Исчисление на многообразиях (книга)

Исчисление на многообразиях

Первое издание
Автор	Михаил Спивак
Язык	Английский
Предмет	Математика
Издатель	Бенджамин Каммингс
Дата публикации	1965
Место публикации	Соединенные Штаты
Страницы	146
ISBN	0-8053-9021-9
ОКЛК	607457141

Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам расширенного исчисления (1965) Майкла Спивака - это краткий, строгий и современный учебник по исчислению с множеством переменных, дифференциальным формам и интегрированию на многообразиях для студентов продвинутого уровня.

Описание

«Исчисление на многообразиях» — краткая монография по теории вектор-функций нескольких действительных переменных ( f : R ^н →R ^м ) и дифференцируемые многообразия в евклидовом пространстве. Помимо распространения понятий дифференцирования (включая теоремы об обратной и неявной функции ) и интегрирования Римана (включая теорему Фубини ) на функции многих переменных, в книге рассматриваются классические теоремы векторного исчисления, в том числе теоремы Коши–Грина , Остроградского– Гаусса (теорема о дивергенции) и Кельвина-Стокса на языке дифференциальных форм на дифференцируемых многообразиях, вложенных в евклидово пространство , и как следствия обобщенной теоремы Стокса о многообразиях с краем . Книга завершается утверждением и доказательством этого обширного и абстрактного современного обобщения нескольких классических результатов:

Теорема Стокса для многообразий с краем. - Если $M$ представляет собой компактный ориентированный $k$-мерное многообразие с краем, $\partial M$ — граница с учетом индуцированной ориентации, а $\omega$ это ( $k-1$) -форма на $M$, затем $\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega$.

На обложке журнала «Исчисление на многообразиях» представлены фрагменты письма лорда Кельвина сэру Джорджу Стоксу от 2 июля 1850 года , содержащее первое раскрытие классической теоремы Стокса (т. е. теоремы Кельвина-Стокса ).

Прием

Цель «Исчисления на многообразиях» - представить темы многомерного и векторного исчисления так, как их видит современный работающий математик, но при этом достаточно просто и выборочно, чтобы их могли понять студенты бакалавриата, чья предыдущая курсовая работа по математике включала только исчисление с одной переменной и вводная линейная алгебра. Хотя элементарное рассмотрение современных математических инструментов Спиваком в целом успешно (и этот подход сделал «Исчисление на многообразиях» стандартным введением в строгую теорию исчисления многих переменных), текст также хорошо известен своим лаконичным стилем, отсутствием мотивирующих примеров и частыми пропусками. неочевидных шагов и аргументов. Например, чтобы сформулировать и доказать обобщенную теорему Стокса о цепях, множество незнакомых понятий и конструкций (например, тензорные произведения , дифференциальные формы , касательные пространства , обратные модели , внешние производные , куб и цепи в быстрой последовательности вводится ). в объеме 25 страниц. Более того, внимательные читатели заметили в тексте ряд нетривиальных оплошностей, в том числе отсутствие гипотез в теоремах, неточную формулировку теорем и доказательства, которые не охватывают все случаи.

Другие учебники

Более поздним учебником, который также охватывает эти темы на уровне бакалавриата, является текст «Анализ многообразий» Джеймса Манкреса (366 стр.). Работа Манкреса, более чем в два раза превышающая объем «Исчисления на многообразиях» , представляет собой более тщательное и подробное рассмотрение предмета в неторопливом темпе. Тем не менее, Мункрес признает влияние более раннего текста Спивака в предисловии к «Анализ многообразий» .

пятитомного учебника Спивака « Всестороннее введение в дифференциальную геометрию» В предисловии говорится, что исчисление многообразий служит предварительным условием для курса, основанного на этом тексте. Фактически, некоторые концепции, представленные в «Исчислении многообразий», вновь появляются в первом томе этой классической работы в более сложных условиях.

См. также

• Дифференцируемые многообразия
• Многолинейная форма

Ссылки

• Ауслендер, Луи (1967), «Обзор исчисления на многообразиях - современный подход к классическим теоремам расширенного исчисления», Quarterly of Applied Mathematics , 24 (4): 388–389
• Боттс, Трумэн (1966), «Обзор работы: Исчисление многообразий Майкла Спивака», Science , 153 (3732): 164–165, doi : 10.1126/science.153.3732.164-a
• Хаббард, Джон Х .; Хаббард, Барбара Берк (2009) [1998], Векторное исчисление, линейная алгебра и дифференциальные формы: единый подход (4-е изд.), Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис-Холл (4-е издание, издательство Matrix Editions (Итака, Нью-Йорк)) , ISBN  978-0-9715766-5-0 [ Элементарный подход к дифференциальным формам с акцентом на конкретные примеры и вычисления ]
• Кац, Виктор Дж. (1979), «История теоремы Стокса», Mathematics Magazine , 52 (3), Математическая ассоциация Америки : 146–156, doi : 10.2307/2690275
• Лумис, Линн Гарольд ; Штернберг, Шломо (2014) [1968], Advanced Calculus (пересмотренная редакция), Reading, Mass.: Addison-Wesley (исправленное издание Джонса и Бартлетта (Бостон); перепечатано World Scientific (Хакенсак, Нью-Джерси)), стр. 305–567, ISBN  978-981-4583-93-0 [ Общее рассмотрение дифференциальных форм, дифференцируемых многообразий и избранных приложений к математической физике для студентов старших курсов ]
• Манкрес, Джеймс (1968), «Обзор исчисления на многообразиях», The American Mathematical Monthly , 75 (5): 567–568, doi : 10.2307/2314769 , JSTOR   2314769
• Манкрес, Джеймс (1991), Анализ многообразий , Редвуд-Сити, Калифорния: Аддисон-Уэсли (перепечатано Westview Press (Боулдер, Колорадо)), ISBN  978-0-201-31596-7 [ Бакалаврское исследование многомерного и векторного исчисления с охватом, аналогичным исчислению на многообразиях , с математическими идеями и доказательствами, представленными более подробно ]
• Никерсон, Хелен К.; Спенсер, Дональд С .; Стинрод, Норман Э. (1959), Advanced Calculus , Принстон, Нью-Джерси: Ван Ностранд, ISBN  978-0-486-48090-9 [ Единое рассмотрение линейной и полилинейной алгебры, исчисления многих переменных, дифференциальных форм и вводной алгебраической топологии для студентов старших курсов ]
• Рудин, Уолтер (1976) [1953], Принципы математического анализа (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw Hill, стр. 204–299, ISBN.  978-0-07-054235-8 [ Неортодоксальный, но строгий подход к дифференциальным формам, позволяющий избежать многих обычных алгебраических конструкций ]
• Спивак, Майкл (2018) [1965], Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам расширенного исчисления (серия монографий по математике) , Нью-Йорк: WA Benjamin, Inc. (перепечатано Аддисоном-Уэсли (Ридинг, Массачусетс) и Westview Press (Боулдер, Колорадо)), ISBN  978-0-8053-9021-6 [ Краткое, строгое и современное рассмотрение исчисления многих переменных, дифференциальных форм и интегрирования на многообразиях для студентов старших курсов ]
• Спивак, Майкл (1999) [1970], Всестороннее введение в дифференциальную геометрию, Vol. 1 (3-е изд.), Хьюстон, Техас: Publish or Perish, Inc., ISBN  978-0-9140-9870-6 [ Подробное описание дифференцируемых многообразий на уровне выпускников; содержит более сложное переосмысление и расширение глав 4 и 5 « Исчисления на многообразиях».]
• Ту, Лоринг В. (2011) [2008], Введение в многообразия (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-1-4419-7399-3 [ Стандартное изложение теории гладких многообразий для аспирантов 1-го курса ]