Касательная

Чтобы узнать о функции тангенса, см. Тангенс (тригонометрия) . Чтобы узнать о других значениях, см. Касательная (значения) .

Касательная к кривой. Красная линия проходит по касательной к кривой в точке, отмеченной красной точкой.

Касательная плоскость к сфере

В геометрии касательная линия (или просто касательная ) к плоской кривой в данной точке интуитивно представляет собой прямую линию , которая «просто касается» кривой в этой точке. Лейбниц определил ее как линию, проходящую через пару бесконечно близких точек кривой. Точнее, прямая касается кривой y = f ( x ) в точке x = c, если линия проходит через точку ( c , f ( c )) на кривой и имеет наклон f ' ( c ) , где f ' — производная от f . Аналогичное определение применимо к пространственным кривым и кривым в n -мерном евклидовом пространстве .

Точка, где касательная линия и кривая встречаются или пересекаются, называется точкой касания . Говорят, что касательная линия «идет в том же направлении», что и кривая, и, таким образом, является лучшим приближением прямой линии к кривой в этой точке. Касательную линию к точке дифференцируемой кривой можно также рассматривать как аппроксимацию касательной линии , график аффинной функции , которая лучше всего приближает исходную функцию в данной точке.

Аналогично, касательная плоскость к поверхности в данной точке — это плоскость , которая «только касается» поверхности в этой точке. Понятие касательной — одно из наиболее фундаментальных понятий дифференциальной геометрии , получившее широкое обобщение; см. Касательное пространство .

Слово «тангенс» происходит от латинского tangere — «прикасаться».

История

Евклид несколько раз упоминает касательную ( ἐφαπτομένη ephaptoménē ) к кругу в книге III « Элементов» (ок. 300 г. до н.э.). В Аполлония работе «Коника» (ок. 225 г. до н.э.) он определяет касательную как линию, по которой никакая другая прямая линия не может находиться между ним и кривой .

Архимед (ок. 287 – ок. 212 до н. э.) нашел касательную к архимедовой спирали , рассматривая путь точки, движущейся по кривой.

В 1630-х годах Ферма разработал технику адекватности для расчета тангенсов и других задач анализа и использовал ее для расчета тангенсов к параболе. Техника адекватности аналогична получению разницы между $f(x+h)$ и $f(x)$ и разделив на степень $h$. Независимо Декарт использовал свой метод нормалей, основанный на наблюдении, что радиус круга всегда нормален к самому кругу.

Эти методы привели к развитию дифференциального исчисления в 17 веке. Многие люди внесли свой вклад. Роберваль открыл общий метод проведения касательных, рассматривая кривую, описываемую движущейся точкой, движение которой является результатом нескольких более простых движений. Рене-Франсуа де Слюз и Йоханнес Худде нашли алгебраические алгоритмы для нахождения касательных. Дальнейшие разработки включали разработки Джона Уоллиса и Исаака Барроу , ведущие к теории Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница .

В 1828 году касательная определялась как «прямая линия, которая касается кривой, но при проведении не пересекает ее». Это старое определение не позволяет точкам перегиба иметь касательную. Это было отвергнуто, и современные определения эквивалентны определениям Лейбница , который определил касательную линию как линию, проходящую через пару бесконечно близких точек на кривой.

Касательная линия к плоской кривой

Дополнительная информация: Дифференцируемая кривая § Касательный вектор и формулы Френе – Серре.

Касательная, хорда и секущая окружности

Интуитивное представление о том, что касательная линия «касается» кривой, можно сделать более явным, рассмотрев последовательность прямых ( секущих линий ), проходящих через две точки, A и B , те, которые лежат на функциональной кривой. Касательная в точке A — это предел, когда точка приближается или стремится к A. B Существование и единственность касательной зависит от определенного типа математической гладкости, известного как «дифференцируемость». Например, если две дуги окружности встречаются в острой точке (вершине), то в вершине не существует однозначно определенной касательной, поскольку предел прогрессии секущих линий зависит от направления, в котором «точка B » приближается к вершине.

В большинстве точек касательная касается кривой, не пересекая ее (хотя при продолжении она может пересекать кривую в других местах, далеких от точки касания). Точка, где касательная (в этой точке) пересекает кривую, называется точкой перегиба . Окружности , параболы , гиперболы и эллипсы не имеют точки перегиба, но более сложные кривые имеют ее, например график кубической функции , который имеет ровно одну точку перегиба, или синусоида, которая имеет две точки перегиба на период каждый синус .

И наоборот, может случиться так, что кривая целиком лежит по одну сторону прямой, проходящей через точку на ней, и все же эта прямая не является касательной. Так обстоит дело, например, с линией, проходящей через вершину треугольника и не пересекающей ее иначе, когда касательная линия не существует по причинам, объясненным выше. В выпуклой геометрии такие линии называются опорными .

Аналитический подход

В каждой точке движущаяся линия всегда касается кривой . Его наклон является производной ; зеленый цвет обозначает положительную производную, красный — отрицательную производную, черный — нулевую производную. Точка (x,y) = (0,1), где касательная пересекает кривую, не является максимумом или минимумом, а является точкой перегиба . (Примечание: на рисунке неверно обозначено значение 0,0, которое должно быть 0,1)

Геометрическая идея касательной как предела секущих линий служит мотивацией для аналитических методов, которые используются для явного нахождения касательных линий. Вопрос о нахождении касательной к графику, или проблема касательной, был одним из центральных вопросов, приведших к развитию исчисления в 17 веке. Во второй книге своей «Геометрии» Рене Декарт сказал о проблеме построения касательной к кривой: «И я осмелюсь сказать, что это не только самая полезная и самая общая проблема в геометрии, которую я знаю, но даже ту, которую я когда-либо хотел знать».

Интуитивное описание

что кривая задана как график функции y Предположим , = f ( x ) . Чтобы найти касательную в точке p = ( a , f ( a ) ), рассмотрим другую близлежащую точку q = ( a + h , f ( a + h )) на кривой. Наклон , секущей линии , проходящей через p и q равен разностному коэффициенту

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Когда точка q приближается к p , что соответствует уменьшению и уменьшению h , коэффициент разности должен приближаться к определенному предельному значению k , которое представляет собой наклон касательной линии в точке p . Если k известно, уравнение касательной можно найти в форме наклона точки:

$y-f(a)=k(x-a).\,$

Более строгое описание

Чтобы сделать предыдущие рассуждения строгими, необходимо пояснить, что понимается под коэффициентом разности, приближающимся к некоторому предельному значению k . Точная математическая формулировка была дана Коши в 19 веке и основана на понятии предела . Предположим, что график не имеет излома или острого края в точке p он не является ни отвесным, ни слишком извилистым и вблизи точки p . Тогда существует уникальное значение k такое, что по мере того, как h приближается к 0, коэффициент разности становится все ближе и ближе к k , и расстояние между ними становится незначительным по сравнению с размером h , если h достаточно мало. Это приводит к определению наклона касательной к графику как предела разностных коэффициентов для функции f . Этот предел является производной функции f в точке x = a , обозначаемой f ′( a ). Используя производные, уравнение касательной можно сформулировать следующим образом:

$y=f(a)+f'(a)(x-a).\,$

Исчисление предоставляет правила для вычисления производных функций, заданных формулами, таких как степенная функция , тригонометрические функции , показательная функция , логарифм и их различные комбинации. Таким образом, уравнения касательных к графикам всех этих функций, как и многих других, можно найти методами исчисления.

Как метод может потерпеть неудачу

Исчисление также показывает, что существуют функции и точки на их графиках, для которых не существует предела, определяющего наклон касательной. точек функция f недифференцируема . Для этих Возможны две причины неэффективности метода нахождения касательных, основанного на пределах и производных: либо геометрический тангенс существует, но представляет собой вертикальную линию, которую нельзя задать в виде точки-наклона, поскольку она не имеет наклон, или график демонстрирует одно из трех поведений, исключающих геометрический тангенс.

График y = x ^1/3 иллюстрирует первую возможность: здесь разностный коэффициент при a = 0 равен h ^1/3 / час = час ^−2/3 , которая становится очень большой, когда h приближается к 0. Эта кривая имеет касательную линию в начале координат, вертикальную.

График y = x ^2/3 иллюстрирует другую возможность: этот график имеет точку возврата в начале координат. Это означает, что когда h приближается к 0, коэффициент разности при a = 0 приближается к плюс или минус бесконечности в зависимости от знака x . Таким образом, обе ветви кривой находятся рядом с полувертикальной линией, для которой y = 0, но ни одна из них не находится рядом с отрицательной частью этой линии. По сути, в этом случае касательной в начале координат нет, но в некотором контексте можно рассматривать эту линию как касательную и даже, в алгебраической геометрии , как двойную касательную .

График y = | х | Функция абсолютного значения состоит из двух прямых линий с разными наклонами, соединенных в начале координат. Когда точка q приближается к началу координат справа, секущая линия всегда имеет наклон 1. Когда точка q приближается к началу координат слева, секущая линия всегда имеет наклон -1. Следовательно, единственной касательной к графику в начале координат не существует. Наличие двух разных (но конечных) наклонов называется углом .

Наконец, поскольку дифференцируемость предполагает непрерывность, противоположных состояний разрыв подразумевает недифференцируемость. Любой такой скачок или точечный разрыв не будет иметь касательной линии. Сюда входят случаи, когда один наклон приближается к положительной бесконечности, а другой — к отрицательной бесконечности, что приводит к разрыву бесконечного скачка.

Уравнения

Когда кривая задана как y = f ( x ), то наклон касательной равен $dy/dx,$ поэтому по формуле точки-наклона уравнение касательной в точке ( X , Y ) имеет вид

$y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)$

где ( x , y ) — координаты любой точки касательной линии, и где производная вычисляется при $x=X$.

Если кривая задана формулой y = f ( x ), уравнение касательной линии также можно найти используя полиномиальное деление для разделения $f\,(x)$ к $(x-X)^{2}$; если остаток обозначить $g(x)$, то уравнение касательной имеет вид

$y=g(x).$

Когда уравнение кривой задано в форме f ( x , y ) = 0, тогда значение наклона можно найти путем неявного дифференцирования , что дает

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial y}}.$

Уравнение касательной в точке ( X , Y ) такой, что f ( X , Y ) = 0, тогда равно

${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (x-X)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (y-Y)=0.$

Это уравнение остается верным, если

${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0,$

в этом случае наклон касательной бесконечен. Если, однако,

${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$

касательная линия не определена, а точка ( X , Y ) называется особой .

Для алгебраических кривых вычисления можно несколько упростить, переведя их в однородные координаты . В частности, пусть однородное уравнение кривой будет g ( x , y , z ) = 0, где g — однородная функция степени n . Тогда, если ( X , Y , Z ) лежит на кривой, из теоремы Эйлера следует

$${\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.$$

Отсюда следует, что однородное уравнение касательной имеет вид

${\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.$

Уравнение касательной в декартовых координатах можно найти, положив в этом уравнении z =1.

Чтобы применить это к алгебраическим кривым, запишите f ( x , y ) как

$f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,$

где каждый u _r представляет собой сумму всех членов степени r . Тогда однородное уравнение кривой имеет вид

$g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.\,$

Применяя приведенное выше уравнение и устанавливая z = 1, получаем

${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0$

как уравнение касательной. Уравнение в этой форме часто проще использовать на практике, поскольку после его применения не требуется дальнейшего упрощения.

Если кривая задана параметрически выражением

$x=x(t),\quad y=y(t)$

тогда наклон касательной равен

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\bigg /}{\frac {dx}{dt}}$

давая уравнение касательной в точке $\,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)$ как

${\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X).$

Если

${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$

касательная линия не определена. Однако может случиться так, что касательная линия существует и может быть вычислена из неявного уравнения кривой.

Нормальная линия к кривой

Дополнительная информация: Нормальный (геометрия).

Линия, перпендикулярная касательной к кривой в точке касания, называется нормальной линией к кривой в этой точке. Наклоны перпендикулярных линий имеют произведение −1, поэтому, если уравнение кривой y = f ( x ), то наклон нормальной линии равен

$-1{\bigg /}{\frac {dy}{dx}}$

и отсюда следует, что уравнение нормальной линии в точке (X, Y) имеет вид

$(x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.$

Аналогично, если уравнение кривой имеет форму f ( x , y ) = 0, то уравнение нормальной линии имеет вид

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.$

Если кривая задана параметрически выражением

$x=x(t),\quad y=y(t)$

тогда уравнение нормальной линии будет

${\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.$

Угол между кривыми

См. Также: Угол § Углы между кривыми.

Угол между двумя кривыми в точке их пересечения определяется как угол между их касательными линиями в этой точке. Более конкретно, две кривые называются касательными в точке, если они имеют одну и ту же касательную в точке, и ортогональными, если их касательные линии ортогональны.

Несколько касательных в одной точке

Трисектриса Лимасона: кривая с двумя касательными в начале.

Приведенные выше формулы не работают, когда точка является особой точкой . В этом случае через точку могут проходить две или более ветви кривой, причем каждая ветвь имеет свою касательную. Когда точка является началом координат, уравнения этих линий можно найти для алгебраических кривых путем факторизации уравнения, образованного путем исключения из исходного уравнения всех членов, кроме наименьшей степени. Поскольку любую точку можно сделать исходной путем замены переменных (или перемещения кривой ), это дает метод нахождения касательных линий в любой особой точке.

Например, уравнение трисектрисы Лимасона , показанное справа, имеет вид

$(x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,$

Расширяя это и исключая все члены, кроме членов степени 2, получаем

$a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,$

который при факторизации становится

$y=\pm {\sqrt {3}}x.$

Итак, это уравнения двух касательных, проходящих через начало координат.

Когда кривая не является самопересекающейся, касательная в контрольной точке все равно не может быть определена однозначно, поскольку кривая не дифференцируема в этой точке, хотя она дифференцируема в другом месте. В этом случае левая и правая производные определяются как пределы производной, поскольку точка, в которой она оценивается, приближается к контрольной точке соответственно слева (более низкие значения) или справа (более высокие значения). Например, кривая y = | х | не дифференцируема в точке x = 0: ее левая и правая производные имеют наклоны соответственно −1 и 1; касательные в этой точке с этими наклонами называются левыми и правыми касательными.

Иногда наклоны левой и правой касательных равны, поэтому касательные совпадают. Это справедливо, например, для кривой y = x ^2/3 , для которого как левая, так и правая производные при x = 0 бесконечны; как левая, так и правая касательные имеют уравнение x = 0.

Касательная линия к пространственной кривой

Этот раздел представляет собой отрывок из книги «Касательный вектор» . [ редактировать ]

В математике касательный вектор — это вектор , касающийся кривой или поверхности в данной точке. Касательные векторы описываются в дифференциальной геометрии кривых в контексте кривых в R. ^н . В более общем смысле, касательные векторы — это элементы касательного пространства дифференцируемого многообразия . Касательные векторы также можно описать в терминах ростков . Формально касательный вектор в точке $x$ является линейным дифференцированием алгебры, определяемой множеством ростков в точках $x$.

Касательные круги

Основная статья: Касательные круги

Две пары касательных окружностей. Выше внутренней и ниже внешней касательной

Две различные окружности, лежащие в одной плоскости, называются касающимися друг друга, если они встречаются ровно в одной точке.

Если точки на плоскости описываются в декартовых координатах , то две окружности с радиусами $r_{1},r_{2}$ и центры $(x_{1},y_{1})$ и $(x_{2},y_{2})$ касаются друг друга всякий раз, когда

$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.$

Две окружности называются внешне касающимися , если расстояние между их центрами равно сумме их радиусов:

$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.$

или внутренне касательные , если расстояние между их центрами равно разности их радиусов:

$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.$

Касательная плоскость к поверхности

«Касательная плоскость» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о географической концепции, см. Локальную касательную плоскость .

Дополнительная информация: Дифференциальная геометрия поверхностей § Касательная плоскость и Параметрическая поверхность § Касательная плоскость.

См. Также: Нормальная плоскость (геометрия).

Касательная плоскость к поверхности в данной точке p определяется аналогично касательной линии в случае кривых. Это наилучшее приближение поверхности плоскостью в точке p , и его можно получить как предельное положение плоскостей, проходящих через 3 различные точки на поверхности, близких к p , когда эти точки сходятся к p . Математически, если поверхность задана функцией $z=f(x,y)$, уравнение касательной плоскости в точке $(x_{0},y_{0},z_{0})$ может быть выражено как:

$z-z_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})$.

Здесь, ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ и ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ являются частными производными функции $f$ относительно $x$ и $y$ соответственно, оценивается в точке $(x_{0},y_{0})$. По сути, касательная плоскость фиксирует локальное поведение поверхности в конкретной точке p . Это фундаментальная концепция, используемая в математическом анализе и дифференциальной геометрии, имеющая решающее значение для понимания того, как функции локально изменяются на поверхностях.

Многообразия более высокой размерности

Основная статья: Касательное пространство

существует k -мерное касательное пространство В более общем смысле, в каждой точке k -мерного многообразия в n -мерном евклидовом пространстве .

См. также

• метод Ньютона
• Нормальный (геометрия)
• Соприкасающийся круг
• Соприкасающаяся кривая
• Четко соприкасаясь
• Перпендикуляр
• Подкасательная
• Поддерживающая линия
• Касательный конус
• Тангенциальный угол
• Тангенциальная составляющая
• Касательные линии к окружностям
• Касательный вектор
• Кратность (математика)#Поведение полиномиальной функции вблизи кратного корня
• Алгебраическая кривая # Касательная в точке

Источники

• Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление . Лондон: MacMillan and Co., стр. 143 и далее.

Внешние ссылки

• «Касательная линия» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Касательная линия» . Математический мир .
• Касательная к окружности С интерактивной анимацией
• Тангенс и первая производная — интерактивное моделирование