Теорема об обратной функции

В математике , особенно в дифференциальном исчислении , теорема об обратной функции дает достаточное условие для того, чтобы функция была обратимой в окрестности точки в ее области определения : а именно, что ее производная непрерывна и не равна нулю в этой точке . Теорема также дает формулу для производной обратной функции .В исчислении многих переменных эту теорему можно обобщить на любую непрерывно дифференцируемую , вектор-функцию которой определитель Якобиана не равен нулю в точке ее области определения, давая формулу для матрицы Якобиана обратной функции. Существуют также версии теоремы об обратной функции для голоморфных функций , для дифференцируемых отображений между многообразиями , для дифференцируемых функций между банаховыми пространствами и т. д.

Теорема была впервые установлена ​​Пикаром и Гурса с использованием итерационной схемы: основная идея состоит в том, чтобы доказать теорему о неподвижной точке с помощью теоремы о сжимающемся отображении .

Заявления

Для функций одной переменной теорема утверждает, что если $f$ — непрерывно дифференцируемая функция с ненулевой производной в точке $a$; затем $f$ инъективен (или биективен по отношению к изображению) в окрестности $a$, обратное непрерывно дифференцируемо вблизи $b=f(a)$и производная обратной функции при $b$ является обратной производной $f$ в $a$: $${\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}.$$

Может случиться так, что функция $f$ может быть инъективным вблизи точки $a$ пока $f'(a)=0$. Примером является $f(x)=(x-a)^{3}$. Действительно, для такой функции обратная не может быть дифференцируема при $b=f(a)$, поскольку если $f^{-1}$ были дифференцируемы в $b$, то по правилу цепочки $1=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)f'(a)$, что подразумевает $f'(a)\neq 0$. (Ситуация иная для голоморфных функций; см. Теорему #Голоморфная обратная функция ниже.)

Для функций более чем одной переменной теорема утверждает, что если $f$ — непрерывно дифференцируемая функция из открытого подмножества $A$ из $\mathbb {R} ^{n}$ в $\mathbb {R} ^{n}$и производная $f'(a)$ обратима в точке a (т. е. определитель матрицы Якоби функции f в точке a отличен от нуля), то существуют окрестности $U$ из $a$ в $A$ и $V$ из $b=f(a)$ такой, что $f(U)\subset V$ и $f:U\to V$ является биективным. Письмо $f=(f_{1},\ldots ,f_{n})$, это означает, что система n уравнений $y_{i}=f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$ имеет уникальное решение для $x_{1},\dots ,x_{n}$ с точки зрения $y_{1},\dots ,y_{n}$ когда $x\in U,y\in V$. Обратите внимание, что в теореме не говорится $f$ является биективным по отношению к изображению, где $f'$ обратима, но локально биективна, где $f'$ является обратимым.

Более того, теорема гласит, что обратная функция $f^{-1}:V\to U$ непрерывно дифференцируема, а ее производная при $b=f(a)$ это обратная карта $f'(a)$; то есть,

$(f^{-1})'(b)=f'(a)^{-1}.$

Другими словами, если $Jf^{-1}(b),Jf(a)$ являются матрицами Якоби, представляющими $(f^{-1})'(b),f'(a)$, это означает:

$Jf^{-1}(b)=Jf(a)^{-1}.$

Сложная часть теоремы — существование и дифференцируемость $f^{-1}$. Предполагая это, формула обратной производной следует из правила цепочки, примененного к $f^{-1}\circ f=I$. (Действительно, $1=I'(a)=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)\circ f'(a).$) Поскольку взятие обратного бесконечно дифференцируемо, формула для производной обратного показывает, что если $f$ непрерывно $k$ раз дифференцируема, с обратимой производной в точке a , то обратное также непрерывно $k$ раз дифференцируемы. Здесь $k$ является положительным целым числом или $\infty$.

Существует два варианта теоремы об обратной функции. Учитывая непрерывно дифференцируемое отображение $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$, первое это

• Производная $f'(a)$ является сюръективным (т. е. представляющая его матрица Якобиана имеет ранг $m$) тогда и только тогда, когда существует непрерывно дифференцируемая функция $g$ по соседству $V$ из $b=f(a)$ такой $f\circ g=I$ около $b$,

и второй

• Производная $f'(a)$ инъективен тогда и только тогда, когда существует непрерывно дифференцируемая функция $g$ по соседству $V$ из $b=f(a)$ такой $g\circ f=I$ около $a$.

В первом случае (когда $f'(a)$ сюръективен), точка $b=f(a)$ называется регулярным значением . С $m=\dim \ker(f'(a))+\dim \operatorname {im} (f'(a))$, первый случай эквивалентен высказыванию $b=f(a)$ нет на изображении критических точек $a$ (критическая точка – это точка $a$ такое, что ядро $f'(a)$ не равно нулю). Утверждение в первом случае является частным случаем теоремы о погружении .

Эти варианты являются переформулировкой теоремы об обратных функциях. Действительно, в первом случае, когда $f'(a)$ сюръективно, мы можем найти (инъективное) линейное отображение $T$ такой, что $f'(a)\circ T=I$. Определять $h(x)=a+Tx$ чтобы у нас было:

$(f\circ h)'(0)=f'(a)\circ T=I.$

Таким образом, по теореме об обратной функции $f\circ h$ имеет обратную вблизи $0$; то есть, $f\circ h\circ (f\circ h)^{-1}=I$ около $b$. Второй случай ( $f'(a)$ инъективен) рассматривается аналогичным образом.

Пример

Рассмотрим вектор-функцию $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!$ определяется:

$F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}.$

Матрица Якобиана:

$J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}$

с определителем Якобиана:

$\det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!$

Определитель $e^{2x}\!$ везде ненулевое значение. Таким образом, теорема гарантирует, что для каждой точки p в $\mathbb {R} ^{2}\!$, существует окрестность p, над которой F обратимо. Это не означает, что F обратим во всей своей области определения: в этом случае F даже не инъективен, поскольку он периодичен: $F(x,y)=F(x,y+2\pi )\!$.

Контрпример

Функция $f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$ ограничен внутри квадратичной оболочки вблизи линии $y=x$, так $f'(0)=1$. Тем не менее, у него есть локальные точки максимума/минимума, накапливающиеся при $x=0$, поэтому оно не является взаимно однозначным на любом окружающем интервале.

Если отказаться от предположения о непрерывности производной, функция больше не обязательно будет обратимой. Например $f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$ и $f(0)=0$ имеет разрывную производную $f'\!(x)=1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}})$ и $f'\!(0)=1$, который исчезает сколь угодно близко к $x=0$. Эти критические точки являются локальными максимальными/минимальными точками $f$, так $f$ не является взаимно однозначным (и необратимым) на любом интервале, содержащем $x=0$. Интуитивно, наклон $f'\!(0)=1$ не распространяется на близлежащие точки, где наклоны определяются слабыми, но быстрыми колебаниями.

Методы доказательства

Важным результатом является то, что теорема об обратной функции получила многочисленные доказательства. Доказательство, которое чаще всего встречается в учебниках, основано на принципе сжимающего отображения , также известном как теорема Банаха о неподвижной точке (которую также можно использовать как ключевой шаг в доказательстве существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений ).

Поскольку теорема о неподвижной точке применима в бесконечномерных (банаховом пространстве) условиях, это доказательство немедленно обобщается на бесконечномерную версию теоремы об обратной функции. (см. «Обобщения» ниже).

Альтернативное доказательство в конечных измерениях основано на теореме об экстремальных значениях для функций на компактном множестве . Преимущество этого подхода состоит в том, что доказательство обобщается на ситуацию, когда полнота Коши отсутствует (см. § Над вещественным замкнутым полем ).

Еще одно доказательство использует метод Ньютона , преимущество которого состоит в том, что он обеспечивает эффективную версию теоремы: границы производной функции подразумевают оценку размера окрестности, в которой функция обратима.

Доказательство с использованием последовательного приближения

Чтобы доказать существование, после аффинного преобразования можно предположить, что $f(0)=0$ и $f^{\prime }(0)=I$, так что $a=b=0$.

По теореме о среднем значении для вектор-функций для дифференцируемой функции $u:[0,1]\to \mathbb {R} ^{m}$, ${\textstyle \|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|}$. Параметр $u(t)=f(x+t(x^{\prime }-x))-x-t(x^{\prime }-x)$, отсюда следует, что

$\|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|\,\sup _{0\leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x))-I\|.$

Теперь выберите $\delta >0$ так что ${\textstyle \|f'(x)-I\|<{1 \over 2}}$ для $\|x\|<\delta$. Предположим, что $\|y\|<\delta /2$ и определить $x_{n}$ индуктивно по $x_{0}=0$ и $x_{n+1}=x_{n}+y-f(x_{n})$. Предположения показывают, что если $\|x\|,\,\,\|x^{\prime }\|<\delta$ затем

$\|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|/2$.

В частности $f(x)=f(x^{\prime })$ подразумевает $x=x^{\prime }$. В индуктивной схеме $\|x_{n}\|<\delta$и $\|x_{n+1}-x_{n}\|<\delta /2^{n}$. Таким образом $(x_{n})$ является последовательностью Коши, стремящейся к $x$. По конструкции $f(x)=y$ по мере необходимости.

Чтобы проверить это $g=f^{-1}$ это С ¹ , писать $g(y+k)=x+h$ так что $f(x+h)=f(x)+k$. Согласно неравенствам, указанным выше, $\|h-k\|<\|h\|/2$ так что $\|h\|/2<\|k\|<2\|h\|$.С другой стороны, если $A=f^{\prime }(x)$, затем $\|A-I\|<1/2$. Используя геометрический ряд для $B=I-A$, отсюда следует, что $\|A^{-1}\|<2$. Но тогда

${\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|h-f^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \over \|h\|}$

стремится к 0, так как $k$ и $h$ стремятся к 0, доказывая, что $g$ это С ¹ с $g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}$.

Приведенное выше доказательство представлено для конечномерного пространства, но одинаково хорошо применимо и для банаховых пространств . Если обратимая функция $f$ это С ^к с $k>1$, то и обратное тоже. Это следует по индукции, используя тот факт, что отображение $F(A)=A^{-1}$ на операторах C ^к для любого $k$ (в конечномерном случае это элементарный факт, поскольку обратная матрица задается как сопряженная матрица, деленная на ее определитель ). Метод доказательства здесь можно найти в книгах Анри Картана , Жана Дьедонне , Сержа Ланга , Роже Годмана и Ларса Хёрмандера .

Доказательство с использованием принципа сжимающего отображения.

Вот доказательство, основанное на теореме о сжимающемся отображении . В частности, следуя Т. Тао, он использует следующее следствие теоремы о сжатии.

Лемма — Пусть $B(0,r)$ обозначим открытый шар радиуса r в $\mathbb {R} ^{n}$ с центром 0 и $g:B(0,r)\to \mathbb {R} ^{n}$ карта с константой $0<c<1$ такой, что

$|g(y)-g(x)|\leq c|y-x|$

для всех $x,y$ в $B(0,r)$. Тогда для $f=I+g$ на $B(0,r)$, у нас есть

$(1-c)|x-y|\leq |f(x)-f(y)|,$

в частности, f инъективен. Если, кроме того, $g(0)=0$, затем

$B(0,(1-c)r)\subset f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)$.

В более общем смысле утверждение остается верным, если $\mathbb {R} ^{n}$ заменяется банаховым пространством. Кроме того, первая часть леммы справедлива для любого нормированного пространства.

По сути, лемма говорит, что небольшое возмущение тождественного отображения сжимающим отображением является инъективным и в некотором смысле сохраняет шар. Предположив на мгновение лемму, мы сначала докажем теорему. Как и в приведенном выше доказательстве, достаточно доказать частный случай, когда $a=0,b=f(a)=0$ и $f'(0)=I$. Позволять $g=f-I$. Неравенство среднего значения, применимое к $t\mapsto g(x+t(y-x))$ говорит:

$|g(y)-g(x)|\leq |y-x|\sup _{0<t<1}|g'(x+t(y-x))|.$

С $g'(0)=I-I=0$ и $g'$ является непрерывным, мы можем найти $r>0$ такой, что

$|g(y)-g(x)|\leq 2^{-1}|y-x|$

для всех $x,y$ в $B(0,r)$. Тогда ранняя лемма говорит, что $f=g+I$ является инъективным $B(0,r)$ и $B(0,r/2)\subset f(B(0,r))$. Затем

$f:U=B(0,r)\cap f^{-1}(B(0,r/2))\to V=B(0,r/2)$

является биективным и, следовательно, имеет обратное. Далее мы покажем обратное $f^{-1}$ непрерывно дифференцируема (эта часть рассуждения такая же, как и в предыдущем доказательстве). На этот раз пусть $g=f^{-1}$ обозначаем обратную величину $f$ и $A=f'(x)$. Для $x=g(y)$, мы пишем $g(y+k)=x+h$ или $y+k=f(x+h)$. Теперь, по ранней оценке, мы имеем

$|h-k|=|f(x+h)-f(x)-h|\leq |h|/2$

и так $|h|/2\leq |k|$. Письмо $\|\cdot \|$ для операторной нормы,

$|g(y+k)-g(y)-A^{-1}k|=|h-A^{-1}(f(x+h)-f(x))|\leq \|A^{-1}\||Ah-f(x+h)+f(x)|.$

Как $k\to 0$, у нас есть $h\to 0$ и $|h|/|k|$ ограничен. Следовательно, $g$ дифференцируема в $y$ с производной $g'(y)=f'(g(y))^{-1}$. Также, $g'$ такой же, как и состав $\iota \circ f'\circ g$ где $\iota :T\mapsto T^{-1}$; так $g'$ является непрерывным.

Осталось доказать лемму. Во-первых, у нас есть:

$|x-y|-|f(x)-f(y)|\leq |g(x)-g(y)|\leq c|x-y|,$

то есть

$(1-c)|x-y|\leq |f(x)-f(y)|.$

Это доказывает первую часть. Далее мы покажем $f(B(0,r))\supset B(0,(1-c)r)$. Идея состоит в том, чтобы отметить, что это эквивалентно, учитывая точку $y$ в $B(0,(1-c)r)$, найдите фиксированную точку карты

$F:{\overline {B}}(0,r')\to {\overline {B}}(0,r'),\,x\mapsto y-g(x)$

где $0<r'<r$ такой, что $|y|\leq (1-c)r'$ а планка означает закрытый шар. Чтобы найти неподвижную точку, мы используем теорему о сжатии и проверяем, что $F$ является четко определенным отображением строгого сжатия. Наконец, мы имеем: $f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)$ с

$|f(x)|=|x+g(x)-g(0)|\leq (1+c)|x|.\square$

Как может быть ясно, это доказательство существенно не отличается от предыдущего, поскольку доказательство теоремы о сжимающем отображении проводится методом последовательного приближения.

Приложения

Теорема о неявной функции

Теорему об обратной функции можно использовать для решения системы уравнений

${\begin{aligned}&f_{1}(x)=y_{1}\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x)=y_{n},\end{aligned}}$

то есть выражая $y_{1},\dots ,y_{n}$ как функции $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$, при условии, что матрица Якоби обратима. Теорема о неявной функции позволяет решить более общую систему уравнений:

${\begin{aligned}&f_{1}(x,y)=0\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x,y)=0\end{aligned}}$

для $y$ с точки зрения $x$. Хотя эта теорема и более общая, на самом деле она является следствием теоремы об обратной функции. Во-первых, точная формулировка теоремы о неявной функции выглядит следующим образом:

• дали карту $f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$, если $f(a,b)=0$, $f$ непрерывно дифференцируема в окрестности $(a,b)$ и производная от $y\mapsto f(a,y)$ в $b$ обратимо, то существует дифференцируемое отображение $g:U\to V$ для некоторых районов $U,V$ из $a,b$ такой, что $f(x,g(x))=0$. Более того, если $f(x,y)=0,x\in U,y\in V$, затем $y=g(x)$; то есть, $g(x)$ это уникальное решение.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрите карту $F(x,y)=(x,f(x,y))$. По теореме об обратной функции $F:U\times V\to W$ имеет обратное значение $G$ для некоторых районов $U,V,W$. Тогда у нас есть:

$(x,y)=F(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y))=(G_{1}(x,y),f(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y)),$

подразумевая $x=G_{1}(x,y)$ и $y=f(x,G_{2}(x,y)).$ Таким образом $g(x)=G_{2}(x,0)$ имеет необходимое свойство. $\square$

Придание многообразной структуры

В дифференциальной геометрии теорема об обратной функции используется, чтобы показать, что прообраз регулярного значения при гладком отображении является многообразием. Действительно, пусть $f:U\to \mathbb {R} ^{r}$ быть такой гладкой картой из открытого подмножества $\mathbb {R} ^{n}$ (поскольку результат локальный, при рассмотрении такого отображения потери общности не происходит). Исправить точку $a$ в $f^{-1}(b)$ а затем, переставив координаты на $\mathbb {R} ^{n}$, предположим, что матрица $\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right]_{1\leq i,j\leq r}$ имеет ранг $r$. Тогда карта $F:U\to \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n-r}=\mathbb {R} ^{n},\,x\mapsto (f(x),x_{r+1},\dots ,x_{n})$ таков, что $F'(a)$ имеет ранг $n$. Следовательно, по теореме об обратной функции находим гладкую обратную функцию $G$ из $F$ определенный в окрестностях $V\times W$ из $(b,a_{r+1},\dots ,a_{n})$. Тогда у нас есть

$x=(F\circ G)(x)=(f(G(x)),G_{r+1}(x),\dots ,G_{n}(x)),$

что подразумевает

$(f\circ G)(x_{1},\dots ,x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{r}).$

То есть после замены координат на $G$, $f$ является координатной проекцией (этот факт известен как теорема о погружении ). Более того, поскольку $G:V\times W\to U'=G(V\times W)$ биективно, отображение

$g=G(b,\cdot ):W\to f^{-1}(b)\cap U',\,(x_{r+1},\dots ,x_{n})\mapsto G(b,x_{r+1},\dots ,x_{n})$

является биективным с гладким обратным. То есть, $g$ дает локальную параметризацию $f^{-1}(b)$ вокруг $a$. Следовательно, $f^{-1}(b)$ является многообразием. $\square$ (Обратите внимание, что доказательство очень похоже на доказательство теоремы о неявной функции, и фактически вместо нее также можно использовать теорему о неявной функции.)

В более общем смысле теорема показывает, что если гладкое отображение $f:P\to E$ трансверсально подмногообразию $M\subset E$, то прообраз $f^{-1}(M)\hookrightarrow P$ является подмногообразием.

Глобальная версия

Теорема об обратной функции является локальным результатом; это применимо к каждой точке. Таким образом, априори теорема показывает только функцию $f$ локально биективен (или локально диффеоморфен некоторого класса). Следующая топологическая лемма может быть использована для повышения локальной инъективности до инъективности, которая в некоторой степени является глобальной.

Лемма — Если $A$ является замкнутым подмножеством (второ-счетного) топологического многообразия $X$ (или, в более общем смысле, топологическое пространство, допускающее исчерпывание компактными подмножествами ) и $f:X\to Z$, $Z$ некотором топологическом пространстве, является локальным гомеоморфизмом, инъективным на $A$, затем $f$ инъективен в некоторой окрестности $A$.

Доказательство: Сначала предположим $X$ компактен ​ . Если заключение теоремы неверно, мы можем найти две последовательности $x_{i}\neq y_{i}$ такой, что $f(x_{i})=f(y_{i})$ и $x_{i},y_{i}$ каждый сходится в каких-то точках $x,y$ в $A$. С $f$ является инъективным $A$, $x=y$. Теперь, если $i$ достаточно велик, $x_{i},y_{i}$ находятся в окрестностях $x=y$ где $f$ является инъективным; таким образом, $x_{i}=y_{i}$, противоречие.

В общем, рассмотрим набор $E=\{(x,y)\in X^{2}\mid x\neq y,f(x)=f(y)\}$. Оно не пересекается с $S\times S$ для любого подмножества $S\subset X$ где $f$ является инъективным. Позволять $X_{1}\subset X_{2}\subset \cdots$ — возрастающая последовательность компактных подмножеств с объединением $X$ и с $X_{i}$ содержится во внутренней части $X_{i+1}$. Тогда по первой части доказательства для каждого $i$, мы можем найти окрестности $U_{i}$ из $A\cap X_{i}$ такой, что $U_{i}^{2}\subset X^{2}-E$. Затем $U=\bigcup _{i}U_{i}$ имеет необходимое свойство. $\square$ (См. также для альтернативного подхода.)

Из леммы следует следующая (своего рода) глобальная версия теоремы об обратной функции:

Теорема об обратной функции - Позволять $f:U\to V$ быть картой между открытыми подмножествами $\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}$ или, в более общем плане, многообразий. Предполагать $f$ непрерывно дифференцируема (или $C^{k}$). Если $f$ инъективен на замкнутом подмножестве $A\subset U$ и если матрица Якобиана $f$ обратима в каждой точке $A$, затем $f$ инъективен в окрестности $A'$ из $A$ и $f^{-1}:f(A')\to A'$ непрерывно дифференцируема (или $C^{k}$).

Обратите внимание, что если $A$ является точкой, то приведенное выше утверждение является обычной теоремой об обратной функции.

Теорема о голоморфной обратной функции

Существует версия теоремы об обратной функции для голоморфных отображений .

Теорема — Позволять $U,V\subset \mathbb {C} ^{n}$ быть открытыми подмножествами такими, что $0\in U$ и $f:U\to V$ голоморфное отображение, матрица Якобиана которого в переменных $z_{i},{\overline {z}}_{i}$ обратима (определитель не равен нулю) при $0$. Затем $f$ инъективен в некоторой окрестности $W$ из $0$ и обратное $f^{-1}:f(W)\to W$ голоморфен.

Теорема следует из обычной теоремы об обратной функции. Действительно, пусть $J_{\mathbb {R} }(f)$ обозначим матрицу Якобиана $f$ в переменных $x_{i},y_{i}$ и $J(f)$ для этого в $z_{j},{\overline {z}}_{j}$. Тогда у нас есть $\det J_{\mathbb {R} }(f)=|\det J(f)|^{2}$, который по предположению не равен нулю. Следовательно, по обычной теореме об обратной функции $f$ инъективен вблизи $0$ с непрерывно дифференцируемым обратным. По цепному правилу, с $w=f(z)$,

${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}_{j}}}(f_{j}^{-1}\circ f)(z)=\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial w_{k}}}(w){\frac {\partial f_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)+\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w){\frac {\partial {\overline {f}}_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)$

где левая часть и первое слагаемое справа равны нулю, так как $f_{j}^{-1}\circ f$ и $f_{k}$ голоморфны. Таким образом, ${\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w)=0$ для каждого $k$. $\square$

Аналогично существует теорема о неявной функции для голоморфных функций.

Как уже отмечалось ранее, может случиться так, что инъективная гладкая функция имеет обратную, не являющуюся гладкой (например, $f(x)=x^{3}$ в действительной переменной). Это не относится к голоморфным функциям по следующим причинам:

Предложение — Если $f:U\to V$ является инъективным голоморфным отображением между открытыми подмножествами $\mathbb {C} ^{n}$, затем $f^{-1}:f(U)\to U$ голоморфен.

Составы для коллекторов

Теорему об обратной функции можно перефразировать в терминах дифференцируемых отображений между дифференцируемыми многообразиями . В этом контексте теорема утверждает, что для дифференцируемого отображения $F:M\to N$ (класса $C^{1}$ , если дифференциал ) $F$,

$dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N$

является линейным изоморфизмом в точке $p$ в $M$ тогда существует открытая окрестность $U$ из $p$ такой, что

$F|_{U}:U\to F(U)$

является диффеоморфизмом . Заметим, что из этого следует, что компоненты связности M и N, содержащие p и F ( p ), имеют одинаковую размерность, что уже непосредственно следует из предположения, что dF _p — изоморфизм.Если производная F является изоморфизмом во всех точках p в M, то отображение F является локальным диффеоморфизмом .

Обобщения

Банаховы пространства

Теорема об обратной функции также может быть обобщена на дифференцируемые отображения банаховых пространств X и Y . Пусть U — открытая окрестность начала координат в X и $F:U\to Y\!$ непрерывно дифференцируемая функция, и предположим, что производная Фреше $dF_{0}:X\to Y\!$ F в точке 0 является ограниченным линейным изоморфизмом X на Y . Тогда существует открытая окрестность V точки $F(0)\!$ в Y и непрерывно дифференцируемом отображении $G:V\to X\!$ такой, что $F(G(y))=y$ для всех y в V . Более того, $G(y)\!$ является единственным достаточно малым решением x уравнения $F(x)=y\!$.

Существует также теорема об обратной функции для банаховых многообразий .

Теорема о постоянном ранге

Теорему об обратной функции (и теорему о неявной функции ) можно рассматривать как частный случай теоремы о постоянном ранге, которая утверждает, что гладкое отображение с постоянным рангом вблизи точки можно привести в определенную нормальную форму вблизи этой точки. В частности, если $F:M\to N$ имеет постоянный ранг вблизи точки $p\in M\!$, то существуют открытые окрестности U точки p и V точки $F(p)\!$ и существуют диффеоморфизмы $u:T_{p}M\to U\!$ и $v:T_{F(p)}N\to V\!$ такой, что $F(U)\subseteq V\!$ и такой, что производная $dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N\!$ равно $v^{-1}\circ F\circ u\!$. То есть F «выглядит» как свою производную вблизи p . Набор очков $p\in M$ такой, что ранг постоянен в окрестности $p$ — открытое плотное подмножество M ; это является следствием полунепрерывности ранговой функции. Таким образом, теорема о постоянном ранге применима к общей точке области.

Когда производная F инъективна (соответственно сюръективна) в точке p , она также инъективна (соответственно сюръективна) в окрестности точки p , и, следовательно, ранг F постоянен в этой окрестности, и применяется теорема о постоянном ранге. .

Полиномиальные функции

Если это правда, то гипотеза о якобиане была бы вариантом теоремы об обратной функции для многочленов. В нем говорится, что если векторнозначная полиномиальная функция имеет определитель Якобиана , который является обратимым многочленом (то есть ненулевой константой), то у нее есть обратная функция, которая также является полиномиальной функцией. Неизвестно, правда это или ложь, даже в случае двух переменных. Это основная открытая проблема теории полиномов.

Выбор

Когда $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ с $m\leq n$, $f$ является $k$ раз непрерывно дифференцируемы , а якобиан $A=\nabla f({\overline {x}})$ в какой-то момент ${\overline {x}}$ имеет ранг $m$, инверсия $f$ может быть не уникальным. Однако существует функция локального выбора $s$ такой, что $f(s(y))=y$ для всех $y$ в районе ​ ${\overline {y}}=f({\overline {x}})$, $s({\overline {y}})={\overline {x}}$, $s$ является $k$ раз непрерывно дифференцируемы в этой окрестности, и $\nabla s({\overline {y}})=A^{T}(AA^{T})^{-1}$ ( $\nabla s({\overline {y}})$ является Мура – ​​Пенроуза псевдообратной функцией $A$).

Над настоящим закрытым полем

Теорема об обратной функции справедлива и для вещественного замкнутого поля k (или O-минимальной структуры ). Точнее, теорема справедлива для полуалгебраического (или определимого) отображения между открытыми подмножествами $k^{n}$ то есть непрерывно дифференцируемо.

Обычное доказательство IFT использует теорему Банаха о неподвижной точке, которая опирается на полноту Коши. Эта часть рассуждения заменяется использованием теоремы о крайних значениях , которая не требует полноты. Явно, в § Доказательство с использованием принципа сжимающего отображения полнота Коши используется только для установления включения $B(0,r/2)\subset f(B(0,r))$. Здесь мы непосредственно покажем $B(0,r/4)\subset f(B(0,r))$ вместо этого (чего достаточно). Учитывая точку $y$ в $B(0,r/4)$, рассмотрим функцию $P(x)=|f(x)-y|^{2}$ определенный в окрестности ${\overline {B}}(0,r)$. Если $P'(x)=0$, затем $0=P'(x)=2[f_{1}(x)-y_{1}\cdots f_{n}(x)-y_{n}]f'(x)$ и так $f(x)=y$, с $f'(x)$ является обратимым. Теперь по теореме об экстремальных значениях $P$ допускает минимум в какой-то момент $x_{0}$ на закрытом шаре ${\overline {B}}(0,r)$, который, как можно показать, лежит в $B(0,r)$ с использованием $2^{-1}|x|\leq |f(x)|$. С $P'(x_{0})=0$, $f(x_{0})=y$, что доказывает заявленное включение. $\square$

См. также

• Nash–Moser theorem

Ссылки

• Аллендорфер, Карл Б. (1974). «Теоремы о дифференцируемых функциях». Исчисление нескольких переменных и дифференцируемых многообразий . Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 54–88. ISBN  0-02-301840-2 .
• Баксандалл, Питер ; Либек, Ганс (1986). «Теорема об обратной функции». Векторное исчисление . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 214–225. ISBN  0-19-859652-9 .
• Ниженхейс, Альберт (1974). «Сильные производные и обратные отображения». амер. Математика. Ежемесячно . 81 (9): 969–980. дои : 10.2307/2319298 . hdl : 10338.dmlcz/102482 . JSTOR   2319298 .
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1978), Принципы алгебраической геометрии , John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-05059-9 .
• Хирш, Моррис В. (1976). Дифференциальная топология . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-90148-0 .
• Проттер, Мюррей Х .; Морри, Чарльз Б. младший (1985). «Преобразования и якобианы». Промежуточное исчисление (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 412–420. ISBN  0-387-96058-9 .
• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 337–338. ISBN  0-387-00444-0 .
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Международная серия по чистой и прикладной математике (Третье изд.). Нью-Йорк: Книга МакГроу-Хилла. стр. 221–223 . ISBN  978-0-07-085613-4 .
• Спивак, Михаил (1965). Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам расширенного исчисления . Сан-Франциско: Бенджамин Каммингс. ISBN  0-8053-9021-9 .