Трисектриса Маклорена

В алгебраической геометрии трисектриса Маклорена представляет собой кубическую плоскую кривую, примечательную своим свойством трисектрисы , что означает, что ее можно использовать для разделения угла пополам . Его можно определить как геометрическое место точки пересечения двух линий , каждая из которых вращается с одинаковой скоростью вокруг отдельных точек, так что соотношение скоростей вращения составляет 1:3, а линии первоначально совпадают с линией между двумя точками. . Обобщение этой конструкции называется сектрисой Маклорена . Кривая названа в честь Колена Маклорена , исследовавшего ее в 1742 году.

Уравнения

Пусть две прямые вращаются вокруг точек $P=(0,0)$ и $P_{1}=(a,0)$ так что, когда линия вращается вокруг $P$ имеет угол $\theta$ с осью x , вращаясь вокруг $P_{1}$ имеет угол $3\theta$ . Позволять $Q$ быть точкой пересечения, то угол, образованный линиями при $Q$ является $2\theta$ . По закону синусов ,

{r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }\!

поэтому уравнение в полярных координатах (с точностью до перемещения и вращения)

r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta ).\!

Таким образом, кривая является членом раковистого семейства де Слюза .

В декартовых координатах уравнение этой кривой имеет вид

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}).\!

Если начало координат перемещается в ( a , 0), то вывод, аналогичный приведенному выше, показывает, что уравнение кривой в полярных координатах принимает вид

r=2a\cos {\theta  \over 3},\!

делая это примером лимакона с петлей.

Свойство трисекции

Учитывая угол $\phi$ , нарисуй луч из $(a,0)$ чей угол с $x$ -ось $\phi$ . Нарисуйте луч от начала координат до точки, где первый луч пересекает кривую. Тогда по построению кривой угол между вторым лучом и $x$ -ось $\phi /3$ .

Примечательные моменты и особенности

Кривая имеет точку пересечения по оси Х в точке $3a \over 2$ и двойная точка в начале координат. Вертикальная линия $x={-{a \over 2}}$ является асимптотой. Кривая пересекает линию x = a или точку, соответствующую трисекции прямого угла, в точке $(a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a})$ . Как узловая куба, она имеет нулевой род .