Теорема о неявной функции

В исчислении многих переменных теорема о неявной функции ^[а]— инструмент, позволяющий отношения преобразовывать в функции нескольких действительных переменных . Это достигается путем представления отношения в виде графика функции . Не может существовать ни одной функции, график которой мог бы представлять все отношение, но может существовать такая функция на ограничении области определения отношения. Теорема о неявной функции дает достаточное условие существования такой функции.

Точнее, для данной системы $m$ уравнений $f i (x 1, ..., x n, y 1, ..., y m) = 0, i = 1, ..., m$ (часто сокращенно $F (x, y) = 0$ ), теорема утверждает, что при мягком условии на частные производные (относительно каждого $y i$ ) в точке $m$ переменных $y i$ являются дифференцируемыми функциями $x j$ в окрестности некоторой точка. Поскольку эти функции, как правило, не могут быть выражены в замкнутой форме , они неявно определяются уравнениями, что и послужило причиной названия теоремы. ^[1]

Другими словами, при мягком условии на частные производные множество нулей системы уравнений локально является графиком функции .

История [ править ]

Огюстену-Луи Коши (1789–1857) приписывают первую строгую форму теоремы о неявной функции. Улисс Дини (1845–1918) обобщил версию теоремы о неявной функции для действительных переменных на контекст функций любого числа действительных переменных. ^[2]

Первый пример [ править ]

Если мы определим функцию $f (x, y) = x 2 + и 2$ , то уравнение $f (x, y) = 1$ вырезает единичную окружность как множество уровня ${(x, y) | ж (Икс, y) знак равно 1}$ . Невозможно представить единичный круг как график функции одной переменной $y = g (x),$ поскольку для каждого выбора $x \in (-1, 1)$ существует два выбора y , а именно $\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$ .

круга можно представить Однако часть в виде графика функции одной переменной. Если мы позволим $g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ для $-1 \leq x \leq 1$ , то график $y = g 1 (x)$ представляет собой верхнюю половину круга. Аналогично, если $g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ , то график $y = g 2 (x)$ дает нижнюю половину круга.

Цель теоремы о неявной функции — сообщить нам, что такие функции, как $g 1 (x)$ и $g 2 (x),$ почти всегда существуют, даже в ситуациях, когда мы не можем записать явные формулы. Он гарантирует, что $g 1 (x)$ и $g 2 (x)$ дифференцируемы, и работает даже в ситуациях, когда у нас нет формулы для $f (x, y)$ .

Определения [ править ]

Позволять $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ быть непрерывно дифференцируемой функцией. Мы думаем о $\mathbb {R} ^{n+m}$ как декартово произведение $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m},$ и мы пишем точку этого продукта как $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots y_{m}).$ Начиная с заданной функции $f$ , наша цель — построить функцию $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ чей график $({\textbf {x}},g({\textbf {x}}))$ это именно набор всех $({\textbf {x}},{\textbf {y}})$ такой, что $f({\textbf {x}},{\textbf {y}})={\textbf {0}}$ .

Как отмечалось выше, это не всегда возможно. Поэтому мы остановимся на одном моменте $({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})$ который удовлетворяет $f({\textbf {a}},{\textbf {b}})={\textbf {0}}$ , и мы попросим $g$ это работает рядом с точкой $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$ . Другими словами, нам нужен открытый набор $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ содержащий ${\textbf {a}}$ , открытый набор $V\subset \mathbb {R} ^{m}$ содержащий ${\textbf {b}}$ и функция $g:U\to V$ такой, что график $g$ удовлетворяет отношению $f={\textbf {0}}$ на $U\times V$ , и что никакие другие точки внутри $U\times V$ Сделай так. В символах,

\{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}.

Чтобы сформулировать теорему о неявной функции, нам нужна Якоби матрица $f$ , которая является матрицей производных частных $f$ . Сокращение $(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})$ к $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$ , матрица Якобиана равна

(Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c|c}X&Y\end{array}}\right]

где $X$ – матрица частных производных по переменным $x_{i}$ и $Y$ – матрица частных производных по переменным $y_{j}$ . Теорема о неявной функции гласит, что если $Y$ обратимая матрица, то существуют $U$ , $V$ , и $g$ по желанию. Совокупность всех гипотез дает следующее утверждение.

Формулировка теоремы [ править ]

Позволять $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ — непрерывно дифференцируемая функция , и пусть $\mathbb {R} ^{n+m}$ есть координаты $({\textbf {x}},{\textbf {y}})$ . Исправить точку $({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})$ с $f({\textbf {a}},{\textbf {b}})=\mathbf {0}$ , где $\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{m}$ – нулевой вектор. Если матрица Якобиана (это правая панель матрицы Якоби, показанная в предыдущем разделе):

J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right]

обратима , то существует открытое множество

U\subset \mathbb {R} ^{n}

содержащий

{\textbf {a}}

такая, что существует единственная функция

g:U\to \mathbb {R} ^{m}

такой, что

g(\mathbf {a} )=\mathbf {b}

, и

f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ~{\text{for all}}~\mathbf {x} \in U

. Более того,

g

непрерывно дифференцируема и обозначает левую панель матрицы Якоби, показанную в предыдущем разделе, как:

J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right],

матрица Якоби частных производных

g

в

U

определяется матричным произведением : ^[3]

\left[{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} )\right]_{m\times n}=-\left[J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times m}^{-1}\,\left[J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times n}

Высшие производные [ править ]

Если, кроме того, $f$ является аналитическим или непрерывно дифференцируемым $k$ раз в окрестностях $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$ , то можно выбрать $U$ для того, чтобы то же самое справедливо и для $g$ внутри $U$ . ^[4] В аналитическом случае это называется теоремой об аналитической неявной функции .

Доказательство для 2D случая [ править ]

Предполагать $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ — непрерывно дифференцируемая функция, определяющая кривую $F(\mathbf {r} )=F(x,y)=0$ . Позволять $(x_{0},y_{0})$ быть точкой на кривой. Утверждение приведенной выше теоремы для этого простого случая можно переписать следующим образом:

Теорема — Если

\left.{\frac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0

тогда в окрестности точки

(x_{0},y_{0})

мы можем написать

y=f(x)

, где

f

это реальная функция.

Доказательство. Поскольку F дифференцируема, запишем дифференциал F через частные производные:

\mathrm {d} F=\operatorname {grad} F\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ={\frac {\partial F}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial F}{\partial y}}\mathrm {d} y.

Поскольку мы ограничены движением по кривой $F=0$ и по предположению ${\tfrac {\partial F}{\partial y}}\neq 0$ вокруг точки $(x_{0},y_{0})$ (с ${\tfrac {\partial F}{\partial y}}$ является непрерывным в $(x_{0},y_{0})$ и $\left.{\tfrac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0$ ). Таким образом, мы имеем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка :

\partial _{x}F\mathrm {d} x+\partial _{y}F\mathrm {d} y=0,\quad y(x_{0})=y_{0}

Теперь ищем решение этого ОДУ в открытом интервале вокруг точки $(x_{0},y_{0})$ для которого в каждой его точке $\partial _{y}F\neq 0$ . Поскольку F непрерывно дифференцируема и по предположению имеем

|\partial _{x}F|<\infty ,|\partial _{y}F|<\infty ,\partial _{y}F\neq 0.

Отсюда мы знаем, что ${\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ непрерывна и ограничена с обоих концов. Отсюда мы знаем, что $-{\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ липшицева непрерывна как по x , так и по y . Следовательно, по теореме Коши-Липшица существует единственный y ( x ), который является решением данного ОДУ с начальными условиями. КЭД

Пример круга [ править ]

Вернемся к примеру единичного круга . В этом случае n = m = 1 и $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ . Матрица частных производных представляет собой просто матрицу размером 1 × 2, определяемую формулой

(Df)(a,b)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)&{\dfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2a&2b\end{bmatrix}}

Таким образом, здесь $Y$ в формулировке теоремы — это просто число $2 b$ ; определяемое им линейное отображение обратимо тогда и только тогда, когда $b \neq 0$ . По теореме о неявной функции мы видим, что мы можем локально записать окружность в виде $y = g (x)$ для всех точек, где $y \neq 0$ . Как отмечалось ранее, при $(\pm1, 0)$ мы сталкиваемся с проблемой. Теорему о неявной функции все еще можно применить к этим двум точкам, записав $x$ как функцию от $y$ , то есть: $x=h(y)$ ; теперь график функции будет $\left(h(y),y\right)$ , поскольку при $b = 0$ имеем $a = 1$ , и условия локального выражения функции в этой форме выполняются.

Неявная производная y по x и x по y может быть найдена путем полного дифференцирования неявной функции $x^{2}+y^{2}-1$ и приравнивая 0:

2x\,dx+2y\,dy=0,

предоставление

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}

и

{\frac {dx}{dy}}=-{\frac {y}{x}}.

Применение: изменение координат [ править ]

Предположим, у нас есть $m$ -мерное пространство, параметризованное набором координат $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ . Мы можем ввести новую систему координат $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ предоставив m функций $h_{1}\ldots h_{m}$ каждое из которых непрерывно дифференцируемо. Эти функции позволяют нам вычислить новые координаты $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ точки, учитывая старые координаты точки $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ с использованием $x'_{1}=h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,x'_{m}=h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})$ . Возможно, кто-то захочет проверить, возможно ли обратное: заданные координаты $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ , можем ли мы «вернуться назад» и вычислить исходные координаты той же точки $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ ? Теорема о неявной функции даст ответ на этот вопрос. Координаты (новые и старые) $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ связаны соотношением f = 0, причем

f(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})=(h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{1},\ldots ,h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{m}).

Теперь матрица Якоби функции f в определенной точке ( a , b ) [где

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

] дан кем-то

(Df)(a,b)=\left[{\begin{matrix}-1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &-1\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{m}}}(b)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{m}}}(b)\\\end{matrix}}\right.\right]=[-I_{m}|J].

где I _m обозначает m × m единичную матрицу размера , а

J

—

m \times m

матрицу частных производных размера , оцененную в ( a , b ). (Выше эти блоки обозначались X и Y. Так получилось, что в этом конкретном применении теоремы ни одна матрица не зависит от a .) Теорема о неявной функции теперь утверждает, что мы можем локально выразить

(x_{1},\ldots ,x_{m})

как функция

(x'_{1},\ldots ,x'_{m})

если J обратим. Требование, чтобы J был обратимым, эквивалентно тому, что det J ≠ 0, поэтому мы видим, что мы можем вернуться от координат со штрихом к координатам без штриха, если определитель якобиана J отличен от нуля. Это утверждение также известно как теорема об обратной функции .

Пример: полярные координаты [ править ]

В качестве простого применения вышеизложенного рассмотрим плоскость, параметризованную полярными координатами $(R, θ)$ . Мы можем перейти к новой системе координат ( декартовы координаты ), определив функции $x (R, θ) = R cos(θ)$ и $y (R, θ) = R sin(θ)$ . Это позволяет по любой точке $(R, θ)$ найти соответствующие декартовы координаты $(x, y)$ . Когда мы сможем вернуться и преобразовать декартовы координаты в полярные координаты? В предыдущем примере достаточно, чтобы $det J \neq 0$ , причем

J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial \theta }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-R\sin \theta \\\sin \theta &R\cos \theta \end{bmatrix}}.

Поскольку

det J = R

, преобразование обратно в полярные координаты возможно, если

R \neq 0

. Итак, осталось проверить случай

R = 0

. Легко видеть, что в случае

R = 0

наше преобразование координат не обратимо: в начале координат значение θ не определено четко.

Обобщения [ править ]

Банахова космическая версия [ править ]

На основе теоремы об обратной функции в банаховом пространстве можно распространить теорему о неявной функции на отображения со значениями в банаховом пространстве. ^[5]^[6]

Пусть X , Y , Z — банаховы пространства . Пусть отображение $f : X \times Y \to Z$ непрерывно дифференцируемо по Фреше . Если $(x_{0},y_{0})\in X\times Y$ , $f(x_{0},y_{0})=0$ , и $y\mapsto Df(x_{0},y_{0})(0,y)$ является изоморфизмом банахового пространства из Y на Z , то существуют окрестности U точки x ₀ и V точки y ₀ и дифференцируемая по Фреше функция g : U → V такие, что f ( x , g ( x )) = 0 и f ( x , y ) = 0 тогда и только тогда, когда y = g ( x ), для всех $(x,y)\in U\times V$ .

Неявные функции из недифференцируемых функций [ править ]

Существуют различные формы теоремы о неявной функции для случая, когда функция f недифференцируема. Обычно в одном измерении достаточно локальной строгой монотонности. ^[7] Следующая более общая форма была доказана Кумагаем на основе наблюдения Джитторнтрума. ^[8]^[9]

Рассмотрим непрерывную функцию $f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ такой, что $f(x_{0},y_{0})=0$ . Если существуют открытые кварталы $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ и $B\subset \mathbb {R} ^{m}$ x 0 _и всех y ₀ соответственно, такие, что для y в B , $f(\cdot ,y):A\to \mathbb {R} ^{n}$ локально взаимно однозначен, то существуют открытые окрестности $A_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ и $B_{0}\subset \mathbb {R} ^{m}$ x 0 _и , y ₀ такие, что для всех $y\in B_{0}$ , уравнение f ( x , y ) = 0 имеет единственное решение

x=g(y)\in A_{0},

где g — непрерывная функция из B ₀ в A ₀ .

Разрушение коллекторов [ править ]

Теорема Перельмана о коллапсе для трехмерных многообразий Терстона , краеугольный камень его доказательства гипотезы геометризации , может быть понята как расширение теоремы о неявной функции. ^[10]

См. также [ править ]

Теорема об обратной функции
Теорема о постоянном ранге . И теорему о неявной функции, и теорему об обратной функции можно рассматривать как частные случаи теоремы о постоянном ранге.

Примечания [ править ]

^ Также называется в теоремой Дини Пизанской школе в Италии. В англоязычной литературе теорема Дини представляет собой отдельную теорему математического анализа.

Ссылки [ править ]

^ Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). МакГроу-Хилл. стр. 204–206 . ISBN 0-07-010813-7 .
^ Кранц, Стивен; Паркс, Гарольд (2003). Теорема о неявной функции . Современная классика Биркгаузера. Биркгаузер. ISBN 0-8176-4285-4 .
^ де Оливейра, Освальдо (2013). «Теоремы о неявной и обратной функциях: простые доказательства». Настоящий анал. Обмен . 39 (1): 214–216. arXiv : 1212.2066 . дои : 10.14321/realanalexch.39.1.0207 . S2CID 118792515 .
^ Фриче, К.; Грауэрт, Х. (2002). От голоморфных функций к комплексным многообразиям . Спрингер. п. 34. ISBN 9780387953953 .
^ Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для аспирантов по математике. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 15–21 . ISBN 0-387-98593-Х .
^ Эдвардс, Чарльз Генри (1994) [1973]. Расширенное исчисление нескольких переменных . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 417–418. ISBN 0-486-68336-2 .
^ Кудрявцев, Лев Дмитриевич (2001) [1994], «Неявная функция» , Энциклопедия Математики , EMS Press
^ Джитторнтрум, К. (1978). «Теорема о неявной функции». Журнал теории оптимизации и приложений . 25 (4): 575–577. дои : 10.1007/BF00933522 . S2CID 121647783 .
^ Кумагай, С. (1980). «Теорема о неявной функции: комментарий». Журнал теории оптимизации и приложений . 31 (2): 285–288. дои : 10.1007/BF00934117 . S2CID 119867925 .
^ Цао, Цзяньго; Ге, Цзянь (2011). «Простое доказательство теоремы Перельмана о коллапсе для трехмерных многообразий». Дж. Геом. Анал . 21 (4): 807–869. arXiv : 1003.2215 . дои : 10.1007/s12220-010-9169-5 . S2CID 514106 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Аллендорфер, Карл Б. (1974). «Теоремы о дифференцируемых функциях». Исчисление нескольких переменных и дифференцируемых многообразий . Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 54–88. ISBN 0-02-301840-2 .
Бинмор, КГ (1983). «Неявные функции» . Исчисление . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 198–211. ISBN 0-521-28952-1 .
Лумис, Линн Х .; Штернберг, Шломо (1990). Расширенное исчисление (пересмотренное издание). Бостон: Джонс и Бартлетт. стр. 164–171 . ISBN 0-86720-122-3 .
Проттер, Мюррей Х .; Морри, Чарльз Б. младший. (1985). «Теоремы о неявной функции. Якобианы» . Промежуточное исчисление (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 100-1 390–420. ISBN 0-387-96058-9 .

[1] Также называется в теоремой Дини Пизанской школе в Италии. В англоязычной литературе теорема Дини представляет собой отдельную теорему математического анализа.

[2] Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). МакГроу-Хилл. стр. 204–206 . ISBN 0-07-010813-7 .

[3] Кранц, Стивен; Паркс, Гарольд (2003). Теорема о неявной функции . Современная классика Биркгаузера. Биркгаузер. ISBN 0-8176-4285-4 .

[4] де Оливейра, Освальдо (2013). «Теоремы о неявной и обратной функциях: простые доказательства». Настоящий анал. Обмен . 39 (1): 214–216. arXiv : 1212.2066 . дои : 10.14321/realanalexch.39.1.0207 . S2CID 118792515 .

[5] Фриче, К.; Грауэрт, Х. (2002). От голоморфных функций к комплексным многообразиям . Спрингер. п. 34. ISBN 9780387953953 .

[6] Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для аспирантов по математике. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 15–21 . ISBN 0-387-98593-Х .

[7] Эдвардс, Чарльз Генри (1994) [1973]. Расширенное исчисление нескольких переменных . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 417–418. ISBN 0-486-68336-2 .

[8] Кудрявцев, Лев Дмитриевич (2001) [1994], «Неявная функция» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[9] Джитторнтрум, К. (1978). «Теорема о неявной функции». Журнал теории оптимизации и приложений . 25 (4): 575–577. дои : 10.1007/BF00933522 . S2CID 121647783 .

[10] Кумагай, С. (1980). «Теорема о неявной функции: комментарий». Журнал теории оптимизации и приложений . 31 (2): 285–288. дои : 10.1007/BF00934117 . S2CID 119867925 .

[11] Цао, Цзяньго; Ге, Цзянь (2011). «Простое доказательство теоремы Перельмана о коллапсе для трехмерных многообразий». Дж. Геом. Анал . 21 (4): 807–869. arXiv : 1003.2215 . дои : 10.1007/s12220-010-9169-5 . S2CID 514106 .

[а]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]