле применимой к кривым, не содержащимся в одном полушарии) см. теорему 2, с. 427
^ Торбергссон, Гудлаугур; Умехара, Масааки (1999), «Единый подход к теоремам о четырех вершинах II», в Табачников, Серж (ред.), Дифференциальная и симплектическая топология узлов и кривых , Amer. Математика. Соц. Перевод Сер. 2, том. 190, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, стр. 229–252, номер документа : 10.1090/trans2/190/12 , MR 1738398 . См., в частности, стр. 242–243 .
^ Июль, Николя (5 апреля 2013 г.), «Путешествие на теннисном мяче» , Изображения математики (на французском языке), CNRS
^ Овсиенко В.; Табачников, С. (2005), Проективная дифференциальная геометрия, старая и новая: от производной Шварца к когомологиям групп диффеоморфизмов , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 165, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 165. 101, ISBN 0-521-83186-5 , МР 2177471
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ангенент, С. (1999), «Точки перегиба, экстатические точки и сокращение кривой» (PDF) , Гамильтоновы системы с тремя или более степенями свободы (S'Agaró, 1995) , NATO Adv. наук. Инст. Сер. С Математика. Физ. наук, том. 533, Дордрехт: Клювер Акад. Опубл., стр. 3–10, МР 1720878.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Пак Игорь (20 апреля 2010 г.), «Теоремы 21.22–21.24, стр. 203», Лекции по дискретной и многогранной геометрии.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , «Теорема о теннисном мяче» , MathWorld

[digits-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Чемберленд, Марк (2015), «Теорема о теннисном мяче» , Однозначные цифры: во славу малых чисел , Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, стр. 114, номер домена : 10.1515/9781400865697 , ISBN 978-0-691-16114-3 , МР 3328722

[mm-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мартинес-Мор, Ив (1996), «Заметка о теореме о теннисном мяче», American Mathematical Monthly , 103 (4): 338–340, doi : 10.2307/2975192 , MR 1383672

[va-3] Арнольд, В.И. (1994), «20. Теорема о теннисном мяче», Топологические инварианты плоских кривых и каустик , Серия университетских лекций, том. 5, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 53–58 , doi : 10.1090/ulect/005 , ISBN. 0-8218-0308-5 , МР 1286249

[segre-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Сегре, Бениамино (1968), «Некоторые большие дифференциальные свойства перекошенных замкнутых кривых», Rendiconti di Matematica , 1 : 237–297, MR 0243466

[global-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайнер, Джоэл Л. (1977), «Глобальные свойства сферических кривых» , Журнал дифференциальной геометрии , 12 (3): 425–434, MR 0514446 . По поводу теоремы о теннисном мяче (в более общем смысле применимой к кривым, не содержащимся в одном полушарии) см. теорему 2, с. 427

[tabachnikov-6] Торбергссон, Гудлаугур; Умехара, Масааки (1999), «Единый подход к теоремам о четырех вершинах II», в Табачников, Серж (ред.), Дифференциальная и симплектическая топология узлов и кривых , Amer. Математика. Соц. Перевод Сер. 2, том. 190, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, стр. 229–252, номер документа : 10.1090/trans2/190/12 , MR 1738398 . См., в частности, стр. 242–243 .

[tennis-7] Июль, Николя (5 апреля 2013 г.), «Путешествие на теннисном мяче» , Изображения математики (на французском языке), CNRS

[pgon-8] Овсиенко В.; Табачников, С. (2005), Проективная дифференциальная геометрия, старая и новая: от производной Шварца к когомологиям групп диффеоморфизмов , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 165, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 165. 101, ISBN 0-521-83186-5 , МР 2177471

[angenent-9] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ангенент, С. (1999), «Точки перегиба, экстатические точки и сокращение кривой» (PDF) , Гамильтоновы системы с тремя или более степенями свободы (S'Agaró, 1995) , NATO Adv. наук. Инст. Сер. С Математика. Физ. наук, том. 533, Дордрехт: Клювер Акад. Опубл., стр. 3–10, МР 1720878.

[pak-10] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Пак Игорь (20 апреля 2010 г.), «Теоремы 21.22–21.24, стр. 203», Лекции по дискретной и многогранной геометрии.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]