Особая точка кривой

В геометрии особой точкой кривой является точка , которой не задана плавным вложением параметра кривая . Точное определение особой точки зависит от типа изучаемой кривой.

Алгебраические кривые на плоскости

Алгебраические кривые на плоскости можно определить как набор точек $(x, y),$ удовлетворяющих уравнению вида $f(x,y)=0,$ где $f$ — полиномиальная функция ⁠ $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .$ ⁠ Если $f$ раскрывается как $f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\cdots$ Если начало координат $(0, 0)$ находится на кривой, то $a 0 = 0$ . Если $b 1 \neq 0$ , то теорема о неявной функции гарантирует существование гладкой функции $h,$ так что кривая имеет форму $y = h (x)$ вблизи начала координат. Аналогично, если $b 0 \neq 0$ , то существует гладкая функция $k$ , так что кривая имеет форму $x = k (y)$ вблизи начала координат. В любом случае существует гладкое отображение из ⁠ $\mathbb {R}$ ⁠ к плоскости, определяющей кривую в окрестности начала координат. Обратите внимание, что в начале $b_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}},\;b_{1}={\frac {\partial f}{\partial y}},$ поэтому кривая является неособой или регулярной если хотя бы одна из частных производных f $в начале координат ,$ не равна нулю. Особые точки — это те точки на кривой, в которых обе частные производные обращаются в нуль. $f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}=0.$

Обычные баллы

Предположим, что кривая проходит через начало координат, и напишем $y=mx.$ Тогда $f$ можно записать $f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\cdots .$ Если $b_{0}+mb_{1}$ не равно 0, то $f = 0$ имеет решение кратности 1 в точке $x = 0$ , а начало координат является точкой единственного контакта с прямой $y=mx.$ Если $b_{0}+mb_{1}=0$ тогда $f = 0$ имеет решение кратности 2 или выше и линия $y=mx,$ или $b_{0}x+b_{1}y=0,$ касается кривой. В этом случае, если $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}$ не равен 0, то кривая имеет точку двойного контакта с $y=mx.$ Если коэффициент при $x 2$ , $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2},$ равен 0, но коэффициент при $x 3$ нет, то начало координат является точкой перегиба кривой. Если коэффициенты при $x 2$ и $х 3$ оба равны 0, то начало координат называется точкой волнистости кривой. Этот анализ можно применить к любой точке кривой путем перевода осей координат так, чтобы начало координат находилось в данной точке. ^[1]

Двойные баллы

Три лимасона, иллюстрирующие типы двойной точки. При преобразовании в декартовы координаты как $(x^{2}+y^{2}-x)^{2}=(1.5)^{2}(x^{2}+y^{2}),$ левая кривая приобретает акнод в начале координат, который представляет собой изолированную точку на плоскости. Центральная кривая, кардиоида , имеет вершину в начале. Правая кривая имеет кривую в начале координат, и кривая пересекает сама себя, образуя петлю.

Если $b 0$ и $b 1$ оба равны $0$ в приведенном выше разложении, но хотя бы один из $c 0$ , $c 1$ , $c 2$ не равен 0, то начало координат называется двойной точкой кривой. Снова положив $y=mx,$ $f$ можно написать $f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\cdots .$ Двойные точки можно классифицировать в соответствии с решениями задачи $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.$

Круноды

Если $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ имеет два вещественных решения для $m$ , то есть если $c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}<0,$ тогда начало координат называется crunode . Кривая в этом случае пересекает себя в начале координат и имеет две различные касательные, соответствующие двум решениям уравнения. $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.$ В этом случае функция $f$ имеет седловую точку в начале координат.

Акноды

Если $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ не имеет действительных решений для $m$ , то есть если $c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}>0,$ тогда источник называется acnode . В реальной плоскости начало координат представляет собой изолированную точку кривой; однако, если рассматривать ее как комплексную кривую, начало координат не изолировано и имеет две мнимые касательные, соответствующие двум комплексным решениям уравнения. $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.$ В этом случае функция $f$ имеет локальный экстремум в начале координат.

выступы

Если $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ имеет единственное решение кратности 2 для $m$ , то есть если $c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}=0,$ тогда начало координат называется точкой возврата . Кривая в этом случае меняет направление в начале координат, создавая острую точку. Кривая имеет одну касательную в начале координат, которую можно рассматривать как две совпадающие касательные.

Дальнейшая классификация

Термин «узел» используется для обозначения либо крюнода, либо акнода, другими словами, двойной точки, которая не является точкой возврата. Число узлов и количество точек возврата на кривой — два инварианта, используемые в формулах Плюкера .

Если одно из решений $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ также является решением $d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3}=0,$ тогда соответствующая ветвь кривой имеет точку перегиба в начале координат. В этом случае начало координат называется flecnode . Если обе касательные обладают этим свойством, то $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}$ является фактором $d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3},$ тогда начало координат называется бифлекнодом . ^[2]

Несколько точек

В общем, если все члены степени меньше $k$ равны 0 и хотя бы один член степени $k$ не равен 0 в $f$ , то говорят, что кривая имеет кратную точку порядка $k$ или k-ple точку . Как правило, кривая будет иметь $k$ касательных в начале координат, хотя некоторые из этих касательных могут быть мнимыми. ^[3]

Параметрические кривые

кривая Параметризованная в ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$ ⁠ определяется как образ функции ⁠ $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},$ ⁠ $g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t)).$ Особые точки – это точки, в которых ${\frac {dg_{1}}{dt}}={\frac {dg_{2}}{dt}}=0.$

Острие полукубической параболы $y^{2}=x^{3}$

Многие кривые могут быть определены любым способом, но эти два определения могут не совпадать. Например, точка возврата может быть определена на алгебраической кривой , $x^{3}-y^{2}=0,$ или на параметризованной кривой, $g(t)=(t^{2},t^{3}).$ Оба определения дают особую точку в начале координат. Однако такой узел , как узел $y^{2}-x^{3}-x^{2}=0$ в начале координат является особенностью кривой, рассматриваемой как алгебраическая кривая, но если мы параметризуем ее как $g(t)=(t^{2}-1,t(t^{2}-1)),$ тогда ⁠ $g'(t)$ ⁠ никогда не обращается в нуль, и, следовательно, узел не является особенностью параметризованной кривой, как определено выше.

При выборе параметризации следует проявлять осторожность. Например, прямая линия $y = 0$ может быть параметризована с помощью $g(t)=(t^{3},0),$ имеющая особенность в начале координат. При параметризации $g(t)=(t,0),$ оно несингулярно. Следовательно, технически правильнее здесь говорить об особых точках гладкого отображения, а не об особых точках кривой.

Приведенные выше определения можно расширить, чтобы охватить неявные кривые , которые определяются как нулевое множество ⁠ $f^{-1}(0)$ ⁠ , гладкой функции и не обязательно рассматривать только алгебраические многообразия. Определения могут быть расширены, чтобы охватить кривые более высоких измерений.

Теорема Хасслера-Уитни ^[4]^[5] государства

Теорема . Любое замкнутое множество в ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ ⁠ возникает как множество решений ⁠ $f^{-1}(0)$ ⁠ для некоторой гладкой функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} .$

Любую параметризованную кривую можно также определить как неявную кривую, а классификацию особых точек кривых можно изучать как классификацию особых точек алгебраического многообразия .

Типы особых точек

Некоторые из возможных особенностей:

Изолированная точка: $x^{2}+y^{2}=0,$ акнод
Две линии пересекаются: $x^{2}-y^{2}=0,$ крунода
Куспид : $x^{3}-y^{2}=0,$ также называется спинодом
Такнод : $x^{4}-y^{2}=0$
Рамфоидный бугорок : $x^{5}-y^{2}=0.$

См. также

Ссылки

^ Хилтон Глава II §1
^ Хилтон Глава II §2
^ Хилтон Глава II §3
^ Че. Брёкер, Дифференцируемые микробы и катастрофы , Лондонское математическое общество. Конспект лекций 17. Кембридж, (1975).
^ Брюс и Гиблин, Кривые и особенности , (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (мягкая обложка)

Хилтон, Гарольд (1920). «Глава II: Особые точки». Плоские алгебраические кривые . Оксфорд.

[1] Хилтон Глава II §1

[2] Хилтон Глава II §2

[3] Хилтон Глава II §3

[4] Че. Брёкер, Дифференцируемые микробы и катастрофы , Лондонское математическое общество. Конспект лекций 17. Кембридж, (1975).

[5] Брюс и Гиблин, Кривые и особенности , (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (мягкая обложка)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]