Улитка Трисектрикс

Трисектриса Лимасона, заданная как полярное уравнение $r=a(1+2\cos \theta ),$ где а > 0 . Когда a < 0 , результирующая кривая является отражением этой кривой относительно линии $\theta =\pi /2.$ Как функция, r имеет период 2π . Внутренняя и внешняя петли кривой пересекаются в полюсе.

Основная статья: Лимасон

В геометрии трисектриса лимасона — это название плоской кривой четвертой степени , которая представляет собой трисектрису , определяемую как лимасон . Форма Limaçon trisectrix может быть определена другими кривыми, в частности, розой , раковидной или эпитрохоидной . Кривая является одной из множества трисектрис плоских кривых, включающих Раковину Никомеда. Циклоида Чевы , Квадратриса Гиппия , трисектриса Маклорена и кубическая Чирнхаузена . Лимасон трисектрикс — частный случай сектрисы Маклорена .

Спецификация и структура цикла

Трисектриса Лимасона, заданная как полярное уравнение , равна

$r=a(1+2\cos \theta )$.

Константа $a$ может быть положительным или отрицательным. Две кривые с константами $a$ и $-a$ являются отражением друг друга через линию $\theta =\pi /2$. Период $r=a(1+2\cos \theta )$ является $2\pi$ учитывая период синусоиды $\cos \theta$.

Лимасон трисектрикс состоит из двух петель.

• Внешний цикл определяется, когда $1+2\cos \theta \geq 0$ на интервале полярных углов $-2\pi /3\leq \theta \leq 2\pi /3$, и симметричен относительно полярной оси. Точка, наиболее удаленная от полюса на внешней петле, имеет координаты $(3a,0)$.
• Внутренний цикл определяется, когда $1+2\cos \theta \leq 0$ на интервале полярных углов $2\pi /3\leq \theta \leq 4\pi /3$, и симметричен относительно полярной оси. Точка, наиболее удаленная от полюса на внутренней петле, имеет координаты $(a,0)$, а на полярной оси составляет одну треть расстояния от полюса по сравнению с самой дальней точкой внешнего контура.
• Внешняя и внутренняя петли пересекаются на полюсе.

Кривая может быть задана в декартовых координатах как

$a^{2}(x^{2}+y^{2})=(x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}$,

и параметрические уравнения

$x=(a+2a\cos \theta )\cos \theta =a(1+\cos \theta +\cos(2\theta ))$,

$y=(a+2a\cos \theta )\sin \theta =a(\sin \theta +\sin(2\theta ))$.

Связь с розовыми кривыми

В полярных координатах форма $r=a(1+2\cos \theta )$ такое же, как у розы $r=2a\cos(\theta /3)$. Соответствующие точки розы находятся на расстоянии $|a|$ слева от точек Лимасона, когда $a>0$, и $|a|$ вправо, когда $a<0$. Как и у розы, кривая имеет структуру одного лепестка с двумя петлями, вписанными в круг. $r=2a$ и симметричен относительно полярной оси.

Обратная сторона этой розы — трисектриса, поскольку обратная сторона имеет ту же форму, что и трисектриса Маклорена .

Отношения с сектриксой Маклорена

См. статью Sectrix of Maclauren о лимасоне как примере сектриса.

Свойства трисекции

Внешняя и внутренняя петли трисектрисы лимасона обладают свойствами трисекции угла. Теоретически угол можно разделить на три части, используя метод с любым из свойств, хотя практические соображения могут ограничивать его использование.

Свойство трисектрисы внешнего цикла

Свойство углового трисекции (зеленой) внешней петли трисектрисы Лимасона $r=1+2\cos \theta$. (Синий) образующий круг $r=2\cos \theta$ требуется доказать трисекцию $\angle {PMB}$. (Красная) конструкция приводит к двум углам: $\angle {QMP}$ и $\angle {QPM}$, которые имеют одну треть меры $\angle {PMB}$; и один угол, $\angle {PAB}$, что имеет две трети меры $\angle {PMB}$.

Построение внешнего контура $r=1+2\cos \theta$ раскрывает свойства трисекции угла. Внешний цикл существует на интервале $-2\pi /3\leq \theta \leq 2\pi /3$. Здесь мы исследуем свойство трисектрисы части внешней петли над полярной осью, т. е. определенной на интервале $0\leq \theta \leq 2\pi /3$.

• Во-первых, заметим, что полярное уравнение $r=2\cos \theta$ представляет собой круг радиуса $1$, центр $M(1,0)$ на полярной оси и имеет диаметр, касательный к линии $\theta =\pi /2$ на полюсе $A$. Обозначим диаметр, содержащий полюс, как ${\overline {AB}}$, где $B$ находится в $(2,0)$.

• Во-вторых, рассмотрим любой аккорд ${\overline {AQ}}$ круга с полярным углом $\theta =\alpha$. С $\triangle {AQB}$ представляет собой прямоугольный треугольник, $AQ=2\cos \alpha$. Соответствующая точка $P$ во внешнем цикле есть координаты $(AQ+1,\alpha )$, где $0<\alpha \leq \pi$.

Учитывая эту конструкцию, показано, что $\angle {QMP}$ и два других угла делят пополам $\angle {PMB}$ следующее:

• $m\angle {QMB}=2\alpha$, так как это центральный угол ${\widehat {QB}}$ по кругу $r=2\cos \theta$.

• Углы при основании равнобедренного треугольника $\triangle {AMQ}$ мера $\alpha$ - конкретно, $m\angle {QAB}=m\angle {AQM}=\alpha$.

• Угол при вершине равнобедренного треугольника $\triangle {PQM}$ является дополнением к $\angle {AQM}$, и так, $m\angle {PQM}=\pi -\alpha$. Следовательно, углы при основании, $\angle {QMP}$ и $\angle {QPM}$ мера $\alpha /2$.

• $m\angle {PMB}=m\angle {QMB}-m\angle {QMP}=2\alpha -\alpha /2=3\alpha /2$. Таким образом $\angle {PMB}$ разделена на три части, так как $m\angle {QMP}/m\angle {PMB}=1/3$.

• Обратите внимание, что также $m\angle {QPM}/m\angle {QMB}=1/3$, и $m\angle {PAB}/m\angle {QMB}=2/3$.

Верхняя половина внешнего контура может разделить любой центральный угол пополам. $r=2\cos \theta$ потому что $0<3\alpha /2<\pi$ подразумевает $0<\alpha <2\pi /3$ который находится в области внешнего цикла.

Свойство трисектрисы внутреннего цикла

Свойство углового трисекции (зеленой) внутренней петли трисектрисы Лимасона $r=1+2\cos \theta$. Учитывая точку $C$ на (синем) единичном круге $r=1$ с центром на полюсе $A$ с $M$ в $(1,0)$, где ${\overline {CM}}$ (красным) пересекает внутренний цикл в точке $P$, $\angle {PAM}$ трисекции $\angle {CAM}$. (Черная) нормальная линия ${\overleftrightarrow {CM}}$ является $\theta =\phi$, так $C$ находится в $(1,2\phi )$. Внутренний цикл переопределяется на интервале $0\leq \theta \leq \pi /3$ как $r=-(1+2\cos(\theta +\pi ))$ потому что его родной диапазон больше, чем $\pi$ где его радиальные координаты неположительны.

Внутренняя петля трисектрисы Лимасона обладает тем желательным свойством, что трисекция угла является внутренней по отношению к трисекции угла. Здесь мы исследуем внутренний цикл $r=1+2\cos \theta$ лежащий выше полярной оси, которая определена на интервале полярных углов $\pi \leq \theta \leq 4\pi /3$. Свойство трисекции заключается в том, что задан центральный угол, включающий точку $C$ лежащий на единичной окружности с центром в полюсе, $r=1$, имеет размер, в три раза превышающий размер полярного угла точки $P$ на пересечении хорды ${\overline {CM}}$ и внутренний цикл, где $M$ находится в $(1,0)$.

В декартовых координатах уравнение ${\overleftrightarrow {CM}}$ является $y=k(x-1)$, где $k<0$, что представляет собой полярное уравнение

$r={\frac {-k}{\sin \theta -k\cos \theta }}={\frac {-k}{\cos(\theta -\phi )}}=-k\sec(\theta -\phi )$, где $\tan \phi ={\frac {1}{-k}}$ и $\phi =atan2(1,-k)$.

(Примечание: atan2 (y,x) дает полярный угол точки декартовых координат (x,y).)

Поскольку нормальная линия ${\overleftrightarrow {CM}}$ является $\theta =\phi$, он делит вершину равнобедренного треугольника пополам $\triangle {CAM}$, так $m\angle {CAM}=2\phi$ и полярные координаты $C$ является $(1,2\phi )$.

Что касается лимасона, диапазон полярных углов $\pi \leq \theta \leq 4\pi /3$ который определяет внутренний цикл, проблематичен, поскольку диапазон полярных углов, подлежащих трисекции, попадает в диапазон $0\leq \theta \leq \pi$. Более того, в его собственном домене радиальные координаты внутреннего цикла неположительны. Затем внутренний цикл эквивалентно переопределяется в интересующем диапазоне полярных углов и с неотрицательными радиальными координатами как $r=-(1+2\cos(\theta +\pi ))=-(1-2\cos \theta )$, где $-\cos(\theta +\pi )=\cos \theta$. Таким образом, полярная координата $\alpha$ из $P$ определяется

$-(1-2\cos \alpha )={\frac {-k}{\sin \alpha -k\cos \alpha }}$

$\rightarrow (\sin \alpha -k\cos \alpha )-2\cos \alpha \sin \alpha +2k\cos ^{2}\alpha =k$

$\rightarrow \cos(\alpha -\phi )-\sin(2\alpha )+2k({\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}})=k$

$\rightarrow \cos(\alpha -\phi )-\sin(2\alpha )+k\cos(2\alpha )=0$

$\rightarrow \cos(\alpha -\phi )=\cos(2\alpha -\phi )$.

Последнее уравнение имеет два решения, первое из которых: $\alpha -\phi =2\alpha -\phi$, что приводит к $\alpha =0$, полярная ось, линия, пересекающая обе кривые, но не в точке $C$ на единичном круге.

Второе решение основано на тождестве $\cos(x)=\cos(-x)$ что выражается как

$\alpha -\phi =\phi -2\alpha$, что подразумевает $2\phi =3\alpha$,

и показывает, что $m\angle {CAM}=3(m\angle {PAM})$ демонстрируя, что больший угол разделен на три части.

Верхняя половина внутреннего цикла может разделить пополам любой центральный угол $r=1$ потому что $0<3\alpha <\pi$ подразумевает $0<\alpha <\pi /3$ который находится в области переопределенного цикла.

Свойство трисекции отрезка линии

Лимасон трисектрикс $r=a(1+2\cos \theta )$ делит отрезок пополам на полярной оси, которая служит его осью симметрии. Поскольку внешний цикл продолжается до точки $(3a,0)$ и внутренний цикл до точки $(a,0)$, лимасон делит отрезок на три части с конечными точками в полюсе (где пересекаются две петли) и точкой $(3a,0)$, где общая длина $3a$ в три раза больше длины, проходящей от шеста до другого конца внутренней петли вдоль отрезка.

Связь с трисектрисной гиперболой

Учитывая трисектрису Лимасона $r=1+2\cos \theta$, обратное $r^{-1}$ — полярное уравнение гиперболы с эксцентриситетом, равным 2, кривой, являющейся трисектрисой. (См. Гипербола — трисекция угла .)

Внешние ссылки

• «Задача о трисекции» Роберта К. Йейтса, опубликованная в 1942 году и переизданная Национальным советом учителей математики, доступна на сайте ERIC Министерства образования США.

• Анимация свойства трисекции угла внешнего контура «Трисекция угла с помощью Лимасона», созданная в рамках демонстрационного проекта Wolfram.
• «Лимасон» на 2dcurves.com
• «Трисектриса» в Визуальном словаре специальных плоских кривых
• «Трисекторная улитка» в Энциклопедии замечательных математических форм